Aufgaben zur Bestimmung von Wertebereichen

Lerne hier den Wertebereich einer Funktion zu bestimmen. Für einen gegebenen Definitionsbereich ermittelst du alle vorkommenden y-Werte.

1
Bestimme den Wertebereich der Funktion bei maximalem Definitionsbereich.
1. $f (x) = 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich
  $f (x) = 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 4$
  Bringe die quadratische Funktion auf die Scheitelform.
  $f (x) = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + 2 \cdot \frac{23}{16}$ $\Rightarrow f (x) = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{23}{8}$
  Lies den Scheitel und die Öffnungsrichtung ab.
  $S (\frac{3}{4} | \frac{23}{8})$ , Parabel nach oben geöffnet
  Gib die Wertemenge an.
  $W_{f} = [\frac{23}{8}; \infty [$
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2. $f (x) = - x^{2} + 8 \cdot x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich
  $f (x) = - x^{2} + 8 \cdot x - 2$
  Bringe die quadratische Funktion auf die Scheitelform.
  $f (x) = - (x - 4)^{2} + 14$
  Lese Scheitel und Öffnungsrichtung ab.
  $S (4 | 14)$ , Parabel nach unten geöffnet
  Gebe die Wertemenge an.
  $W_{f} =] - \infty; 14]$
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3. $f (x) = - x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich
  Ganzrationale Funktionen dritten Grades haben keine Definitionslücken.
  Außerdem gilt:
  $\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty \\ \lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty \end{array}$
  $\Rightarrow W_{f} = ℝ$
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4. $f (x) = 16 \cdot \sin x + 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich
  $f (x) = 16 \cdot \sin (x) + 3$
  Betrachte die Sinusfunktion. Der Sinus nimmt bekanntlich nur Werte zwischen -1 und 1 an.
  $W_{\sin (x)} = [- 1; 1]$
  $\Rightarrow W_{16 \cdot \sin (x)} = [- 16; 16]$
  $\Rightarrow W_{f} = [- 13; 19]$
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5. $f (x) = 2^{x} - 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich
  $f (x) = 2^{x} - 3$
  Betrachte $2^{x}$ .
  $2^{x}$ ist eine streng monoton steigende Exponentailfunktion, die nur Werte anninmmt, die größer als 0 sind.
  Betrachte die Grenzwerte.
  $\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \overset{\to 0}{\overset{⏞}{2^{x}}} - 3 = - 3$
  $\lim_{x \to \infty} f (x) = \lim_{x \to \infty} \overset{\to \infty}{\overset{⏞}{2^{x}}} - 3 \to \infty$
  Gib nun den Wertebereich an.
  $W_{f} =] - 3; \infty [$
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6. $f (x) = \frac{x - 3}{\ln (x - 3)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich
  $f (x) = \frac{x - 3}{\ln (x - 3)}$
  Bestimme den Definitionsbereich.
  $D_{f} =] 3; \infty [\ {4}$
  Bestimme die Grenzwerte.
  $\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{\overset{\to 0}{\overset{⏞}{x - 3}}}{\underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{\ln (x - 3)}}} = 0$
  Für den zweiten Grenzwert nutzt du aus, das der Logarithmus immer langsamer wächst als jedes Polynom.
  $\lim_{x \to \infty} f (x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\overset{\to \infty}{\overset{⏞}{x - 3}}}{\underset{\to \infty}{\underset{⏟}{\ln (x - 3)}}} = \infty$
  $\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{-}} \frac{\overset{\to 1}{\overset{⏞}{x - 3}}}{\underset{\to 0^{-}}{\underset{⏟}{\ln (x - 3)}}} = - \infty$
  $\lim_{x \to 4^{+}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} \frac{\overset{\to 1}{\overset{⏞}{x - 3}}}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{\ln (x - 3)}}} = + \infty$
  Bestimme jetzt die Extrema.
  $f^{'} (x) = \frac{\ln (x - 3) - \frac{x - 3}{x - 3}}{(\ln (x - 3))^{2}}$
  $f^{'} (x) = 0$
  $\Leftrightarrow \ln (x - 3) - 1 = 0 | + 1$
  $\Leftrightarrow \ln (x - 3) = 1 | e$
  $\Leftrightarrow x - 3 = e | + 3$
  $\Leftrightarrow x = e + 3$
  Bestimme jetzt den y-Wert.
  $f (e + 3) = e$
  Da dies das einzige Extremum ist und die beiden Grenzwerte an den jeweiligen Definitionslücken rechts und links davon (also $4^{+}$ und $\infty$ ) jeweils $\infty$ sind, ist das Extremum ein Minimum.
  Gib jetzt den Wertebereich an.
  $W_{f} =] - \infty; 0 [\cup [e; \infty [$
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2
Ermittle den Wertebereich der zum Graphen zugehörigen Funktion f(x) mit $x \in ℝ$ .
1. $W_{f} =] - \infty; \infty [$
  $W_{f} =] - \infty; 2]$
  $W_{f} =] - \infty; \infty]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich bestimmen
  Zuerst einmal solltest du dir den Graphen anschauen. Um die Wertemenge herauszufinden musst du dir die/den höchsten bzw. niedrigsten klar definierbaren Punkt auf dem Graphen anschauen.
  In diesem Fall geht der Graph in beide Richtungen ins Unendliche. Somit kannst du die angegebene Lösung $W_{f} =] - \infty; 2]$ ausschließen.
  Jetzt musst du nur noch darauf achten, dass die Wertemenge richtig aufgeschrieben ist. Die eckigen Klammern müssen beim Unendlichkeitszeichen nach außen zeigen, da diese nicht begrenzt werden kann.
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2. $W_{f} = [0; \infty [$
  $W_{f} =] - \infty; \infty [$
  $W_{f} = [- 2; \infty [$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich bestimmen
  Betrachtest du den Graphen $f (x)$ , wirst du bemerken, dass er einen tiefsten Punkt hat und deshalb nicht in die negative Unendlichkeit gehen kann. Der tiefste Punkt ist auf der y-Achste bei 0.
  Nach oben hin lässt sich jedoch kein klar definierbarer höchster Punkt erkennen, folglich geht der Graph hier in die positive Unendlichkeit.
  Wenn man nun diese Erkenntnisse kombiniert lässt sich sagen, dass die y-Werte von $f (x)$ minimal 0 und maximal $\infty$ erreichen.
  Daher gilt für die Wertemenge: $W_{f} =] 0; \infty]$
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3. $W_{f} =] - \infty; \infty [$
  $W_{f} =] - \infty; 0]$
  $W_{f} = [- 1; 1]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich bestimmen
  Da $x \in ℝ$ gilt, solltest du dir die y-Werte für alle x-Werte ansehen. Weil bspw. bei x=4, y=2 entspricht, lässt sich die Lösung $W_{f} = [- 1; 1]$ schonmal nicht mit dem Graphen von $f (x)$ verbinden.
  Aber da der Graph nicht nur in die negative Unendlichkeit geht, sondern auch in die positive, gilt: $W_{f} =] - \infty; \infty [$
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3
Bestimme mithilfe des Graphen die Wertemenge von $f (x)$ , für $x \in [0; 1]$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge einer Funktion
Da auf dem $x$ -Achsenabschnitt von $0$ bis $1$ die $y$ -Werte des Graphen minimal $0$ und maximal $2$ erreichen, gilt:
$W_{f} = [0; 2]$
Betrachte das Verhalten des Graphen in dem Bereich, der auf der $x$ -Achse zwischen $0$ und $1$ liegt. Wie verhält sich dieser zu den möglichen $y$ -Werten?
4
Bestimme mit Hilfe des Graphen die Wertemenge von f(x) für $x \in [0; \infty [$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge einer Funktion
Den größten y-Wert, den die Funktion für positive x-Werte annimmt, ist $2$ . Nach unten ist sie nicht beschränkt. Deshalb ist der Wertebereich:
$W_{f} =] - \infty; 2]$
Betrachte das Verhalten des Graphen in dem Bereich, in dem alle x-Werte positiv sind. Beziehe dich auf die möglichen y-Werte.
5
Bestimme die Wertemenge der folgenden Funktionen für den vorgegebenen Definitionsbereich
1. $f (x) = 5 x^{3} - 15 x + 2$ mit $D = [0;$ 3]
  
