Vielfachheit einer Nullstelle (1|8)

Die Nullstellen einer Funktion können eine große Hilfe sein, den Graphen der Funktion zu zeichnen. Oft reichen diese allein aber nicht aus. Schau dir dazu die unteren drei Graphen %%f, g%% und %%h%% an.

Dir fällt bestimmt auf, dass alle drei den charakteristischen Verlauf "von links oben nach rechts oben" haben. Weiterhin haben alle dieselben Nullstellen, nämlich %%x_1=-2,\ x_2=1 \ \text{und}\ x_3=3%%.

Graph %%f%%

Graph %%g%%

Graph %%h%%

Trotzdem sehen die Graphen alle sehr verschieden aus. Es reicht offensichtlich nicht aus, den charakteristischen Verlauf des Graphen und die Nullstellen zu kennen, um den Graphen einer Polynomfunktion bestimmen zu können.

An den Nullstellen unterscheiden sich die Graphen darin, ob und wie sie das Vorzeichen wechseln. An manchen Nullstellen wird die %%x%%-Achse überquert (z.B. bei %%f%% und %%x=1%%) und an anderen wird die %%x%%-Achse nur berührt (z.B. bei %%f%% und %%x=-2%%).

Wir unterscheiden also zwischen:

  • Nullstellen mit Vorzeichenwechsel (VZW), bei denen der Graph die %%x%%-Achse überquert und
  • Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel (kein VZW), bei denen die %%x%%-Achse nur berührt wird.

Schaue dir die drei Graphen noch einmal an und überlege, welche Nullstellen von %%f,g%% und %%h%% einen VZW haben. Klappe dann die unteren Felder auf.

Nullstellen von %%f%% mit VZW

%%x_2=1, x_3=3%%

Nullstellen von %%f%% ohne VZW

%%x_1=-2%%

Nullstellen von %%g%% mit VZW

%%x_1=-2, x_3=3%%

Nullstellen von %%g%% ohne VZW

%%x_2=1%%

Nullstellen von %%h%% mit VZW

keine Nullstellen mit Vorzeichenwechsel

Nullstellen von %%h%% ohne VZW

%%x_1=-2, x_2=1, x_3=3%%

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Zu course-page Vielfachheit einer Nullstelle (1|8): Anmerkungen
peterjaumann 2016-03-09 15:17:40+0100
- 2. Absatz unter den Grafiken: Mich stört irgendwie das Wörtchen "besonders". Immerhin haben die Graphen an den entsprechenden Stellen ja gemeinsame Funktionswerte. Vielleicht besser: "An den Nullstellen unterscheiden sich die Graphen darin, ob und wie sie das Vorzeichen wechseln." o.ä.
- letzter Satz vor den Spoilern: Das "und" bei "f, g und h" bitte aus der Formelschreibweise ausnehmen. Das Komma würde ich persönlich auch ausnehmen, aber das ist wahrscheinlich nicht nötig.