Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

$f\left(x\right)={ax}^2+{bx}+ c$

Setze A, B und C in die allgemeine Gleichung für quadratische Funktionen ein.

$\left(1\right)\quad a+ b+ c=1$

$\left(2\right)\quad 9 a+3 b+ c=4$

$\left(3\right)\quad 25 a+5 b+ c=-1$

Wende das Additionsverfahren an.

$\left(2\right)+\left(1\right)\cdot(-1)$ :   $\left(1\right)'\quad 8a+2b=3$

$\left(3\right)+\left(2\right)\cdot\left(-1\right)$:   $\left(2\right)'\quad 16 a+2 b=-5$

$\left(2\right)'+\left(1\right)'\cdot\left(-1\right)$:  $8 a=-8$

$\left|:8\right.$

$a=-1$

Setze $a$ in $\left(1\right)'$   ein.

$-8+2 b=3$

$\left|+8\right.$

$2 b=11$

$\left|:2\right.$

$b=\frac{11}2$

Setze $a$ und $b$ in  $\left(1\right)$  ein.

$-1+5{,}5+ c=1$

$\left|-4{,}5\right.$

$c=-3{,}5$

$\;\;\Rightarrow\;\; f\left( x\right)=- x^2+5{,}5 x-3{,}5$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Da die gesuchte Funktion quadratisch ist, handelt es sich bei der doppelten Nullstelle bei $x=3$ um den Scheitel der Parabel. Damit ist $f$ von der Form $f(x)=a\cdot(x-3)^2$. Der Parameter $a$ lässt sich nun durch Einsetzen des Punktes $P$ bestimmen:

$0{,}3=a\cdot(2-3)^2=a$

$\Rightarrow f(x)=0{,}3\cdot(x-3)^2$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Die Normalparabel ist um zwei Einheiten nach rechts und um sechs Einheiten nach oben verschoben. Zudem ist sie nach unten geöffnet. Damit gilt:

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

$f\left(x\right)=a\left(x-b\right)^2+c$

Bestimme $b$ und $c$ durch den Scheitel $S\left(0|-3\right)$ .

$f\left(\mathrm x\right)=ax^2-3$

Setze P in die Funktion ein.

$2=a\left(1{,}5\right)^2-3$

$\left|+3\right.$

$a\left(1{,}5\right)^2=5$

Quadriere $1{,}5$

$a=\frac5{1{,}5^2}=\frac{5\cdot4}9=\frac{20}9$

Setze $a$ in die Funktion ein.

$\;\;\Rightarrow\;\;f\left(x\right)=\frac{20}9x^2-3$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Hier solltest du wissen, wie du eine Parabel durch drei gegebene Punkte legst. Außerdem brauchst du das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.

$A(2\vert4),\;B(3\vert5),\;C(-1\vert13)$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$

Als erstes solltest du die Potenzen ausrechnen.

Löse das Gleichungssystem. Hier wird die Lösung mittels Einsetzungsverfahren verwendet.

Löse als erstes zum Beispiel Gleichung $(I)$ nach $c$ auf.

$(I') \;c=4-4a-2b$

Setze dieses Ergebnis in die beiden anderen Gleichungen ein.

$(II')\; 5=9a+3b+(4-4a-2b)$

$(III')\; 13=a-b+(4-4a-2b)$

Vereinfache die beiden Gleichungen.

$(II')\; 1=5a+b$

$(III')\; 9=-3a-3b$

Löse beispielsweise Gleichung $(III')$ nach $a$ auf.

$(III'')\; -3a=9+3b\qquad |:(-3)$

$(III'')\; a=-3-b$

Setze $a$ in Gleichung $(II')$ ein und vereinfache.

$(II'')\; 1=5(-3-b)+b)$

$(II'')\; 1=-15-5b+b\qquad |+15$

$(II'')\; 16=-4b\qquad|:(-4)$

$b=-4$

Setze das Ergebnis für $b$ in Gleichung $(III'')$ ein, also die Gleichung für $a$ ein.

