Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Bestimme alle Extrempunkte (mit Art) und Wendepunkte und gib die Monotonie- und Krümmungsintervalle an.

$f (x) = x^{2} e^{x}$ mit $D_{f} = ℝ$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonie und Extrema
Extrema und Monotonieverhalten
Verwende die Produktregel und Kettenregel, um die Ableitung zu bilden.
$f^{'} (x)$ $=$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$
↓
Klammere $e^{x}$ und x aus
$=$ $e^{x} \cdot x \cdot (2 + x)$
Die Nullstellen von $f^{'}$ kannst du mithilfe des Satz vom Nullprodukt direkt ablesen:
$x_{1} = 0$ und $x_{2} = - 2$
Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 1 und sind deshalb Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von $G_{f^{'}}$ und somit Extremstellen von $G_{f}$ .
Die Art der Extremstellen und die Monotonieintervalle erhältst du zum Beispiel über eine Monotonietabelle (Alternativ: 2. Ableitung)
x
$x < - 2$
$x = - 2$
$- 2 < x < 0$
$x = 0$
$x > 0$
Vorzeichen $f^{'}$
+
0
-
0
+
Verlauf $G_{f}$
$↗$
HOP
$↘$
TIP
$↗$
Die Lage der Extrempunkte bekommst du über Einsetzen in $f$ :
$f (- 2) = 4 e^{- 2} \approx 0,54$
$f (0) = 0$
Der Graph ist also streng monoton steigend für $x \in] - \infty; - 2] \cup [0; + \infty [$ und fallend in $x \in [- 2; 0]$ mit $H O P (- 2 | 0,54)$ und $T I P (0 | 0)$
Wendepunkte und Krümmung
Bilde die 2. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel um $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2})$ nochmal abzuleiten
$f^{''} (x)$ $=$ $e^{x} \cdot (2 x + x^{2}) + e^{x} \cdot (2 + 2 x)$
↓
Klammere $e^{x}$ aus
$=$ $e^{x} \cdot (2 x + x^{2} + 2 + 2 x)$
$=$ $e^{x} \cdot (x^{2} + 4 x + 2)$
Diesmal sind die Nullstellen nicht so offensichtlich.
$f^{''} (x)$ $=$ $0$
$e^{x} \cdot (x^{2} + 4 x + 2)$ $=$ $0$
↓
$e^{x}$ trägt keine Nullstellen bei, da $e^{x} > 0$ für alle $x \in ℝ$
$x^{2} + 4 x + 2$ $=$ $0$
Löse mithilfe der Mitternachtsformel:
$x_{1 / 2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$ liefert $x_{1} = - 2 + \sqrt{2} \approx - 0,59$ und $x_{2} = - 2 - \sqrt{2} \approx - 3,41$
Da beide Nullstellen von $f^{''}$ die Vielfachheit 1 haben, handelt es sich um Wendestellen von $G_{f}$ .
Untersuche die Krümmung mit einer Krümmungstabelle
x
$x < - 3,41$
$x = - 3,41$
$- 3,41 < x < - 0,59$
$x = - 0,59$
$x > - 0,59$
Vorzeichen $f^{''}$
+
0
-
0
+
Krümmung $G_{f}$
lgk
WEP
rgk
WEP
lgk
Die Lage der Wendepunkte erhältst du erneut über Einsetzen in $f$ :
$f (- 3,41) \approx 0,38$
$f (- 0,59) \approx 0,19$
Der Graph von f ist linksgekrümmt in $x \in] - \infty; - 3,41] \cup [- 0,59; + \infty [$ und rechtsgekrümmt in $x \in [- 3,41; - 0,59]$ . Die Wendepunkte liegen bei $W E P (- 3,41 | 0,38)$ und $W E P (- 0,59 | 0,19)$ .
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Für Extrema und Monotonie:
Bestimme die erste Ableitung
Bestimme ihre Nullstellen
Fertige eine Monotonietabelle an. Zusätzlich zu den Monotonieintervallen erhältst du die Art der Extrempunkte
Bestimme die Lage der Extrempunkte durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Für Wendepunkte und Krümmungsintervalle:
Bestimme die zweite Ableitung
Bestimme ihre Nullstellen
Fertige eine Krümmungstabelle an
Bestimme die Lage des Wendepunktes durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion

x	$x < - 2$	$x = - 2$	$- 2 < x < 0$	$x = 0$	$x > 0$
Vorzeichen $f^{'}$	+	0	-	0	+
Verlauf $G_{f}$	$↗$	HOP	$↘$	TIP	$↗$

x	$x < - 3,41$	$x = - 3,41$	$- 3,41 < x < - 0,59$	$x = - 0,59$	$x > - 0,59$
Vorzeichen $f^{''}$	+	0	-	0	+
Krümmung $G_{f}$	lgk	WEP	rgk	WEP	lgk

$g (x) = (x^{2} - 4 x + 1) \cdot e^{- x}$ mit $D_{g} = ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

Extrema und Monotonieverhalten

Verwende die Produktregel und die Kettenregel, um den Term abzuleiten:

