Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

Bestimme alle Punkte, in denen die Funktion eine waagerechte Tangente besitzt

$f(x)= \frac 1 2 x^2 -5x+1$

$g(t)= \dfrac 2 3t^3-2t^2+8$

$h(x)= xe^{2x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du wissen, wie man die Produktregel anwendet und die Ableitung der Exponentialfunktion bestimmt.

Die Punkte mit waagrechter Tangente am Funktionsgraph von $f$ sind genau die, in denen die Steigung der Funktion $0$ ist:

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle xe^{2x}$
	↓	Bilde die Ableitung durch Verwendung der Produktregel. Beachte auch, dass du bei $e^{2x}$ die Kettenregel verwendest.
$\displaystyle h´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot e^{2x}+x\cdot2\cdot e^{2x}$
$\displaystyle h´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2xe^{2x}$
	↓	Klammere $e^{2x}$ aus.
$\displaystyle h´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle e^{2x}\left(1+2x\right)$
	↓	Der Wert der Ableitung an einer Stelle $x_0$ entspricht der Steigung an dieser Stelle. Setze die Ableitung gleich $0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle e^{2x}\left(1+2x\right)$
	↓	Ein Produkt ist genau dann $0$ , wenn einer seiner Faktoren $0$ ist. Die Exponentialfunktion $e^{2x}$ ist jedoch immer größer $0$ für alle $x\in \mathbb R$ . Deswegen musst du nur $(1+2x)$ gleich Null setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+2x$
	↓	Löse nach x auf. Ziehe zuerst $1$ auf beiden Seiten ab.
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 2x$
	↓	Teile durch 2
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$
	↓	Berechne den zugehörigen Funktionswert.
$\displaystyle h\left(-\frac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}e^{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}$
	↓	Berechne den Exponenten und wende das Potenzgesetz an.
$\displaystyle h\left(-\frac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2e}$

$\Rightarrow P\left ( -\dfrac 1 2 \left | -\dfrac 1{2e} \right . \right )$

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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-5x+1$
	↓	Bilde die Ableitung, indem du die Summenregel verwendest.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x-5$
	↓	Der Wert der Ableitung an einer Stelle $x_0$ entspricht der Steigung an dieser Stelle. Setze die Ableitung gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x-5$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle g\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}t^3-2t^2+8$
	↓	Bilde die Ableitung, indem du die Summenregel verwendest.
$\displaystyle g´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle 2t^2-4t$
	↓	Der Wert der Ableitung an einer Stelle $x_0$ entspricht der Steigung an dieser Stelle. Setze die Ableitung gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2t^2-4t$
	↓	Klammere $2t$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2t\left(t-2\right)$
	↓	Lies die Lösungen ab. Beachte dabei, dass ein Produkt immer dann $0$ ist, wenn einer seiner Faktoren $0$ ist.