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Metrische Geometrie

  1. Gegeben sind die beiden Ebenen EE und FF mit

    E:xβƒ—=(123)+sβ‹…(βˆ’101)+tβ‹…(1βˆ’1βˆ’2)E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}; s,t∈Rs,t\in\mathbb{R} und

    F:x1–x2+x3βˆ’1=0.F: x_1 – x_2 + x_3 - 1 = 0.

    a) Weisen Sie nach, dass EE und FF parallel zueinander liegen.

    b) Bestimmen Sie den Abstand von EE und FF.

  2. Gegeben sind die Punkte A(3∣0∣1),A(3|0|1), B(6∣2∣2) B(6|2|2) und C(0∣3∣5). C(0|3|5). Die Ebene EE enthÀlt die Punkte A,BA,B und C.C.

    a) Bestimmen Sie die Gleichung von EE in Normalenform und Koordinatenform.

    b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene EE zur Geraden gg mit

    g:x⃗=(401)+t⋅(210)g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

  3. Gegeben ist die Gerade gg mit g:xβƒ—=(3βˆ’27)+tβ‹…(21βˆ’4)g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}; t∈Rt\in\mathbb{R} und hh mit

    h:xβƒ—=(735)+sβ‹…(121)h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}; s∈Rs\in\mathbb{R}

    a) Zeigen Sie, dass die Geraden gg und hh orthogonal zueinander liegen.

    b) Untersuchen Sie, ob sich gg und hh auch schneiden.

  4. Gegeben sind die Punkte A(12∣0∣0)A(12|0|0), B(4∣10∣5)B(4|10|5) und C(2∣8∣4).C (2|8|4).

    a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABCABC rechtwinklig ist.

    b) Berechnen Sie den FlΓ€cheninhalt des Dreiecks ABCABC.

  5. Gegeben sind die Punkte A(1∣3∣0),B(3∣7βˆ£βˆ’4)A(1|3|0), B(3|7|-4) und C(2∣8∣1) C(2|8|1).

    Berechnen Sie den FlΓ€cheninhalt des Dreiecks ABCABC.

  6. Gegeben sind die Punkte A(βˆ’7∣0∣1),B(βˆ’5∣3∣1)A(-7|0|1), B(-5|3|1) und C(βˆ’4∣0βˆ£βˆ’1)C(-4|0|-1).

    a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABCABC gleichschenklig ist.

    b) Das Dreieck ABCABC lΓ€sst sich so durch einen Punkt PP ergΓ€nzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von PP.

    c) Berechnen Sie den FlΓ€cheninhalt des Dreiecks ABCABC.