Denke an die Quotientenregel und versuche mit ihrer Hilfe auf die richtige Lösung zu kommen. Der Nenner von ${\displaystyle f(x)}\backslash displaystyle\; f(x)$ wird hier mit ${\displaystyle v(x)}\backslash displaystyle\; v(x)$ und der Zähler mit ${\displaystyle u(x)}\backslash displaystyle\; u(x)$ bezeichnet.

${\displaystyle f(x)=\frac{2}{3x}=\frac{u(x)}{v(x)}}\backslash displaystyle\; f(x)=\; \backslash frac\; \{2\}\{3x\}=\backslash frac\; \{u(x)\}\{v(x)\}$

Hier:

Ursprungsfunktion:

${\displaystyle f\phantom{{}^{\mathrm{\prime }}}(x)=\frac{2}{3x}}\backslash displaystyle\; f\backslash phantom\{\text{'}\}(x)=\; \backslash frac\; \{2\}\{3x\}$

Nenner der Ursprungfunktion:

${\displaystyle v\phantom{{}^{\mathrm{\prime }}}(x)=3x}\backslash displaystyle\; v\backslash phantom\{\text{'}\}(x)=3x$

Zähler der Ursprungsfunktion:

${\displaystyle u\phantom{{}^{\mathrm{\prime }}}(x)=2}\backslash displaystyle\; u\backslash phantom\{\text{'}\}(x)=2$

Ableitung des Nenners:

${\displaystyle v^{\mathrm{\prime }}(x)=3}\backslash displaystyle\; v\text{'}(x)=3$

Ableitung des Zählers:

${\displaystyle u^{\mathrm{\prime }}(x)=0}\backslash displaystyle\; u\text{'}(x)=\; 0$

Setze nun die einzelnen Funktionen in die Quotientenregel ein:

${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)-u(v)v^{\mathrm{\prime }}(x)}{(v(x){)}^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)=\; \backslash frac\{u\text{'}(x)v(x)-u(v)v\text{'}(x)\}\{(v(x))^2\}$

${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{0\cdot 3x-3\cdot 2}{(3x{)}^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)=\; \backslash frac\; \{0\; \backslash cdot\; 3x-3\; \backslash cdot\; 2\}\{(3x)^2\}$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =-\frac{6}{9x^2}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}\; \backslash displaystyle\; =-\backslash frac\{6\}\{9x^2\}$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{\displaystyle =-\frac{2}{3x^2}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}\backslash displaystyle=-\backslash frac\{2\}\{3x^2\}$

• Vergleichst du die Lösung mit den Antwortmöglichkeiten, so siehst du, dass ${\displaystyle f\text{′}(x)=-\frac{2}{3}{x}^2}\backslash displaystyle\; f\prime (x)=-\backslash frac\{2\}\{3\}x^2$ nicht stimmen kann, da $x^{2}x^2$ im Zähler steht anstatt im Nenner.

• Du siehst auch, dass die Ableitungsfunktion ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{3x^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)=\; \backslash frac\{2\}\{3x^2\}$ die falsche Lösung ist. Das Minus, das du durch die Anwendung der Quotientenregel erhältst, fehlt hier.

• Betrachtest du die Potenzgesetze mit negativen Exponenten näher, so fällt dir auf, dass du das ${\displaystyle x^2}\backslash displaystyle\; x^2$ der Lösung ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{2}{3x^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)=\; -\backslash frac\; \{2\}\{3x^2\}$ in den Zähler ziehen kannst. Dazu kannst du das ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\; \{1\}\{x^2\}$ auch als ${\displaystyle x^{-2}}\backslash displaystyle\; x^\{-2\}$ schreiben. Also ist ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}=-\frac{2}{3}{x}^{-2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}=\; -\backslash frac\{2\}\{3\}x^\{-2\}$ ebenso eine Lösung.

Die richtigen Antworten sind:

Die falschen Antworten sind:

Berechnung mit der Quotientenregel

Wende die Quotientenregel und passende Umformungen an, um auf die richtigen Lösungen zu kommen. Der Nenner von $g(x)g(x)$ wird mit $v(x)v(x)$ und der Zähler mit $u(x)u(x)$ bezeichnet.