$g^{'} (x)$	$=$	$(2 x - 4) \cdot e^{- x} + (x^{2} - 4 x + 1) \cdot (- 1) \cdot e^{- x}$
	↓	Multipliziere hinten die -1 in die Klammer
	$=$	$(2 x - 4) \cdot e^{- x} + (- x^{2} + 4 x - 1) \cdot e^{- x}$
	↓	Klammere $e^{- x}$ aus.
	$=$	$e^{- x} \cdot (2 x - 4 - x^{2} + 4 x - 1)$
	↓	Vereinfache
	$=$	$e^{- x} \cdot (- x^{2} + 6 x - 5)$

Bestimme die Nullstellen der Ableitung:

$g^{'} (x)$	$=$	$0$
$e^{- x} \cdot (- x^{2} + 6 x - 5)$	$=$	$0$
	↓	Nach dem Satz vom Nullprodukt können die Faktoren einzeln betrachtet werden. Die Exponentialfunktion $e^{- x} > 0$ hat keine Nullstellen.
$- x^{2} + 6 x - 5$	$=$	$0$

Verwende die Mitternachtsformel, um die Gleichung zu lösen:

$x_{1 / 2} = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2} = \frac{- 6 \pm 4}{- 2}$ also: $x_{1} = 1$ und $x_{2} = 5$

(Da beide Nullstellen die Vielfachheit 1 haben, also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von $G_{g^{'}}$ sind, sind dort Extremstellen von $G_{g}$ )

Mit einer Monotonietabelle bekommst du sowohl die Art der Extrema als auch die Monotonieintervalle:

x	$x < 1$	$x = 1$	$1 < x < 5$	$x = 5$	$x > 5$
Vorzeichen g'	-	0	+	0	-
Verlauf $G_{g}$	$↘$	TIP	$↗$	HOP	$↘$

Die Lage der Extrempunkte bekommst du, indem du in $g$ einsetzt:

$g (1) = - 2 \cdot e^{- 1} \approx 0,74$

$g (5) = 6 \cdot e^{- 5} \approx 0,04$

Insgesamt gilt für die Extremwerte und Monotonie also:

$G_{g}$ ist streng monoton fallend für $x \in] - \infty; 1] \cup [5; + \infty [$ und streng monoton steigend für $x \in [1; 5]$ . Dabei gibt es die Extrempunkte $T I P (1 | 0,74)$ und $H O P (5 | 0,04)$

Wendepunkte und Krümmung

Du benötigst die Nullstellen der 2. Ableitung, da dort die Wendestellen von $G_{g}$ liegen. Erneut brauchst du sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel

$g^{''} (x)$	$=$	$- e^{- x} \cdot (- x^{2} + 6 x - 5) + e^{- x} \cdot (- 2 x + 6)$
	↓	Ziehe das Minus zu Beginn des Terms in die Klammer
	$=$	$e^{- x} \cdot (x^{2} - 6 x + 5) + e^{- x} \cdot (- 2 x + 6)$
	↓	Klammere $e^{- x}$ aus
	$=$	$e^{- x} \cdot (x^{2} - 8 x + 11)$

Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung. Erneut ist nur die ganzrationale Funktion in den Klammern wichtig, da der Satz vom Nullprodukt gilt und $e^{- x} > 0$

Verwende erneut die Mitternachtsformel:

$x_{1 / 2} = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$ . Du erhältst $x_{1} \approx 6,24$ und $x_{2} \approx 1,76$

Da beide Nullstellen von $g^{''}$ die Vielfachheit 1 haben, handelt es sich um Wendestellen von $G_{g}$ .

Für die Krümmungsintervalle benötigst du trotzdem noch die Krümmungstabelle.

x	$x < 1,76$	$x = 1,76$	$1,76 < x < 6,24$	$x = 6,24$	$x > 6,24$
Vorzeichen g''	+	0	-	0	+
Krümmung $G_{g}$	lgk	WEP	rgk	WEP	lgk

Für die Koordinaten der Wendepunkte musst du außerdem noch die gefundenen x-Werte in g einsetzen:

$g (1,76) \approx - 0,51$

$g (6,24) \approx 0,03$

Insgesamt ist der Graph $G_{g}$ also linksgekrümmt für $x \in] - \infty; 1,76] \cup [6,24; + \infty [$ und rechtsgekrümmt für $x \in [1,76; 6,24]$ . Er hat die Wendepunkte $W E P (1,76 | - 0,51)$ und $W E P (6,24 | 0,03)$

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$f^{'} (x)$	$=$	$2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$
	↓	Klammere $e^{x}$ und x aus
	$=$	$e^{x} \cdot x \cdot (2 + x)$

$f^{''} (x)$	$=$	$e^{x} \cdot (2 x + x^{2}) + e^{x} \cdot (2 + 2 x)$
	↓	Klammere $e^{x}$ aus
	$=$	$e^{x} \cdot (2 x + x^{2} + 2 + 2 x)$
	$=$	$e^{x} \cdot (x^{2} + 4 x + 2)$

$f^{''} (x)$	$=$	$0$
$e^{x} \cdot (x^{2} + 4 x + 2)$	$=$	$0$
	↓	$e^{x}$ trägt keine Nullstellen bei, da $e^{x} > 0$ für alle $x \in ℝ$
$x^{2} + 4 x + 2$	$=$	$0$