Lösung zu a)

Die Ebenen sind parallel zueinander, wenn die Normalenvektoren parallel zueinander sind.

$\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\vec n_E=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$

Aus der Koordinatenform von der Ebene $F$ liest du den Normalenvektor ab:

$\vec n_F=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\vec n_E=\vec n_F$

Die Ebenen sind parallel zueinander.

Lösung zu b)

Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $F$:

$F_{HNF}: \;\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0\;\Rightarrow\;\dfrac{ x_1-x_2+x_3-1}{\sqrt{3}}=0$

Setze den Aufpunkt $A(1|2|3)$ der Ebene $E$ in die Hessesche Normalenform ein, um den Abstand der beiden Ebenen zu berechnen.

$d(A,F)=\left|\dfrac{1\cdot1-1\cdot2+1\cdot3-1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\right|=\left|\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3}$

Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3}$ voneinander.

Lösung zu a)

Für die Ebene in Parameterform gilt:

$E_{ABC}=\overrightarrow{OA}+r \cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)+s \cdot \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)$

$E_{ABC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \left(\begin{pmatrix} 6 \\2\\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)+s \cdot \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)$

$E_{ABC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3\\4 \end{pmatrix}$

Bei der Umrechnung der Ebenengleichung in die Normalenform muss das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene berechnet werden.

$\vec n_E=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-15\\15\end{pmatrix}$

Der Normalenvektor kann noch vereinfacht werden: $\vec n_E=\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}$

Mit dem Punkt $A(3|0|1)$ erhältst du dann die Normalenform der Ebene:

$E: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OA}\right)\circ \vec n_E =0\;\Rightarrow\;\left(\vec x-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix}=0$

Wird das Skalarprodukt ausmultipliziert, erhältst du die Koordinatenform der Ebenengleichung:

$E:\;x_1-3x_2+3x_3-(3+0+3)=0\;\Rightarrow\;x_1-3x_2+3x_3-6=0$

Antwort: Die Ebene in Normalenform hat die Gleichung $E:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix}=0$ und in Koordinatenform lautet sie:

$E:\;x_1-3x_2+3x_3=6$

Lösung zu b)

Lageuntersuchung: $g\cap E$

Setze $g$ in $E$ ein:

Du hast für $t$ eine Lösung erhalten, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich.

Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene

Setze $t=1$ in die Geradengleichung ein: $\vec x_S=\begin{pmatrix} 4 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\1\\ 1 \end{pmatrix}$

Antwort: Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $S(6|1|1)$.

Lösung zu a)

Wenn die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander liegen sollen, dann muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null sein.

$\vec u_g=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}$ und $\vec u_h=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$$\;\Rightarrow\;\vec u_g \circ \vec u_h=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}=2+2-4=0$

Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ liegen orthogonal zueinander.

Lösung zu b)

Lageuntersuchung:

Setze $g=h$:

$\begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

Umgeformt erhältst du: $\begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}=s\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}-t \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}$ bzw.

$\begin{pmatrix} -4 \\-5\\ 2 \end{pmatrix}=s\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}-t \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}$

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I}&s & - &2 t& = &-4 \\\mathrm{II} &2s & - & t & = & -5 \\ \mathrm{III} & s& + &4t & = & 2 \end{array} $

Mit dem  Additionsverfahren wird aus den Gleichungen $\mathrm{(I)}$ und $\mathrm{(II)}$ der Parameter $s$ eliminiert.

Rechne dazu: $\mathrm{II}+(-2)\cdot\mathrm{I}$ $\;\Rightarrow\;3t=3\;\Rightarrow\;t=1$

Setze $t=1$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein $\;\Rightarrow\; s-2\cdot 1=-4\;\Rightarrow\;s=-2$

Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}$: $s+4t=2\;\Rightarrow\;-2+4\cdot 1=2\;\checkmark$

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $t=1$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\vec x_S=\begin{pmatrix} 3 \\ -2\\7 \end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\-1\\ 3 \end{pmatrix}$

Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S(5|-1|3)$.

Lösung zu a)

Berechne die Vektoren der drei Dreiecksseiten:

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\10\\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}12 \\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 \\10\\5 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2\\8\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\10\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\-2\\ -1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}12 \\0\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\8\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 \\-8\\-4 \end{pmatrix}$

Betrachtest du die Längen der drei Vektoren, dann ist der Betrag des Vektors $\overrightarrow{AB}$ am größten. Der rechte Winkel muss also der Seite $\overline{\mathrm{AB}}$ gegenüber beim Punkt $C$ liegen, d.h. dann muss das Skalarprodukt $\overrightarrow{BC}\circ\overrightarrow{CA}=0$ sein.