${\displaystyle g(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{u(x)}{v(x)}}\backslash displaystyle\; g(x)=\backslash frac\{x\}\{x+1\}=\backslash frac\{u(x)\}\{v(x)\}$

Hier:

Ursprungsfunktion:

Zähler der Ursprungsfunktion:

Nenner der Ursprungsfunktion:

Ableitung des Zählers:

Ableitung des Nenners:

Setze nun die einzelnen Funktionen in die Quotientenregel ein:

Vereinfache den Zähler.

Vereinfache den Zähler weiter.

Die Lösung $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}g\text{'}(x)=\; \backslash frac\{1\}\{(x+1)^2\}$ erhältst du also direkt mit der Quotientenregel.

Überprüfung der übrigen Antwortmöglichkeiten

Um zu überprüfen, ob auch noch andere Antwortmöglichkeiten richtig sind, musst du nun versuchen, dein Ergebnis so umzuformen, dass es mit den anderen Antwortmöglichkeiten übereinstimmt.

Im Nenner steht die erste binomische Formel:

Somit erhältst du nun auch die Lösung $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}g\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{x^2+2x+1\}$.

Wende nun auf dein Ergebnis der Quotientenregel das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an:

Du erhältst also eine dritte richtige Lösung: $g^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1{)}^{-2}g\text{'}(x)=(x+1)^\{-2\}$.

Überprüfe nun, ob auch die letzte Antwortmöglichkeit $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x+1}{x^2+2x+1}g\text{'}(x)=\backslash frac\{2x+1\}\{x^2+2x+1\}$ richtig ist.

Im Nenner wurde wieder die erste binomische Formel angewandt. Nun musst du noch die Zähler vergleichen.

Die Zähler unterscheiden sich und auch durch Umformen kommst du nicht von $11$ auf $2x+12x+1$. Somit ist die Antwortmöglichkeit $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x+1}{x^2+2x+1}g\text{'}(x)=\backslash frac\{2x+1\}\{x^2+2x+1\}$ falsch. (Falls du auf diese Lösung kommst, solltest du dir die Quotientenregel nochmal genau anschauen, denn dann hast du wahrscheinlich fälschlicherweise im Zähler addiert statt subtrahiert.)

Zusammenfassung

Die richtigen Lösungen sind:

Die falsche Antwort ist:

Denke an die Quotientenregel und versuche mit dem Ausschlussprinzip auf die richtige Lösung zu kommen. Der Zähler von $h(x)h(x)$ wird mit $u(x)u(x)$ und den Nenner von $h(x)h(x)$ wird mit $v(x)v(x)$ bezeichnet.

Betrachte den Nenner in der Quotientenregel:

Der Nenner der Ableitung ist also der Nenner der Ursprungsfunktion im Quadrat.

Hier:

Ursprungsfunktion:

Nenner der Ursprungsfunktion:

Nenner der Ableitung:

Vergleiche die Nenner aus den Antwortmöglichkeiten mit dem von dir gefundenen Nenner der Ableitung. Du stellst fest, dass die Antwortmöglichkeiten $h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\cos (x)}h\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash cos(x)\}$ und $h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{0}{\cos (x)}=0h\text{'}(x)=\backslash frac\{0\}\{\backslash cos(x)\}=0$ im Nenner jeweils $\cos (x)\backslash cos(x)$ stehen haben.

Da ${\sin }^2(x)\{\backslash sin^2(x)\}$ nicht gleich $\cos (x)\{\backslash cos(x)\}$ ist und da du auch durch Kürzen nicht von ${\sin }^2(x)\backslash sin^2(x)$ auf $\cos (x)\backslash cos(x)$ kommst, sind diese beiden Antworten also falsch.

Dir bleiben nun noch die Antwortmöglichkeiten $h^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}h\text{'}(x)=-\backslash frac\{\backslash cos(x)\}\{\backslash sin^2(x)\}$ und $h^{\mathrm{\prime }}(x)=-\cos (x)\cdot {\sin }^{-2}(x)h\text{'}(x)=-\backslash cos(x)\; \backslash cdot\; \backslash sin^\{-2\}(x)$. Wende jetzt das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.

Die beiden Antwortmöglichkeiten sind gleich. Prüfe nun, ob es die richtigen Lösungen sind.

Nutze hierfür die Quotientenregel:

Berechne und ziehe das Minus vor den Bruch.

Das Ergebnis der Ableitung mit der Quotientenregel zeigt also, dass es die richtigen Lösungen sind.

Die richtigen Antworten sind:

Die falschen Antworten sind: