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Orthogonalität

Bei Orthogonalität handelt es sich um einen Begriff, der u.a. in der analytischen Geometrie verwendet wird.

Zwei Objekte heißen orthogonal zueinander, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.

Schreibweise:

aba\perp b bedeutet "a steht senkrecht auf bb "

Überprüfung der Orthogonalität von...

... Vektoren

Zwei Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Das ist zwar auch der Fall, wenn einer von ihnen (oder beide) der Nullvektor ist, dann spricht man aber nicht davon, dass sie senkrecht aufeinander stehen.

... Geraden    

Wie man überprüft, ob zwei Geraden zueinander orthogonal sind, erfährst du in diesem Artikel: Zwei zueinander senkrechte Geraden

  

... Ebenen    

Wie man überprüft, ob zwei Ebenen zueinander orthogonal sind, erfährst du in diesem Artikel: Zwei zueinander senkrechte Ebenen

... einer Ebene zu einer Geraden

Eine Gerade steht auf einer Ebene senkrecht, wenn ihr Richtungsvektor parallel zum Normalvektor der Ebene liegt:

 

E:  nx=a              (aR)g:  x=r+λb  gEb=μn        (fu¨r  ein  μR)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}E:\;\vec n\cdot\vec x=a\;\;\;\;\;\;\;(a\in ℝ)\\g:\;\vec x=\vec r+\lambda\vec b\;\\\\g\perp E\Leftrightarrow\vec b=\mu\vec n\;\;\;\;(\mathrm{für}\;\mathrm{ein}\;\mu\in ℝ)\end{array}

gleichbedeutend mit n×b=0\vec n\times\vec b=0

Konstruktion

Geometrische Konstruktion einer senkrechten Gerade

Im folgenden Artikel lernst du wie man ein Lot fällt, also eine senkrechte Gerade konstruiert: Lot

Senkrechte auf einem Vektor in der Ebene

Auf dem Vektor a=(xy)\vec a=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} stehen die beiden Vektoren

b=(yx)\vec b=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix} und b=(yx)\vec b'=\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}

senkrecht (und haben zusätzlich den gleichen Betrag).

Dabei ist der Erste im Uhrzeigersinn um 90° gedreht und der Zweite gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Es sind aber nicht die einzigen senkrechten Vektoren, denn jedes Vielfache von ihnen steht auch senkrecht auf a\vec a.

Beispiel mit

a=(12)\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} , b=(21)\vec b=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} , b=(21)\vec b'=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}

Senkrechte auf zwei Vektoren im Raum

Im Raum sind zwei Vektoren notwendig, um eine eindeutige senkrechte "Richtung" zu bestimmen. Diese erhält man mithilfe des Kreuzproduktes der beiden Vektoren.

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

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