Berechne das Skalarprodukt: $\overrightarrow{BC}\circ\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}-2 \\-2\\ -1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}10 \\-8\\-4 \end{pmatrix}=-20+16+4=0\;\checkmark$

Antwort: Das Dreieck hat im Punkt $C$ einen rechten Winkel.

Lösung zu b)

Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann die Dreiecksfläche folgendermaßen berechnet werden:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\big\vert \overrightarrow{BC} \big\vert \cdot\big\vert\overrightarrow{CA}\big\vert$

$=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{10^2+(-8)^2+(-4)^2}$

$=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{180}$

$=\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{180}$

$=\dfrac{3}{2}\cdot6 \cdot \sqrt{5}$

$=9\cdot\sqrt{5}$

Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9\cdot\sqrt{5}\;\text{FE}$.

Flächenberechnung Möglichkeit 1

Eingesetzt in die Flächenformel:

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\Big\vert\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 \\5\\ 1 \end{pmatrix}\Big\vert=\dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\begin{pmatrix}24 \\-6\\ 6 \end{pmatrix}\Big\vert$

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{24^2+(-6)^2+6^2}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{648}=9\cdot \sqrt{2}$

Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9\cdot\sqrt{2}\;\text{FE}$.

Flächenberechnung Möglichkeit 2

Eingesetzt in die Flächenformel:

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix} ^2\cdot\begin{pmatrix}1 \\5\\ 1 \end{pmatrix}^2-\left(\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1 \\5\\ 1 \end{pmatrix}\right)^2}$

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{(4+16+16)\cdot(1+25+1)-(2+20-4)^2}$

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{36\cdot 27-18^2}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{648}=\dfrac{1}{2}\cdot 18\cdot\sqrt{2}=9\cdot\sqrt{2}$

Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9\cdot\sqrt{2}\;\text{FE}$.

Flächenberechnung Möglichkeit 3

Die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ hat die Gleichung

$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}1 \\3\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}$

Schneide die Gerade $g$ mit der Hilfsebene $H:\;2x_1+4x_2-4x_3-32=0$

$2\cdot(1+2r)+4\cdot(3+4r)-4\cdot(-4r)-32=0$

$2+4r+12+16r+16r-32=0\;\Rightarrow\;36r-18=0\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{2}$

Setze $r=\dfrac{1}{2}$ in $g$ ein:

$\vec x_F=\begin{pmatrix}1 \\3\\ 0 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\5\\ -2 \end{pmatrix}$

Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F(2|5|-2)$.

$\overrightarrow{FC}=\begin{pmatrix}2 \\8\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\5\\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\3\\ 3 \end{pmatrix}$

$h_C=\big\vert \overrightarrow{FC} \big\vert=\sqrt{0^2+3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\cdot\sqrt{2}$

$\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6$

Eingesetzt in die Flächenformel:

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \big\vert \overrightarrow{AB} \big\vert\cdot h_C=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot3\cdot\sqrt{2}=9\cdot\sqrt{2}$

Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9\cdot\sqrt{2}\;\text{FE}$.

Lösung zu a)

Berechne die Beträge der Vektoren $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-5\\3\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7 \\0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\3\\0 \end{pmatrix}$

$\;\Rightarrow\;\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}2 \\3\\ 0\end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{2^2+3^2+0^2}=\sqrt{13}$

$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\3\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\-3\\-2\end{pmatrix}$

$\;\Rightarrow\;\Big\vert\overrightarrow{BC}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}1\\-3\\-2\end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{1^2+(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{14}$

$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}$

$\;\Rightarrow\;\Big\vert\overrightarrow{AC}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{3^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$

$\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\Big\vert\overrightarrow{AC}\Big\vert\neq\Big\vert\overrightarrow{BC}\Big\vert$, d.h. das Dreieck ist gleichschenklig, mit der Basis $[BC]$.

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Flächenberechnung Möglichkeit 1

Eingesetzt in die Flächenformel:

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\Big\vert\begin{pmatrix}2 \\3\\0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}\Big\vert=\dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\begin{pmatrix}-6 \\4\\ -9 \end{pmatrix}\Big\vert$

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{(-6)^2+4^2+(-9)^2}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{133}$

Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{133}\;\text{FE}$.

Flächenberechnung Möglichkeit 2

Eingesetzt in die Flächenformel:

$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\begin{pmatrix}1 \\-3\\-2\end{pmatrix} ^2\cdot\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}^2-\left(\begin{pmatrix}1 \\-3\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}\right)^2}$