Die gesamte heutige Mathematik ist auf der Mengenlehre aufgebaut.
Sie findet Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, wie z. B. der Analysis, der Geometrie oder der Stochastik.
Definition und Eigenschaften von Mengen
Definition
Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von wohl unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte, die zu einer Menge gehören, heiĂen Elemente.
Eigenschaften
Elemente von Mengen können zum Beispiel Zahlen, Buchstaben, Wörter oder Mengen selbst sein.
Eine Menge wird mit einem groĂen Buchstaben bezeichnet.
Die Objekte selbst werden in geschweifte Klammern geschrieben.
Zum Beispiel sind {1;2;3}, {a;b;c}, {Hund;Katze;Maus} drei Mengen mit jeweils drei Elementen.
Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. So ist die Menge {1;2;3} gleich der Menge {3;2;1}.
Die Anzahl eines Elements spielt auch keine Rolle, also ob ein Element mehrfach in einer Menge enthalten ist oder nur einmal.
In einer Menge gibt es keine Ordnung. Betrachtet man z. B. die Menge aller Kinder in einer Klasse, die Ă€lter als 10 sind, dann kann man anhand der Menge nicht sagen, welches Kind das Ălteste oder das JĂŒngste in der Menge ist.
AuĂerdem gibt es noch die Möglichkeiten, dass eine Menge gar kein Element enthĂ€lt, dies ist dann die leere Menge.
Darstellung einer Menge
Eine Menge lÀsst sich auf verschiedene Weisen darstellen. Die Darstellung im Beispiel oben nennt man Venn-Diagramm.
Es gibt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Mengen aufzuschreiben.
Entweder zĂ€hlt man die einzelnen Elemente auf. Das bietet sich vor allem bei endlichen Mengen an, das heiĂt bei Mengen, die nur eine endliche Anzahl von Elementen besitzen (z. B. {1;2;3}), oder man setzt bei nicht endlichen Mengen PĂŒnktchen. Dazu muss aber klar sein, wie die weiteren Elemente der Menge heiĂen.
So wĂ€re zum Beispiel N:={1;2;3;âŠ} die Menge der natĂŒrlichen Zahlen oder {1;4;9;16;25;âŠ} die Menge der Quadratzahlen. Aber so etwas wie {42;72;829;âŠ} wĂ€re nicht korrekt, denn man weiĂ nicht, wie es weitergehen soll.
Eine zweite Möglichkeit, Mengen zu notieren, ist eine allgemeinere Schreibweise, bei der man eine Eigenschaft aller Elemente einer Menge angibt, z. B.
M={x âŁÂ xisteinMusikinstrument}.
Hierbei ist "ist ein Musikinstrument" die Eigenschaft. Gelesen wird das:
Mistââ=âdieMengeallerââ{âxmitderEigenschaftâââŁâxisteinMusikinstrument}âM ist die Menge aller x, mit der Eigenschaft, dass jedes x ein Musikinstrument ist, also ist M einfach die Menge aller Musikinstrumente.
HĂ€ufig verwendete Notationen
aâA: a ist Element von A.
aî âA: a ist nicht Element von A.
âŁAâŁ: MĂ€chtigkeit von A, bei endlichen Mengen die Anzahl der Elemente einer Menge.
So bedeutet âŁAâŁ=âŁBâŁ=n, dass die MĂ€chtigkeit von A gleich der MĂ€chtigkeit von B ist. A und B haben also die gleiche Anzahl an Elementen, nĂ€mlich n.
Menge der positiven reellen Zahlen vereinigt mit der Null
â ,{}
leere Menge
Intervalle als Mengen
Eine weitere, wichtige Art von Mengen sind die Intervalle.
FĂŒr a,bâR gilt:
Intervall
Mathematische Schreibweise
Bedeutung
]a;b[
{xâŁxâRâ§a<x<b}
= alle x mit x Element von R  und a echt kleiner x, x echt kleiner b.
Also sind a und bnicht Elemente des Intervalls.
[a;b[
{xâŁxâRâ§aâ€x<b}
= alle x mit x Element von R  und a kleiner gleich x, x echt kleiner b.
Also ist a ein Element und b ist nicht Element des Intervalls.
]a;b]
{xâŁxâRâ§a<xâ€b}
= alle x mit x Element von R  und a echt kleiner x, x kleiner gleich b.
Also ist anicht und bist Element des Intervalls.
Operationen mit Mengen
Man kann Mengen miteinander verknĂŒpfen. Zur Vereinfachung verwendet man verschiedene Symbole fĂŒr die Grundoperationen.
Teilmenge
Eine Menge A heiĂt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element aus A auch Element von B ist. Eine Teilmenge heiĂt eigentlich oder echt, wenn weiterhin Aî =B gilt.
Potenzmenge
Die Menge aller Teilmengen von einer Menge bezeichnet man als Potenzmenge der betreffenden Menge.
Rechenregeln
FĂŒr die folgenden Gesetze sind A, B, C Teilmengen der Grundmenge G.
Als Partition (Zerlegung, Klasseneinteilung) einer Menge M versteht man eine Menge P, deren Elemente nichtleere, disjunkte Teilmengen von M sind, sodass aber jedes Element von M genau in einem Element aus P enthalten ist.