🎓 Ui, fast schon PrĂŒfungszeit? Hier geht's zur Mathe-PrĂŒfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Gruppe A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich.

    1. a8a−8=\displaystyle\frac{a^8}{a^{-8}}=

      (Verwende ^ fĂŒr Potenzen)
    2. (a8)−8={(a⁾)}^{-8}=

      (Verwende ^ fĂŒr Potenzen)
  2. 2
    BodenflÀche Bayerns

    Die BodenflĂ€che Bayerns betrĂ€gt insgesamt etwas 70 000 kmÂČ. Das Diagramm zeigt wie diese genutztwird (Stand: 31.12.2015).

    1. Wie viele km2\text{km}^2 der BodenflÀche Bayerns sind weder Wald- noch LandwirtschaftsflÀche.

    2. 40% der „Siedlungs- und VerkehrsflĂ€che“ sind der VerkehrsflĂ€che zuzuordnen. Geben Sie an, wie viel Prozent der BodenflĂ€che Bayerns demnach VerkehrsflĂ€che sind.

    3. In Bayern wird tĂ€glich BodenflĂ€che in einer GrĂ¶ĂŸe von etwa zehn Fußballfeldern in „Siedlungs- und VerkehrsflĂ€che“ umgewandelt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der BodenflĂ€che Bayerns demnach in einem Jahr in „Siedlungs- und VerkehrsflĂ€che“ umgewandelt werden. Gehen Sie davon aus, dass ein Fußballfeld etwa zehntausend Quadratmeter groß ist

  3. 3
    Dreieck 4

    Betrachtet wird das nebenstehende Dreieck ABC.

    1. Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung den Wert von tan⁥(α)\tan\left(\alpha\right).

    2. BegrĂŒnden Sie mithilfe einer geeigneten Erweiterung der Abbildung, dass die Beziehung

      tan⁥(2α)=2⋅tan⁥(α)\tan\left(2\alpha\right)=2\cdot\tan\left(\alpha\right) im Allgemeinen nicht gilt.

  4. 4

    Beim Spiel „MĂ€xchen“ werden zwei Laplace-WĂŒrfel geworfen. Die beiden geworfenen Augenzahlen werden als Ziffern einer zweistelligen Zahl so angeordnet, dass diese möglichst groß ist. FĂŒr die Ergebnisse ist die folgende Rangfolge festgelegt (aufsteigend geordnet):

    MĂ€xchen
    1. BegrĂŒnden Sie: Die Wahrscheinlichkeit dafĂŒr, die Zahl 22 zu erhalten, betrĂ€gt 136\frac1{36}, und die Wahrscheinlichkeit dafĂŒr, ein MĂ€xchen zu erhalten, ist doppelt so groß.

    2. Lena hat die Zahl 54 erwĂŒrfelt und behauptet: „Wenn ich jetzt die beiden WĂŒrfel noch einmal werfe, betrĂ€gt die Wahrscheinlichkeit dafĂŒr, ein besseres Ergebnis zu erhalten, genau 50%“. BegrĂŒnden Sie, dass Lena recht hat.

  5. 5

    Alina möchte untersuchen, ob der Regenbogen auf ihrem Foto parabelförmig ist. Dazu hat sie in das Foto ein Koordinatensystem eingezeichnet, dessen x-Achse im Ursprung den höchsten Punkt des Regenbogens berĂŒhrt.

    Regenbogen

    Sie möchte die Gleichung einer Parabel aufstellen, deren Scheitel im Ursprung liegt und die durch einen weiteren Punkt P verlÀuft, der auf dem Regenbogen liegt. Dazu verwendet sie einen der folgenden AnsÀtze, wobei r > 0 gilt.

    (1) y=−(x−r)2y=-{(x-r)}^2

    (2) y=−x2+ry=-x^2+r

    (3) y=−rx2y=-rx^2

    1. BegrĂŒnden Sie, dass weder Ansatz (1) noch Ansatz (2) geeignet ist

    2. WĂ€hlen Sie in der Abbildung einen geeigneten Punkt P aus und bestimmen Sie damit den Wert von rr in Ansatz (3).

    3. Beschreiben Sie, wie Alina untersuchen kann, ob die Form des Regenbogens durch die in Aufgabe b ermittelte Gleichung beschrieben werden kann.

  6. 6

    Welche der folgenden Zahlen sind rational?

  7. 7
    Dreieck

    Betrachtet wird das bei C rechtwinklige Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c. Ein dazu kongruentes Dreieck A'B'C' ist so positioniert, dass die Punkte C, A (bzw. B') und C' auf einer Geraden liegen und die Punkte C', A', B und C die Eckpunkte eines Trapezes bilden (vgl. Abbildung).

    1. BegrĂŒnden Sie, dass der Winkel ∠Aâ€ČAB\angle A'AB ein rechter Winkel ist.

    2. Der FlĂ€cheninhalt des Trapezes C'A'BC kann sowohl mit dem Term 12⋅(a+b)⋅(a+b)\frac12\cdot(a+b)\cdot(a+b) berechnet werden, der sich unmittelbar aus der bekannten „Trapezformel“ ergibt, als auch mit einem Term, der sich aus der Betrachtung der Teildreiecke des Trapezes ergibt. Übersetzen Sie diese Informationen in eine Gleichung und folgern Sie hieraus sie Beziehung a2+b2=c2a^2+b^2=c^2.


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?