Die Menge der ganzen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen, die Null und alle negativen Gegenzahlen der natürlichen Zahlen. Man schreibt für die ganzen Zahlen als %%\mathbb{Z}={\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}}%%.

Man kann die ganzen Zahlen an der Zahlengerade veranschaulichen.

Zahlenmengen Zahlengerade

Rechenvorteile durch Anwendung von Rechengesetzen

Kommutativgesetz

Für die Addition und Multiplikation ganzer Zahlen gilt das Kommutativgesetz. Das heißt, du kannst die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren beliebig vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

Beispiel 1 (Addition)

%%(-3) + (-4)=-7%%

Betrachte %%(-4) + (-3)%%

%%(-4) + (-3) = -7%%

Das Ergebnis beider Rechnungen ist gleich, das sagt dir auch das Kommutativgesetz.

Beispiel 2 (Multiplikation)

%%(-25) \cdot 17 \cdot (-4)%%

Das Vertauschen der Faktoren ändert nach dem Kommutativgesetz das Ergebnis nicht.

%%= (-25) \cdot (-4) \cdot (17)%%

Berechne %%(-25) \cdot (-4) =100%%

%%= 100 \cdot 17= 1700%%

Das Kommutativgesetz hilft dir Rechnungen zu vereinfachen. Im Beispiel gerade eben lässt sich %%(-25) \cdot (-4)%% viel leichter berechnen als %%(-25) \cdot 17%%.

Assoziativgesetz

Für die Addition und Multiplikation ganzer Zahlen gilt das Assoziativgesetz. Das heißt, du kannst die Reihenfolge, in der du die einzelnen Summanden bzw. Faktoren miteinander verrechnest, frei wählen.

Merke: Das Assoziativgesetz gilt nur bei reiner Addition und Multiplikation.

Beispiel 1 (Addition)

%%\left(17+7 \right)+(-7)=24+(-7)=17%%

Setze nun die Klammer um %%7+(-7)%% .

%%17+\bigl(7+(-7)\bigr)=17+0=17%%

Das Ergebnis ist identisch. Das ist die Aussage des Assoziativgesetzes für Addition.

Das Assoziativgesetz kannst du nutzen, um vorteilhaft zu rechnen. Im Beispiel gerade eben lässt sich %%\bigl(7+(-7)\bigr)%% leichter berechnen als %%(17 +7)%%.

Beispiel 2 (Multiplikation)

%%(-2) \cdot (-9) \cdot11%%

Die Reihenfolge der Multiplikation kannst du nach dem Assoziativgesetz frei wählen.

%%= (-2) \cdot \bigl((-9) \cdot 11 \bigr)%%

Berechne %%\bigl(-9) \cdot 11\bigr) = -99%%

%%= (-2) \cdot (-99)%%

%%= 198%%

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz erlaubt dir Klammern in Rechnungen "aufzulösen".

Beispiel 1

%%(-2) \cdot (4 +5)%%

Du darfst nach dem Distributivgesetz die Klammer auflösen.

%%= (-2) \cdot 4 + (-2) \cdot 5%%

Multipliziere die einzelnen Summanden aus.

%%= (-8) + (-10)= -18%%

Du kannst das Distributivgesetz auch verwenden, um Klammern zu "erstellen". Dies machst du ganz unbewusst, wenn du eine zweistellige Zahl mit einer anderen multiplizierst.

Beispiel 2

%%(-8) \cdot (47)%%

Ersetze %%47%% durch %%40 +7%%. Vergiss dabei nicht, eine Klammer zu setzen.

%%= (-8) \cdot (40+7)%%

Verwende nun das Distributivgesetz.

%%= (-8) \cdot 40 + (-8) \cdot 7%%

Multipliziere die einzelnen Summanden aus.

%%= (-320) + (-56)= -376%%

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