Aufgaben zur Bestimmung von Wertebereichen

Zuerst einmal solltest du dir den Graphen anschauen. Um die Wertemenge herauszufinden musst du dir die/den höchsten bzw. niedrigsten klar definierbaren Punkt auf dem Graphen anschauen.

In diesem Fall geht der Graph in beide Richtungen ins Unendliche. Somit kannst du die angegebene Lösung $\;$ $W_f=\left] - \infty;2 \right ]$ ausschließen.

Jetzt musst du nur noch darauf achten, dass die Wertemenge richtig aufgeschrieben ist. Die eckigen Klammern müssen beim Unendlichkeitszeichen nach außen zeigen, da diese nicht begrenzt werden kann.

Betrachtest du den Graphen $f(x)$, wirst du bemerken, dass er einen tiefsten Punkt hat und deshalb nicht in die negative Unendlichkeit gehen kann. Der tiefste Punkt ist auf der y-Achste bei 0.

Nach oben hin lässt sich jedoch kein klar definierbarer höchster Punkt erkennen, folglich geht der Graph hier in die positive Unendlichkeit.

Wenn man nun diese Erkenntnisse kombiniert lässt sich sagen, dass die y-Werte von $f(x)$ minimal 0 und maximal $\infty$ erreichen.

Daher gilt für die Wertemenge: $W_f=\left] 0; \infty \right]$

Da $x\in \mathbb{R}$ gilt, solltest du dir die y-Werte für alle x-Werte ansehen. Weil bspw. bei x=4, y=2 entspricht, lässt sich die Lösung $W_f=[-1;1 \ ]$ schonmal nicht mit dem Graphen von $f(x)$ verbinden.

Aber da der Graph nicht nur in die negative Unendlichkeit geht, sondern auch in die positive, gilt: $W_f=\left] - \infty; \infty \right [$

Extrempunkte der Funktion

Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:

$f(x)=5x^3-15x+2$

$f'(x)=15x^2-15$

Beide Nullstellen der Ableitung haben die Vielfachheit 1, sind also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, deshalb sind beide Extremstellen.

Gleichzeitig liegt aber $x_2=-1$ nicht in der Definitionsmenge $D=[0;3]$ und wird deshalb nicht weiter untersucht.

Die Art der Extremstelle kannst du z.B. mit der 2. Ableitung ermitteln:

$f''(x)=30x$

Setze die gefundene Nullstelle $x_1=1$ in die 2. Ableitung ein:

$f''(1)=30 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt

Die Lage der Extremstelle bestimmst du, indem du in die Ausgangsfunktion einsetzt:

$f(1)=5\cdot 1^3-15\cdot 1 +2=-8$

Einziger "normaler" Extrempunkt in der Definitionsmenge: $TIP(1|-8)$

Randextrempunkte

Da beide Ränder der Definitionsmenge $D=[0;3]$ eingeschlossen sind, gibt es an beiden Rändern einen Randextrempunkt, dessen y-Koordinate ebenfalls die Wertemenge beeinflusst.

Bestimme die y-Koordinaten durch einsetzen:

$f(0)=5\cdot 0^3-15\cdot 0+2=2\Rightarrow R_1(0|2)$

$f(3)=5\cdot 3^3-15\cdot 3 +2=92 \Rightarrow R_2(3|92)$

Wertemenge aufstellen

Die Wertemenge wird beeinflusst durch den Tiefpunkt und die Randextrempunkte. Suche unter diesen drei den kleinsten und den größten y-Wert:

$TIP(1|{\color{red}{-8}}), R_1(0|2), R_2(3|{\color{blue}{92}})$

Es ergibt sich die Wertemenge $W=[{\color{red}-8};{\color{blue}92}]$

Extrempunkte im Definitionsbereich

Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:

$f(x)=-0{,}5x^3-1{,}5x^2-3x-20$

$f'(x)=-1{,}5x^2-3x-3$

Verwende die Mitternachtsformel, um die Lösungen zu bestimmen:

$x_{1/2}=\frac{3\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot (-1{,}5)\cdot (-3)}}{2\cdot (-1{,}5)}=\frac{3\pm\sqrt{-9}}{-3}$ besitzt keine Lösung, also hat die Funktion keine Extrempunkte im Definitionsbereich.

Randextrempunkt am linken Rand

Da der linke Rand der Definitionsmenge $D=[-2;3[$ eingeschlossen ist, gibt es an diesem Rand einen Randextrempunkt, dessen y-Koordinate ebenfalls die Wertemenge beeinflusst.

Bestimme dazu die y-Koordinate des Randextrempunkts:

$f(-2)=-0{,}5\cdot (-2)^3-1{,}5\cdot (-2)^2-3\cdot (-2)-20=-16 \Rightarrow R(-2|-16)$

Grenzwert am rechten Rand

Da der rechte Rand der Definitionsmenge $D=[-2;3[$ nicht eingeschlossen ist, darf $f(3)$ nicht offiziell berechnet werden, auch wenn im Term nichts dagegen spricht. stattdessen musst du den Grenzwert $\lim_{x\to3}f(x)$ angeben.

(Du berechnest dafür "hinter den Kulissen" trotzdem einfach $f(3)$, da bei ganzrationalen Funktionswerten im Gegensatz zu z.B. gebrochenrationalen Funktionen jede Zahl aus $\R$ eingesetzt werden darf.)

$\lim_{x\to 3}f(x)=-56$

Diesen Grenzwert musst du aus der Wertemenge ausschließen, denn da $x=3$ nicht eingesetzt werden kann, darf der Wert von $f(3)$ auch nicht angenommen werden.

Wertemenge angeben

Die Wertemenge besteht aus den Werten an den beiden Rändern, da es keine weiteren Extrempunkte gibt. Dabei muss der Wert bei $x=3$ ausgeschlossen werden:

$W={\color{red}]}-56;-16]$

Kandidaten für Extremstellen

Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:

$f(x)=\frac 3 4 x^4-0.5x^3-4.5x^2$

$f'(x)=3x^3-1.5x^2-9x$

Mit dem Satz vom Nullprodukt kannst du $3x=0$ und $x^2-0{,}5x-3=0$ einzeln betrachten:

und die weiteren Nullstellen erhältst du durch Anwendung der Mitternachtsformel auf $x^2-0{,}5x-3=0$

$x_{1/2}=\frac{0{,}5\pm\sqrt{(-0{,}5)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\frac{0{,}5\pm 3{,}5}{2}$ und somit $x_2=2$ und $x_3=-1{,}5$

Alle Nullstellen der Ableitung haben die Vielfachheit 1, weshalb $G_f$ an allen drei eine Extremstelle besitzen wird.

Außerdem liegen alle Extremstellen im Definitionsbereich.

Arten aller Extrema und Randextrema

Fertige eine Monotonietabelle an, um alle Extremstellen gleichzeitig zu untersuchen

Lage aller Extrema und Randextrema

Setze jeden x-Wert in den Funktionsterm von f ein:

$f(-3)=33{,}75 \Rightarrow RHOP_1(-3|33{,}75)$

$f(-1{,}5)\approx-4{,}64\Rightarrow TIP_1(-1{,}5|-4{,}64)$

$f(0)=0 \Rightarrow HOP(0|0)$

$f(2)=-10 \Rightarrow TIP_2(2|-10)$

$f(3)=6{,}75 \Rightarrow RHOP_2(3|6{,}75)$

Wertemenge angeben

Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert aus dem letzten Schritt. Da beide Ränder eingeschlossen sind, gibt es nichts weiter zu beachten.

$W=[-10;33{,}75]$