  Extrempunkte der Funktion
  Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
  $f (x) = 5 x^{3} - 15 x + 2$
  $f^{'} (x) = 15 x^{2} - 15$
  $f^{'} (x)$ $=$ $0$
  $15 x^{2} - 15$ $=$ $0$ $+ 15$
  $15 x^{2}$ $=$ $15$ $: 15$
  $x^{2}$ $=$ $1$
  ↓
  Beachte, dass die Wurzel hier zwei Lösungen besitzt:
  $x$ $=$ $\pm \sqrt{1}$
  $x_{1}$ $=$ $1$
  $x_{2}$ $=$ $- 1$
  Beide Nullstellen der Ableitung haben die Vielfachheit 1, sind also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, deshalb sind beide Extremstellen.
  Gleichzeitig liegt aber $x_{2} = - 1$ nicht in der Definitionsmenge $D = [0; 3]$ und wird deshalb nicht weiter untersucht.
  Die Art der Extremstelle kannst du z.B. mit der 2. Ableitung ermitteln:
  $f^{''} (x) = 30 x$
  Setze die gefundene Nullstelle $x_{1} = 1$ in die 2. Ableitung ein:
  $f^{''} (1) = 30 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt
  Die Lage der Extremstelle bestimmst du, indem du in die Ausgangsfunktion einsetzt:
  $f (1) = 5 \cdot 1^{3} - 15 \cdot 1 + 2 = - 8$
  Einziger "normaler" Extrempunkt in der Definitionsmenge: $T I P (1 | - 8)$
  Randextrempunkte
  Da beide Ränder der Definitionsmenge $D = [0; 3]$ eingeschlossen sind, gibt es an beiden Rändern einen Randextrempunkt, dessen y-Koordinate ebenfalls die Wertemenge beeinflusst.
  Bestimme die y-Koordinaten durch einsetzen:
  $f (0) = 5 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0 + 2 = 2 \Rightarrow R_{1} (0 | 2)$
  $f (3) = 5 \cdot 3^{3} - 15 \cdot 3 + 2 = 92 \Rightarrow R_{2} (3 | 92)$
  Wertemenge aufstellen
  Die Wertemenge wird beeinflusst durch den Tiefpunkt und die Randextrempunkte. Suche unter diesen drei den kleinsten und den größten y-Wert:
  $T I P (1 | - 8), R_{1} (0 | 2), R_{2} (3 | 92)$
  Es ergibt sich die Wertemenge $W = [- 8; 92]$
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  Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist und beide Ränder eingeschlossen sind, gehst du wie folgt vor:
  Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
  Bestimme die Randextrempunkte, insbesondere die y-Koordinaten.
  Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert.
2. $f (x) = - 0,5 x^{3} - 1,5 x^{2} - 3 x - 20$ in $D = [- 2; 3 [$
  
