Gruppe A

${\displaystyle \frac{a^8}{a^{-8}}}$

Beachte die Potenzgesetze. Bei einem Bruch werden die Exponenten (Hochzahlen) von einander subtrahiert.

$=a^{8-(-8)}=a^{8+8}=a^{16}$

$(a^8{)}^{-8}=a^{8\cdot (-8)}=a^{-64}$

Die Gesamtbodenfläche Bayerns liegt bei $70000{\text{km}}^2$. Das heißt $70000{\text{km}}^2$ entsprechen $100\%$ der Gesamtbodenfläche Bayerns.

Gesucht wird, wie viel Fläche Bayerns weder Wald- noch Landwirtschaftsfläche ist.

Die Waldfläche macht $36\%$ der Bodenfläche Bayerns aus und die Landwirtschaftsfläche $47\%$. Somit sind $100\%-47\%-36\%=17\%$ der Bodenfläche Bayerns weder Landwirtschaftsfäche noch Waldfläche.

Die Lösung der Aufgabe kannst du nun exakt berechnen oder über eine Überschlagsrechnung bestimmen. Du wählst aus, was für dich leichter ist.

1) Lösung durch Überschlagsrechnung

Dafür runden wir den Prozentsatz der Siedlungs- und Verkehrsfläche ein wenig ab auf $15\%$ und erhöhen die Geamtbodenfläche Bayerns auf $100.000{\text{km}}^2$. So ergibt sich:

$\mathrm{0,17}\cdot 70.000{\text{km}}^2\approx \mathrm{0,15}\cdot 100.000{\text{km}}^2=15.000{\text{km}}^2\approx 12.000{\text{km}}^2$

Wenn du die Antwortoptionen mit deinem Ergebnis der Überschlagsrechnung vergleichst, kann man sehen, dass nur $12.000{\text{km}}^2$ die passende Größenordnung besitzt. Und somit ist $12.000{\text{km}}^2$die Lösung.

Die zusammengesetzte Summe aus den sonstigen Flächen zusammengefügt mit der Siedlungs- und Verkehrsfläche beträgt $17\%$ der Gesamtbodenfläche Bayerns $70000{\text{km}}^2$. Nun kannst du entweder die Lösung exakt berechnen oder versuchst die ungefähre Lösung zu überschlagen. Da die Antwortmöglichkeiten für die Aufgabenstellung weit auseinander liegen, können wir so die Lösung bestimmen.

Dafür runden wir den Prozentsatz der Siedlungs- und Verkehrsfläche ein wenig ab auf $15\%$ und erhöhen die Gesamtbodenfläche Bayerns auf $100.000{\text{km}}^2$. So ergibt sich:

$\mathrm{0,17}\cdot 70.000{\text{km}}^2\approx \mathrm{0,15}\cdot 100.000{\text{km}}^2=15.000{\text{km}}^2\approx 12.000{\text{km}}^2$

Wenn du die Antwortoptionen mit deinem Ergebnis der Überschlagsrechnung vergleichst, kann man sehen, dass nur $12.000{\text{km}}^2$ die passende Größenordnung besitzt.

Und somit ist $12.000{\text{km}}^2$die Lösung.

2) Exakte Lösung

Man kann mit dem Dreisatz berechnen, wie viel $17\%$ der Gesamtbodenfläche sind.

Schritt 1: $100\%$ herauslesen

Wie oben schon entsprechen $100\%$ der Gesamtbodenfläche Bayerns genau $70000{\text{km}}^2$.

Schritt 2: $1\%$ berechnen

$1\%$ ist ein Hundertstel der Gesamtbodenfläche von $70000{\text{km}}^2$

Schritt 3: $17\%$ bestimmen

$17\%$ ist das 17-fache von $1\%$ der Gesamtbodenfläche.

$17\%=17\cdot 1\%$ und $1\%\widehat{=}700{\text{km}}^2$.

Somit sind $11.900{\text{km}}^2$ Bayerns weder Landwirtschaftliche noch Waldfläche. Das sind in etwa $12000{\text{km}}^2$.

Der prozentuale Anteil der Verkehrsfläche beträgt $40\%$, der allgemeine Bereich der Siedlungs- und Verkehrsfläche $12\%$. Wie viel Prozent der Bodenfläche Bayerns sind also Verkehrsfläche?.

Man nehme, um den Anteil $$der Verkehrsfläche der Bodenfläche Bayerns herauszufinden, die Gesamtfläche $12\%$ geteilt durch $100$ und multipliziert diese mal $40$. Das Ergebnis ist also $\mathrm{4,8}\%$.

