Vielfachheit einer Nullstelle (2|8)

Damit wir am Funktionsterm feststellen können, ob der Graph an den Nullstellen die %%x%%-Achse überquert (VZW) oder nur berührt (kein VZW), brauchen wir den Begriff des Linearfaktors.

Eine Wiederholung zu Linearfaktoren

Ein Linearfaktor ist ein Term der Form %%(x-N)%%, wobei %%N%% eine reelle Zahl ist. Beispiele dafür sind %%(x-3),(x+1)%% oder %%(x) (=(x-0))%%.

%%N%% ist die Nullstelle des Linearfaktors %%(x-N)%%. Zum Beispiel hat %%(x-1)%% die Nullstelle %%1%% und %%(x+2)%% die Nullstelle %%-2%%.

Eine Polynomfunktion ist in Linearfaktordarstellung, wenn der Funktionsterm als Produkt von Linearfaktoren geschrieben wird (zum Beispiel %%f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)^2%%).

Du hattest schon festgestellt, dass die Graphen von %%f, g%% und %%h%% die gleichen Nullstellen haben. Ihre Linearfaktordarstellungen werden also sehr ähnlich sein.

Hier findest du wieder die Graphen von %%f,g%% und %%h%%. Darunter sind die dazugehörigen Funktionsterme %%f(x), g(x)%% und %%h(x)%% in Linearfaktordarstellung angezeigt.

Vergleiche die Linearfaktoren %%(x+2), (x-1)%% und %%(x-3)%% in den verschiedenen Funktionsvorschriften. Was fällt dir auf?

Graph %%f%%

Graph %%g%%

Graph %%h%%

%%f(x)%%=%%\frac{1}{5}(x+2)^\color{red}{2}(x-1)(x-3)%%

%%g(x)%%=%%\frac{1}{5}(x+2)(x-1)^\color{red}{2}(x-3)%%

%%h(x)%%=%%\frac{1}{20}(x+2)^\color{red}{2}(x-1)^\color{red}{2}(x-3)^\color{red}{2}%%

Manche Linearfaktoren kommen in den Funktionstermen mehrmals vor, bzw. sind sie als Potenz (mit Exponent %%\color{red}{2}%%) geschrieben.

Schauen wir uns den Funktionsterm %%g(x)%% etwas genauer an:

%%g(x)%%=%%\frac{1}{5}(x+2)(x-1)^\color{red}{2}(x-3)%%

Zur Nullstelle %%x_1=-2%% gehört der Linearfaktor %%(x+2)%%. Dieser kommt nur einmal in %%g(x)%% vor. Weiterhin überquert %%g%% bei %%-2%% die %%x%%-Achse.

Zur Nullstelle %%x_2=1%% gehört der Linearfaktor %%(x-1)%%. Dieser kommt zweimal in %%g(x)%% vor (bzw. hat den Exponenten %%2%%). Bei %%1%% berührt %%g%% nur die %%x%%-Achse.

Graph %%g%%

Vergleiche jetzt nochmal die Linearfaktoren in den Funktionstermen mit dem Verhalten des Graphen an den Nullstellen.

Was fällt dir auf?

Bei allen Nullstellen von %%f,g%% und %%h%%, die einen Vorzeichenwechsel (VZW) aufweisen, kommt der dazugehörige Linearfaktor nur einmal vor (bzw. mit Exponent %%1%%).

Bei allen Nullstellen von %%f,g%% und %%h%%, bei denen der Graph das Vorzeichen nicht wechselt (kein VZW), kommt der dazugehörige Linearfaktor zweimal vor (bzw. mit Exponent %%2%%).

Gilt dies aber immer? Und was passiert, wenn ein Linearfaktor %%3,4%% oder %%5%% mal vorkommt?

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Zu course-page Vielfachheit einer Nullstelle (2|8): Anmerkungen
peterjaumann 2016-03-09 15:29:18+0100
- Wieder wie auf der Letzten Seite bitte im Spoiler und in den beiden anschließenden Absätzen "oder" und "und" nicht in Formelschreibweise schreiben.
- Die "z.B." (im Spoiler) vielleicht ausschreiben?
- Im Absatz vor den Grafiken: "der Graphen" -> entweder Singular oder Plural
- Der zweite Spoiler beginnt mit "Tatsächlich!". Wird dort eine These bestätigt, die vorher schon formuliert wurde? Ich finde keine und finde das deswegen ein bisschen komisch. Ein "emotionales" Wort an der Stelle finde aber nicht schlecht.
- Verlinkungen hast du absichtlich noch nicht eingefügt?