  Extrempunkte im Definitionsbereich
  Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
  $f (x) = - 0,5 x^{3} - 1,5 x^{2} - 3 x - 20$
  $f^{'} (x) = - 1,5 x^{2} - 3 x - 3$
  $f^{'} (x)$ $=$ $0$
  $- 1,5 x^{2} - 3 x - 3$ $=$ $0$
  Verwende die Mitternachtsformel, um die Lösungen zu bestimmen:
  $x_{1 / 2} = \frac{3 \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot (- 1,5) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1,5)} = \frac{3 \pm \sqrt{- 9}}{- 3}$ besitzt keine Lösung, also hat die Funktion keine Extrempunkte im Definitionsbereich.
  Randextrempunkt am linken Rand
  Da der linke Rand der Definitionsmenge $D = [- 2; 3 [$ eingeschlossen ist, gibt es an diesem Rand einen Randextrempunkt, dessen y-Koordinate ebenfalls die Wertemenge beeinflusst.
  Bestimme dazu die y-Koordinate des Randextrempunkts:
  $f (- 2) = - 0,5 \cdot (- 2)^{3} - 1,5 \cdot (- 2)^{2} - 3 \cdot (- 2) - 20 = - 16 \Rightarrow R (- 2 | - 16)$
  Grenzwert am rechten Rand
  Da der rechte Rand der Definitionsmenge $D = [- 2; 3 [$ nicht eingeschlossen ist, darf $f (3)$ nicht offiziell berechnet werden, auch wenn im Term nichts dagegen spricht. stattdessen musst du den Grenzwert $\lim_{x \to 3} f (x)$ angeben.
  (Du berechnest dafür "hinter den Kulissen" trotzdem einfach $f (3)$ , da bei ganzrationalen Funktionswerten im Gegensatz zu z.B. gebrochenrationalen Funktionen jede Zahl aus $ℝ$ eingesetzt werden darf.)
  $\lim_{x \to 3} f (x) = - 56$
  Diesen Grenzwert musst du aus der Wertemenge ausschließen, denn da $x = 3$ nicht eingesetzt werden kann, darf der Wert von $f (3)$ auch nicht angenommen werden.
  Wertemenge angeben
  Die Wertemenge besteht aus den Werten an den beiden Rändern, da es keine weiteren Extrempunkte gibt. Dabei muss der Wert bei $x = 3$ ausgeschlossen werden:
  $W =] - 56; - 16]$
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  Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist aber nur ein Rand eingeschlossen ist, gehst du wie folgt vor:
  Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
  Bestimme den Randextrempunkt am linken Rand, insbesondere die y-Koordinaten.
  Bestimme das Grenzwertverhalten für den rechten Rand, also den Wert von $\lim_{x \to 3} f (x)$ .
  Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert.
3. $f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - 0.5 x^{3} - 4.5 x^{2}$ mit $D = [- 3; 3]$
  