${\displaystyle \frac{12}{100}}\cdot 40\%=\mathrm{4,8}\%$

Die neu zugebaute Fläche Bayerns $\text{1}0000m^2$multipliziert man mit $10$ und $365$. Die $10$ wegen der Größe von etwa zehn Fußballfeldern und die $365$, weil wir von dem Anteil der Fläche im Jahr ausgehen.

$10000{\text{m}}^2\cdot 10\cdot 365=36500000{\text{m}}^2$

Weil das Produkt dieser Multiplikation $3650000000$ in ${\text{m}}^2$ ist und die Bodenfläche Bayerns laut Angabe $70000{\text{km}}^2$ beträgt, muss man im nächsten Schritt die ${\text{m}}^2$ in ${\text{km}}^2$ umrechnen.

$36500000{\text{m}}^2\widehat{=}\mathrm{36,5}{\text{km}}^2$

$$Im letzten Schritt werden die $\mathrm{36,5}{\text{km}}^2$ durch die Bodenfläche Bayerns $70000{\text{km}}^2$geteilt. Dies gibt uns schlussendlich das Ergebnis zur Aufgabe.

${\displaystyle \frac{\mathrm{36,5}}{70000}}\approx \mathrm{0,05}\%$

Die neu zugebaute Fläche pro Jahr in Bayern beträgt also $\mathrm{0,05}\%$ der Gesamtfläche von Bayern.

Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist :

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$

angewandt auf das obige Dreieck:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}}\Rightarrow \tan (\alpha )={\displaystyle \frac{6\text{LE}}{10\text{LE}}}\Rightarrow \tan (\alpha )={\displaystyle \frac{3}{5}}$

$\tan (\alpha )=\mathrm{0,6}$

Du verlängerst die Strecke $[BC]$ nach oben bis zu einem Punkt $D$, so dass der Winkel $\angle BAD$ den Wert $2\alpha$ hat.

Damit die in der Aufgabenstellung genannte Beziehung gilt, müsste hier in diesem Fall gelten:

Anhand der Zeichnung kannst du jetzt aber erkennen, dass gilt:

Damit hast du jetzt gezeigt, dass die Aussage allgemein nicht gilt.

Wenn wir die Reihenfolge der Würfe beachten gibt es insgesamt $36$ mögliche Ergebnisse des Wurfs mit zwei Würfeln. Die Ergebnisse stellen wir so dar (Augenzahl des ersten Würfels, Augenzahl des zweiten Würfels) und erhalten die Ergebnisse:

${\mathrm{\Omega }}_{\text{mit Reihenfolge}}=\{\left(\mathrm{1,1}\right),\left(\mathrm{1,2}\right),\left(\mathrm{1,3}\right),\left(\mathrm{1,4}\right),\left(\mathrm{1,5}\right),\left(\mathrm{1,6}\right),\left(\mathrm{2,1}\right),\left(\mathrm{2,2}\right),...,\left(\mathrm{6,4}\right),\left(\mathrm{6,5}\right),\left(\mathrm{6,6}\right)\}$

Im Spiel Mäxchen wird jedoch die Reihenfolge nicht beachtet und das Ergebnis stets so angeordnet, dass die erste Ziffer größer oder gleich der zweiten Ziffer ist. So vermindert sich der Ergebnisraum auf ${\mathrm{\Omega }}_{\text{Mäxchen}}=\{\mathrm{11,21,31,41,51,61},...,66\}$.

Wahrscheinlichkeit $22$ zu würfeln

Um das Ergebnis $22$ im Spiel zu erhalten, musst du sowohl mit dem ersten, als auch mit dem zweiten Würfel eine $2$ würfeln. Das heißt für das Ergebnis $22$ ist nur eine von $36$ Möglichkeiten günstig und die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $22$ ist:

$\text{P}\left(22\right)=\frac{1}{36}$

Wahrscheinlichkeit eines Mäxchens

Um ein Mäxchen zu bekommen, kann man entweder mit dem ersten Würfel eine $2$ würfeln und mit dem zweiten Würfel eine 1, oder man wirft mit dem ersten Würfel eine $1$ und mit dem zweiten Würfel eine $2$. Somit hat man zwei von $36$ Möglichkeiten das Ergebnis $21$, also ein Mäxchen zu erhalten.

$\text{P}\left(21\right)=\frac{2}{36}$

Die Wahrscheinlichkeit ein Mäxchen zu würfeln ist also doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit für einen Zweier Pasch.

Da der Laplace Würfel insgesamt $6\cdot 6$ Möglichkeiten aufweist gibt es insgesamt 36 Möglichkeiten, wenn $2$ unterschiedliche Zahlen gewürfelt werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{36}$ dadurch fällt die Wahrscheinlichkeit eines Pasch auf $\frac{1}{18}$.

