Aufgaben zu Exponentialfunktionen

1

Finde das exponentielle Wachstum

2

Wähle richtige Antworten aus.

Die Exponentialfunktion in ihrer einfachsten Form $f(x) = 2^x$ …
- …schneidet die y-Achse.
- …verläuft durch den Punkt (2,4).
- …schneidet die x-Achse.
- …verläuft durch den Punkt (3,3).
- …hat die Form einer Parabel.
Betrachte die Exponentialfunktion $f(x)=b^x$ mit $b>1$ . Also z.B. $3^x$ oder $4{,}5^x$ .
- Die Funktionswerte steigen mit größer werdenden x-Werten. (streng monoton steigend)
- Je größer der Wert von b, desto steiler ist der Graph von $f\;$ für positive $x$ -Werte.
- Die Funktionswerte fallen mit größer werdenden x-Werten. (streng monoton fallend)
- Der Graph der Funktion besitzt steigende und fallende Intervalle.
- Je größer der Wert von b, desto flacher ist der Graph von $f$ für positive $x$ -Werte.
Gilt für die Funktion $f(x)=b^x$ , dass $b$ beliebige Werte größer Null annehmen kann, dann…
- …ist sie für $b=1$ keine Exponentialfunktion mehr.
- …fällt ihr Graph, wenn man b aus dem Intervall $]0;1[$ wählt.
- …verläuft ihr Graph immer durch den Punkt (0,1).
- … steigen ihre Funktionswerte immer mit größer werdenden x-Werten an. (streng monoton steigend)
- …kann ihr Graph die x-Achse schneiden.
Wenn die Exponentialfunktion in der allgemeinen Form $f(x)=N_0\cdot b^x$ gegeben ist und für $N_0$ und $b$ nur positive Werte eingesetzt werden, dann…
- …hängt es vom Faktor $N_0$ ab, an welcher Stelle die y-Achse geschnitten wird.
- …kann mit ihr Wachstum oder Zerfall beschrieben werden.
- …hängt es vom Faktor $N_0$ ab, ob der Graph der Funktion steigt oder fällt.
- …darf für $N_0$ nicht der Wert 1 gewählt werden.
- …hängt es von $N_0$ und $b$ ab, an welcher Stelle die x-Achse geschnitten wird.

3

Erkenne Funktionsterme

Welcher Funktionsterm gehört zum Graphen der gezeichneten Exponentialfunktion?

Welcher Funktionsterm passt?
Welcher Funktionsterm passt?
Welcher Funktionsterm passt?
Welcher Funktionsterm passt?

4

Welcher Graph gehört zum gegebenen Funktionsterm?

Welcher Graph gehört zu $f(x)=1{,}5\cdot2^{-x}$ ?
Welcher Graph gehört zum Funktionsterm $f(x)=\frac12\cdot\left(\frac12\right)^{-x}$ ?
Welcher Graph gehört zu $f(x)=\sqrt2\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^x$ ?

5

Beschreibe die Eigenschaften der Funktion $f(x)=3\cdot4^x$ und skizziere sie.

6

Schraffiere im Koordinatensystem alle Punkte P(x|y) im Bereich $-2\leq x\leq+2$ mit folgenden Vorgaben für den y-Wert

$0\leq y\leq2^x$
$0\leq y\leq\left(\frac12\right)^x$
$0\leq y\leq2\cdot2^x$ und $0\leq y\leq2\cdot\left(\frac12\right)^x$
$2^x\leq y\leq4$ und $\left(\frac12\right)^{x\;}\leq y\leq4$

7

Bestimme - falls möglich - die Basis der Funktion $f:y=a^x;D_f=\mathbb{R}$ so, dass ein gegebener Punkt P auf dem Graphen von $f$ liegt.

$P(2\vert2)\in f:y=a^x$
$P(3|\frac{1}{8})\in f:y=a^x$
$P(0\vert2)\in f:y=a^x$
$P(-3\vert0{,}001)\in f:y=a^x$
$P(\frac12\vert\frac14)\in f:y=a^x$
$P(-2\vert-1)\in f:y=a^x$

8

Die Punkte $A(-1\vert-1)$ und $B(2\vert-3)$ sind Punkte des Graphen der Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ .

Skizziere den Graphen von $f$ für $-2\leq x\leq3$ und lies daraus einen Näherungswert für den Parameter $b$ ab.
Berechne a und b.

9

Graphisches Lösen von Exponentialgleichungen

Einführungsbeispiel

Löse die Gleichung $x^2=2^x$ graphisch.

Lösung

$\underbrace{x^2}_{f(x)}=\underbrace{2^x}_{e(x)}$

Zeichne den Graphen der Parabel $f(x)=x^2$ und den der Exponentialfunktion $e(x)=2^x$ .

Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) beider Graphen sind die gesuchten Lösungen der Gleichung $x^2=2^x$ .

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1\approx-0{,}8\\x_2=2\\x_3=4\end{array}

Die ganzzahligen Lösungen $x_2=2$ und $x_3=4$ findet man natürlich auch durch Probieren. $x_1$ (eine irrationale Zahl) als Näherungswert nur graphisch.

Oft will man nur feststellen, ob eine Gleichung überhaupt lösbar ist, oder es reichen grobe Näherungswerte der Lösungen, dann genügen für die graphische Lösung Handskizzen der Graphen. Willst du es genauer, dann verwendest du einen Funktionsplotter zum Zeichen der Graphen.

Für die anschließenden Aufgaben sollen Handskizzen genügen.

Löse die Exponentialgleichung $x+2=2^x$ graphisch.
Löse die Exponentialgleichung $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x=2^x\end{array}$ graphisch.
Löse die Exponentialgleichung $2^x+x\;=0$ graphisch.
Löse die Exponentialgleichung $2^x+x^2-1=0$ graphisch.
Löse die Exponentialgleichung $0{,}5\cdot2^x=3\cdot0{,}5^x$ graphisch und - falls du den Logarithmus schon kennst - auch rechnerisch.

10

Bringe Exponentialfunktionen auf die Grundform $\sf f(x)=b\cdot a^x$ und entscheide dann, ob der Graph steigend oder fallend ist.

$f(x)=8⋅2^{x-2}$
- Steigend
- Fallend
$g(x)=−2⋅0{,}5^{x-3}$
- Steigend
- Fallend
$h(x)=\frac{1}{4}⋅(\frac{1}{2})^{2x-1}$
- Steigend
- Fallend
$k(x)=−8⋅(\frac{1}{2})^{2-3x}$
- Steigend
- Fallend