  Kandidaten für Extremstellen
  Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
  $f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - 0.5 x^{3} - 4.5 x^{2}$
  $f^{'} (x) = 3 x^{3} - 1.5 x^{2} - 9 x$
  $f^{'} (x)$ $=$ $0$
  $3 x^{3} - 1,5 x^{2} - 9 x$ $=$ $0$
  ↓
  3x ausklammern. (Nur x ausklammern auch ok)
  $3 x (x^{2} - 0,5 x - 3)$ $=$ $0$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt kannst du $3 x = 0$ und $x^{2} - 0,5 x - 3 = 0$ einzeln betrachten:
  $3 x$ $=$ $0$ $: 3$
  $x_{1}$ $=$ $0$
  und die weiteren Nullstellen erhältst du durch Anwendung der Mitternachtsformel auf $x^{2} - 0,5 x - 3 = 0$
  $x_{1 / 2} = \frac{0,5 \pm \sqrt{(- 0,5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1} = \frac{0,5 \pm 3,5}{2}$ und somit $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 1,5$
  Alle Nullstellen der Ableitung haben die Vielfachheit 1, weshalb $G_{f}$ an allen drei eine Extremstelle besitzen wird.
  Außerdem liegen alle Extremstellen im Definitionsbereich.
  Beachtealternatives Vorgehen
  In den vorherigen Teilaufgaben hast du nun die Art und Lage der Extremstellen direkt bestimmt. Da es drei Extremstellen und zwei Randextremstellen gibt, können aber auch alle Arten der Extremstellen gemeinsam in einer Monotonietabelle betrachtet werden.
  Arten aller Extrema und Randextrema
  Fertige eine Monotonietabelle an, um alle Extremstellen gleichzeitig zu untersuchen
  -3
  <x<
  -1,5
  <x<
  0
  <x<
  2
  <x<
  3
  VZ f'
  (Rand)
  -
  0
  +
  0
  -
  0
  +
  (Rand)
  $G_{f}$
  (Rand)
  $↘$
  $\to$
  $↗$
  $\to$
  $↘$
  $\to$
  $↗$
  (Rand)
  Rand- HOP
  TIP
  HOP
  TIP
  Rand- HOP
  Lage aller Extrema und Randextrema
  Setze jeden x-Wert in den Funktionsterm von f ein:
  $f (- 3) = 33,75 \Rightarrow R H O P_{1} (- 3 | 33,75)$
  $f (- 1,5) \approx - 4,64 \Rightarrow T I P_{1} (- 1,5 | - 4,64)$
  $f (0) = 0 \Rightarrow H O P (0 | 0)$
  $f (2) = - 10 \Rightarrow T I P_{2} (2 | - 10)$
  $f (3) = 6,75 \Rightarrow R H O P_{2} (3 | 6,75)$
  Wertemenge angeben
  Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert aus dem letzten Schritt. Da beide Ränder eingeschlossen sind, gibt es nichts weiter zu beachten.
  $W = [- 10; 33,75]$
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  Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist und beide Ränder eingeschlossen sind, gehst du wie folgt vor:
  Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
  Bestimme den Randextrempunkt am linken Rand, insbesondere die y-Koordinaten.
  Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert aller Extrema.

	-3	<x<	-1,5	<x<	0	<x<	2	<x<	3
VZ f'	(Rand)	-	0	+	0	-	0	+	(Rand)
$G_{f}$	(Rand)	$↘$	$\to$	$↗$	$\to$	$↘$	$\to$	$↗$	(Rand)
	Rand- HOP		TIP		HOP		TIP		Rand- HOP

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f^{'} (x)$	$=$	$0$
$15 x^{2} - 15$	$=$	$0$	$+ 15$
$15 x^{2}$	$=$	$15$	$: 15$
$x^{2}$	$=$	$1$
	↓	Beachte, dass die Wurzel hier zwei Lösungen besitzt:
$x$	$=$	$\pm \sqrt{1}$
$x_{1}$	$=$	$1$
$x_{2}$	$=$	$- 1$

$f^{'} (x)$	$=$	$0$
$3 x^{3} - 1,5 x^{2} - 9 x$	$=$	$0$
	↓	3x ausklammern. (Nur x ausklammern auch ok)
$3 x (x^{2} - 0,5 x - 3)$	$=$	$0$

Aufgaben zur Bestimmung von Wertebereichen

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Extrempunkte der Funktion

Randextrempunkte

Wertemenge aufstellen

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Extrempunkte im Definitionsbereich

Randextrempunkt am linken Rand

Grenzwert am rechten Rand

Wertemenge angeben

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Kandidaten für Extremstellen

Arten aller Extrema und Randextrema

Lage aller Extrema und Randextrema

Wertemenge angeben

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