$a=-3-(-4)=-3+4=1$

Setze dein Ergebnis für $a$ und $b$ in die Gleichung für $c$ (I') ein.

$c=4-4\cdot 1-2\cdot(-4)=4-4+8=8$

Deine Ergebnisse sind:

$a=1,\;b=-4,\;c=8$

Setze in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalte die Lösung.

$\Rightarrow\;f(x)=x^2-4x+8$

Funktionsterm aufstellen

Bei der Verschiebung der Normalparabel $x^2$ verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:

$f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2+2$

Funktionsterm aufstellen

Bei der Verschiebung der Normalparabel $x^2$ verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:

$f\left(x\right)=\left(x-\frac34\right)^2-\frac53$

Setze $Q$ in die Funktionsgleichung an:

Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.

Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.

Es bietet sich der Punkt $P(2\,|\,2)$ an, weil da die Parabel genau eine Kästchen-Ecke trifft.

Setze die Koordinaten des Punktes $P(2\,|\,2)$ in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\,|\,0)$ ein.

$y = a \cdot x^2$

$2 = a \cdot 2^2$

Löse diese Gleichung nach $a$ auf!

$2 = a \cdot 4 \hspace{2cm}|:4$

$\dfrac{2}{4} = a$

$a = \dfrac{1}{2}$

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert $a=\dfrac{1}{2}$.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$ ein.

$y = \dfrac{1}{2} x^2$

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet $y=\dfrac{1}{2} x^2$.

Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.

Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.

Es bietet sich der Punkt $P(2\,|\,6)$ an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.

Setze die Koordinaten des Punktes $P(2\,|\,6)$ in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\,|\,0)$ ein.

$y = a \cdot x^2$

$6 = a \cdot 2^2$

Löse diese Gleichung nach $a$ auf!

$6 = a \cdot 4 \hspace{2cm}|:4$

$\dfrac{6}{4} = a$

$a = 1{,}5$

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert $a=1{,}5$.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$ ein.

Damit erhältst du $y = 1{,}5 x^2$.

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also $y=1{,}5 x^2$.

Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.

Um den Öffnungsfaktor der Parabel zu bestimmen benötigst du einen Punkt, der nicht der Scheitelpunkt ist. In der Angabe ist schon der Punkt $P(3\,|-1)$ gegeben.

Setze die Koordinaten des Punktes $P(3\,|-1)$ in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\,|\,0)$ ein.

$y = a \cdot x^2$

$-1 = a \cdot 3^2$

Löse diese Gleichung nach $a$ auf!

$-1 = a \cdot 9 \hspace{2cm}|:9$

$-\dfrac{1}{9} = a$

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert $a=-\dfrac{1}{9}$.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$ ein.

Damit erhältst du $y = -\dfrac{1}{9} x^2$.

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also $y=-\dfrac{1}{9} x^2$.

Überlege dir, was macht das Minus vor dem x und was macht die 3 da. Das Minus öffnet die Parabel nach unten und die 3 macht die Parabel schmaler. Wenn du jetzt noch zwei x-Werte einsetzt kannst du die Funktion gut zeichnen.

Der Faktor $\frac{1}{3}$ ist kleiner als 1 und macht die Parabel damit breiter.

Überlege dir, was die 2 für Auswirkungen auf die Funktion hat. Richtig, in diesem Fall steht das $b$ in $ax^2+b$ für die Verschiebung entlang der y-Achse, hier in die negative Richtung wegen dem Minus. Ansonsten ist $x^2$ die Normalparabel.

Hier steht nur vor dem $x^2$ noch der Faktor $\frac{1}{2}$. Dieser öffnet die Parabel weiter.

Überlege dir, was das Minus vor dem $x$ macht. Außerdem haben wir eine Verschiebung um plus $4$ in die y-Richtung.

Überlege dir, was die $\frac{1}{10}$ für Auswirkungen auf die Funktion hat.