Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Gruppe A
Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.
Aufgaben
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich.

Die Bodenfläche Bayerns beträgt insgesamt etwas 70 000 km². Das Diagramm zeigt wie diese genutztwird (Stand: 31.12.2015).
Wie viele der Bodenfläche Bayerns sind weder Wald- noch Landwirtschaftsfläche.
etwa
etwa
etwa
etwa
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Die Gesamtbodenfläche Bayerns liegt bei . Das heißt entsprechen der Gesamtbodenfläche Bayerns.
Gesucht wird, wie viel Fläche Bayerns weder Wald- noch Landwirtschaftsfläche ist.
Die Waldfläche macht der Bodenfläche Bayerns aus und die Landwirtschaftsfläche . Somit sind der Bodenfläche Bayerns weder Landwirtschaftsfäche noch Waldfläche.
Alternativ kannst du auch die Siedlungs- und Verkehrsfläche und die sonstigen Flächen addieren. Die sonstigen Flächen machen der Gesamtbodenfläche aus und die Siedlungs- und Verkehrsflächen leigen bei . Insgesamt sind somit weder Wald- noch Landwirtschaftsfläche.
Die Lösung der Aufgabe kannst du nun exakt berechnen oder über eine Überschlagsrechnung bestimmen. Du wählst aus, was für dich leichter ist.
1) Lösung durch Überschlagsrechnung
Dafür runden wir den Prozentsatz der Siedlungs- und Verkehrsfläche ein wenig ab auf und erhöhen die Geamtbodenfläche Bayerns auf . So ergibt sich:
Wenn du die Antwortoptionen mit deinem Ergebnis der Überschlagsrechnung vergleichst, kann man sehen, dass nur die passende Größenordnung besitzt. Und somit ist die Lösung.
Die zusammengesetzte Summe aus den Sonstigen Flächen zusammengefügt mit der Siedlungs- und Verkehrsfläche beträgt der Gesamtbodenfläche Bayerns . Nun kannst du entweder die Lösung exakt berechnen oder versuchst die ungefähre Lösung zu überschlagen. Da die Antwortmöglichkeiten für die Aufgabenstellung weit auseinander liegen, können wir so die Lösung bestimmen.
Dafür runden wir den Prozentsatz der Siedlungs- und Verkehrsfläche ein wenig ab auf und erhöhen die Geamtbodenfläche Bayerns auf . So ergibt sich:
Wenn du die Antwortoptionen mit deinem Ergebnis der Überschlagsrechnung vergleichst, kann man sehen, dass nur die passende Größenordnung besitzt.
Und somit ist die Lösung.
2) Exakte Lösung
Schritt 1: herauslesen
Wie oben schon entsprechen der Gesamtbodenfläche Bayerns genau .
Schritt 2: berechnen
ist ein Hundertstel der Gesamtbodenfläche von
Schritt 3: bestimmen
ist das 17-fache von der Gesamtbodenfläche.
und .
Prozentsatz p |
Fläche |
---|---|
%%100 \% %% |
%%70000 \text{km}^2%% |
%%1 \% %% |
%%700 \text{km}^2%% |
%%17 \% %% |
%%11900 \text{km}^2%% |
Somit sind Bayerns weder Landwirtschaftliche noch Waldfläche. Das sind in etwa .
Du kannst dies auch schneller berechnen mit der Prozentrechnung mittels Formeln. Hier nutzt du die Formel , wobei der Prozentwert, der Prozentsatz und der Grundwert sind.
In der Aufgabenstellung sind von gesucht. sind also der Prozentsatz und entsprechen dem Grundwert . Gesucht wird der Prozentwert .
In Bayern wird täglich Bodenfläche in einer Größe von etwa zehn Fußballfeldern in „Siedlungs- und Verkehrsfläche“ umgewandelt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der Bodenfläche Bayerns demnach in einem Jahr in „Siedlungs- und Verkehrsfläche“ umgewandelt werden. Gehen Sie davon aus, dass ein Fußballfeld etwa zehntausend Quadratmeter groß ist
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen
Die neu zugebaute Fläche Bayerns multipliziert man mit und . Die wegen der Größe von etwa zehn Fußballfeldern und die , weil wir von dem Anteil der Fläche im Jahr ausgehen.
Weil das Produkt dieser Multiplikation in ist und die Bodenfläche Bayerns laut Angabe beträgt, muss man im nächsten Schritt die in umrechnen.
Im letzten Schritt werden die durch die Bodenfläche Bayerns geteilt. Dies gibt uns schlussendlich das Ergebnis zur Aufgabe.
Die neuzugebaute Fläche pro Jahr in Bayern beträgt also %%0,05\% %% der Gesamtfläche von Bayern.

Betrachtet wird das nebenstehende Dreieck ABC.
Begründen Sie mithilfe einer geeigneten Erweiterung der Abbildung, dass die Beziehung
im Allgemeinen nicht gilt.
Beim Spiel „Mäxchen“ werden zwei Laplace-Würfel geworfen. Die beiden geworfenen Augenzahlen werden als Ziffern einer zweistelligen Zahl so angeordnet, dass diese möglichst groß ist. Für die Ergebnisse ist die folgende Rangfolge festgelegt (aufsteigend geordnet):