Zu beachten ist das die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pasche und der $6er$ Kombination $+$ Mäxchen: $2+2+2+2+2+1+1+1+1+1+1+2=18$ ist.

Da es insgesamt $36$ Möglichkeiten gibt und darunter $18$ Pasche, $6er$ Kombinationen und Mäxchen verbleiben, rechnet man diese im Quotienten zu einander und multipliziert sie mal $100$.

$\frac{18}{36}\cdot 100=50\%$

Die errechneten $50\%$ weisen darauf hin das Lisa vollkommen richtig liegt und das sie bei ihrem nächsten Wurf ihre Chancen auf Erfolg um $50\%$ steigert.

Hier musst du wissen, was die einzelnen Parameter einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform bedeuten.

Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform, lässt sich durch passende Wahl der Parameter $a$, $d$ und $e$ immer so schreiben:

In Ansatz (1) ist $a=-1$. Daher beschreibt sie eine nach unten geöffnete Parabel. Der Regenbogen sieht auch wie eine nach unten geöffnete Parabel aus, also wäre das schon mal richtig.

In Ansatz (1) kommt aber noch der Parameter $d=r$ vor. Das bedeutet die Parabel ist nach links oder rechts vom Ursprung verschoben. (Da $r$ größer als Null ist, ist sie nach rechts verschoben.) Der Regenbogen soll jedoch wie im Bild in der Aufgabenstellung durch den Ursprung gehen und daher nicht verschoben sein. Ansatz (1) ist also falsch.

In Ansatz (2) ist wieder $a=-1$. Das würde schonmal passen. Aber $e=r$ verschiebt unsere Parabel um $r$ nach oben. Da aber der Graph des Regenbogens durch den Ursprung gehen soll, kann dieser Ansatz nicht stimmen.

Versuche hier einen Punkt im Bild zu finden, der relativ leicht abzulesen ist. Oft hilft es, ein Lineal zum Finden geeigneter Punkte zu verwenden. Setze dann den Punkt in den Funktionsterm von Ansatz (3) ein, um $r$ zu bestimmen.

Der Punkt $P(6|-3)$ liegt auf dem Regenbogen-Graphen und lässt sich leicht ablesen.

Einsetzen des Punkts in $y=-r{x}^2$ liefert:

$-3=-r\cdot 6^2$

Das kannst du nun umformen:

$\begin{array}{rlll}-3& =& -r\cdot 6^2& \\ -3& =& -r\cdot 36& |:36\\ -{\displaystyle \frac{3}{36}}& =& -r& \\ -{\displaystyle \frac{1}{12}}& =& -r& |\cdot (-1)\\ {\displaystyle \frac{1}{12}}& =& r& \end{array}$

$r$ ist also ${\displaystyle \frac{1}{12}}$.

Alina kann einen oder mehrere weiteren Punkt auf der Parabel $y=-{\displaystyle \frac{1}{12}}{x}^2$ berechnen. Wenn diese auch auf dem Regenbogengraphen liegen, lässt das die Vermutung zu, dass der Regenbogengraph eine Parabelform hat.

Setze zum Beispiel für $x$ die Werte $2$, $3$ und $4$ ein

Alle Punkte liegen auf dem Graphen zum Regenbogen. Daher hat der Regenbogen im Bildausschnitt eine Parabelform.

In dieser Aufgabe, wird überprüft, dass $\angle A^{\prime }AB$ ein rechter Winkel ist.

Es gilt $\alpha +\beta +\angle A^{\prime }AB=180°$, da die drei Winkel auf einer Gerade liegen.

Den gesuchten Winkel $\gamma =\angle A^{\prime }AB$ können wir zu $\alpha$ und $\beta$ in Verbindung bringen.

Die allgemeine Winkelsumme eines Dreiecks ist ${180}^{\circ }$. Für das Dreieck $ABC$ ist also $\alpha +\beta +90°=180°$. Daraus lässt sich auch erschließen, dass $\alpha +\beta =90°$ sind.

Setzen wir das in $\alpha +\beta +\angle A^{\prime }AB=180°$ein, bekommen wir ${90}^{\circ }+\angle A^{\prime }AB={180}^{\circ }$

Dann ist $\angle A^{\prime }AB=90°$ und $\angle A^{\prime }AB$ ist somit ein rechter Winkel.

$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}{c}^2$ $|$ $\cdot 2$ Mal 2 rechnen um Ganze zu bekommen

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$ $|$ $-2ab$ Minus 2ab um Lösung zu ergattern

$a^2+b^2=c^2$ Lösung