Begründen Sie: Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Zahl 22 zu erhalten, beträgt , und die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Mäxchen zu erhalten, ist doppelt so groß.
Lena hat die Zahl 54 erwürfelt und behauptet: „Wenn ich jetzt die beiden Würfel noch einmal werfe, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, ein besseres Ergebnis zu erhalten, genau 50%“. Begründen Sie, dass Lena recht hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten beim Würfel zweier Laplace Würfel
Da der Laplace Würfel insgesamt Möglichkeiten aufweist gibt es insgesamt 36 Möglichkeiten, wenn unterschiedliche Zahlen gewürfelt werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit dadurch fällt die Wahrscheinlichkeit eines Pasch auf .
Zu beachten ist das die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pasche und der Kombination Mäxchen: ist.
Da es insgesamt Möglichkeiten gibt und darunter Pasche, Kombinationen und Mäxchen verbleiben, rechnet man diese im Quotienten zu einander und multipliziert Sie mal .
Die errechneten weisen darauf hin das Lisa vollkommen richtig liegt und das Sie bei Ihren nächsten Wurf Ihre Chancen auf Erfolg um steigert.
Alina möchte untersuchen, ob der Regenbogen auf ihrem Foto parabelförmig ist. Dazu hat sie in das Foto ein Koordinatensystem eingezeichnet, dessen x-Achse im Ursprung den höchsten Punkt des Regenbogens berührt.

Sie möchte die Gleichung einer Parabel aufstellen, deren Scheitel im Ursprung liegt und die durch einen weiteren Punkt P verläuft, der auf dem Regenbogen liegt. Dazu verwendet sie einen der folgenden Ansätze, wobei r > 0 gilt.
(1)
(2)
(3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel in Scheitelpunktsform
Hier musst du wissen, was die einzelnen Parameter einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform bedeuten.
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform, lässt sich durch passende Wahl der Parameter , und immer so schreiben:
In Ansatz (1) ist . Daher beschreibt sie eine nach unten geöffnete Parabel. Der Regenbogen sieht auch wie eine nach unten geöffnete Parabel aus, also wäre das schon mal richtig.
In Ansatz (1) kommt aber noch der Parameter vor. Das bedeutet die Parabel ist nach links oder rechts vom Ursprung verschoben. (Da größer als Null ist, ist sie nach rechts verschoben.) Der Regenbogen soll jedoch wie im Bild in der Aufgabenstellung durch den Ursprung gehen und daher nicht verschoben sein. Ansatz (1) ist also falsch.
In Ansatz (2) ist wieder . Das würde schonmal passen. Aber verschiebt unsere Parabel um nach oben. Da aber der Graph des Regenbogens durch den Ursprung gehen soll, kann dieser Ansatz nicht stimmen.
Wählen Sie in der Abbildung einen geeigneten Punkt P aus und bestimmen Sie damit den Wert von in Ansatz (3).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen lösen
Versuche hier einen Punkt im Bild zu finden, der relativ leicht abzulesen ist. Oft hilft es, ein Lineal zum Finden geeigneter Punkte zu verwenden. Setze dann den Punkt in den Funktionsterm von Ansatz (3) ein, um zu bestimmen.
Der Punkt liegt auf dem Regenbogen-Graphen und lässt sich leicht ablesen.
Einsetzen des Punkts in liefert:
Das kannst du nun umformen:
ist also .
Beschreiben Sie, wie Alina untersuchen kann, ob die Form des Regenbogens durch die in Aufgabe b ermittelte Gleichung beschrieben werden kann.
Alina kann einen oder mehrere weiteren Punkt auf der Parabel berechnen. Wenn diese auch auf dem Regenbogengraphen liegen, lässt das die Vermutung zu, dass der Regenbogengraph eine Parabelform hat.
Setze zum Beispiel für die Werte , und ein
%%x%% |
2 |
3 |
4 |
---|---|---|---|
%%y =-\dfrac{1}{12}x^2%% |
%%-\dfrac{1}{3}%% |
%%-\dfrac{3}{4}%% |
%%-\dfrac{4}{3}%% |
Alle Punkte liegen auf den Graphen zum Regenbogen. Daher beschreibt der Regenbogen im Bildausschnitt eine Parabelform.
Welche der folgenden Zahlen sind rational?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rationale Zahlen
- und somit ist eine rationale Zahl.
- ist daher rational.
- ist eine rationale Zahl.
- ist als einziges keine rationale Zahl. Die Erklärung hierfür ist ein wenig komplexer, aber auch interessant. Reelle Zahlen
Einen ausführlichen Beweis zu dieser Frage findest du in unserem Kurs zur Einführung reeller Zahlen.

Betrachtet wird das bei C rechtwinklige Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c. Ein dazu kongruentes Dreieck A'B'C' ist so positioniert, dass die Punkte C, A (bzw. B') und C' auf einer Geraden liegen und die Punkte C', A', B und C die Eckpunkte eines Trapezes bilden (vgl. Abbildung).
Begründen Sie, dass der Winkel ein rechter Winkel ist.
In dieser Aufgabe, wird überprüft, dass ein rechter Winkel ist.
Es gilt , da die drei Winkel auf einer Gerade liegen.
Den gesuchten Winkel können wir zu und in Verbindung bringen.
Die allgemeine Winkelsumme eines Dreiecks ist . Für das Dreieck ist also . Daraus lässt sich auch erschließen, dass sind.
Setzen wir das in ein, bekommen wir
Dann ist und ist somit ein rechter Winkel.
Der Flächeninhalt des Trapezes C'A'BC kann sowohl mit dem Term berechnet werden, der sich unmittelbar aus der bekannten „Trapezformel“ ergibt, als auch mit einem Term, der sich aus der Betrachtung der Teildreiecke des Trapezes ergibt. Übersetzen Sie diese Informationen in eine Gleichung und folgern Sie hieraus sie Beziehung .
Mal 2 rechnen um Ganze zu bekommen
Minus 2ab um Lösung zu ergattern
Lösung
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