Metrische Geometrie
Gegeben sind die beiden Ebenen E und F mit
E:x=â123ââ+sâ ââ101ââ+tâ â1â1â2ââ; s,tâR und
F:x1ââx2â+x3ââ1=0.
a) Weisen Sie nach, dass E und F parallel zueinander liegen.
b) Bestimmen Sie den Abstand von E und F.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Lösung zu a)
Die Ebenen sind parallel zueinander, wenn die Normalenvektoren parallel zueinander sind.
aĂb=âa2âb3ââa3âb2âa3âb1ââa1âb3âa1âb2ââa2âb1âââânEâ=ââ101ââĂâ1â1â2ââ=â1â11ââ
Aus der Koordinatenform von der Ebene F liest du den Normalenvektor ab:
nFâ=â1â11ââânEâ=nFâ
Die Ebenen sind parallel zueinander.
Lösung zu b)
Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene F:
FHNFâ:a2+b2+c2âax1â+bx2â+cx3ââdâ=0â3âx1ââx2â+x3ââ1â=0
Setze den Aufpunkt A(1âŁ2âŁ3) der Ebene E in die Hessesche Normalenform ein, um den Abstand der beiden Ebenen zu berechnen.
d(A,F)=â12+(â1)2+12â1â 1â1â 2+1â 3â1ââ=â3â1ââ=3â1â=31ââ 3â
Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von 31ââ 3â voneinander.
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Gegeben sind die Punkte A(3âŁ0âŁ1), B(6âŁ2âŁ2) und C(0âŁ3âŁ5). Die Ebene E enthĂ€lt die Punkte A,B und C.
a) Bestimmen Sie die Gleichung von E in Normalenform und Koordinatenform.
b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene E zur Geraden g mit
g:x=â401ââ+tâ â210ââ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
Lösung zu a)
FĂŒr die Ebene in Parameterform gilt:
EABCâ=OA+râ (OBâOA)+sâ (OCâOA)
EABCâ=â301ââ+râ ââ622ââââ301âââ+sâ ââ035ââââ301âââ
EABCâ=â301ââ+râ â321ââ+sâ ââ334ââ
Bei der Umrechnung der Ebenengleichung in die Normalenform muss das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene berechnet werden.
nEâ=â321ââĂââ334ââ=â5â1515ââ
Der Normalenvektor kann noch vereinfacht werden: nEâ=â1â33ââ
Mit dem Punkt A(3âŁ0âŁ1) erhĂ€ltst du dann die Normalenform der Ebene:
E:(xâOA)ânEâ=0ââxââ301âââââ1â33ââ=0
Wird das Skalarprodukt ausmultipliziert, erhÀltst du die Koordinatenform der Ebenengleichung:
E:x1ââ3x2â+3x3ââ(3+0+3)=0âx1ââ3x2â+3x3ââ6=0
Antwort: Die Ebene in Normalenform hat die Gleichung E:âxââ301âââââ1â33ââ=0 und in Koordinatenform lautet sie:
E:x1ââ3x2â+3x3â=6
Lösung zu b)
Lageuntersuchung: gâ©E
Setze g in E ein:
(4+2t)â3(t)+3(1) = 6 â Löse die Klammern auf.
4+2tâ3t+3 = 6 â Löse nach t auf.
7ât = 6 â7 ât = â1 â (â1) t = 1 Du hast fĂŒr t eine Lösung erhalten, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich.
Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene
Setze t=1 in die Geradengleichung ein: xSâ=â401ââ+1â â210ââ=â611ââ
Antwort: Die Gerade g schneidet die Ebene E im Punkt S(6âŁ1âŁ1).
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Gegeben ist die Gerade g mit g:x=â3â27ââ+tâ â21â4ââ; tâR und h mit
h:x=â735ââ+sâ â121ââ; sâR
a) Zeigen Sie, dass die Geraden g und h orthogonal zueinander liegen.
b) Untersuchen Sie, ob sich g und h auch schneiden.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Lösung zu a)
Wenn die Geraden g und h orthogonal zueinander liegen sollen, dann muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null sein.
ugâ=â21â4ââ und uhâ=â121âââugââuhâ=â21â4ââââ121ââ=2+2â4=0
Antwort: Die Geraden g und h liegen orthogonal zueinander.
Lösung zu b)
Lageuntersuchung:
Setze g=h:
â3â27ââ+tâ â21â4ââ=â735ââ+sâ â121ââ
Umgeformt erhĂ€ltst du: â3â27ââââ735ââ=sâ â121âââtâ â21â4ââ bzw.
ââ4â52ââ=sâ â121âââtâ â21â4ââ
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
IIIIIIâs2ssâââ+â2tt4tâ===ââ4â52âï»ż
Mit dem Additionsverfahren wird aus den Gleichungen (I) und (II) der Parameter s eliminiert.
Rechne dazu: II+(â2)â I â3t=3ât=1
Setze t=1 in Gleichung (I) ein âsâ2â 1=â4âs=â2
Probe in Gleichung (III): s+4t=2ââ2+4â 1=2â
Zur Berechnung des Schnittpunktes setze t=1 in die Geradengleichung g ein:
xSâ=â3â27ââ+1â â21â4ââ=â5â13ââ
Antwort: Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S(5âŁâ1âŁ3).
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Gegeben sind die Punkte A(12âŁ0âŁ0), B(4âŁ10âŁ5) und C(2âŁ8âŁ4).
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
b) Berechnen Sie den FlÀcheninhalt des Dreiecks ABC.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
Lösung zu a)
Berechne die Vektoren der drei Dreiecksseiten:
AB=â4105ââââ1200ââ=ââ8105ââ
BC=â284ââââ4105ââ=ââ2â2â1ââ
CA=â1200ââââ284ââ=â10â8â4ââ
Betrachtest du die LĂ€ngen der drei Vektoren, dann ist der Betrag des Vektors AB am gröĂten. Der rechte Winkel muss also der Seite AB gegenĂŒber beim Punkt C liegen, d.h. dann muss das Skalarprodukt BCâCA=0 sein.
Berechne das Skalarprodukt: BCâCA=ââ2â2â1ââââ10â8â4ââ=â20+16+4=0â
Antwort: Das Dreieck hat im Punkt C einen rechten Winkel.
Lösung zu b)
Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann die DreiecksflĂ€che folgendermaĂen berechnet werden:
A=21ââ âBCââ âCAâ
=21ââ (â2)2+(â2)2+(â1)2ââ 102+(â8)2+(â4)2â
=21ââ 9ââ 180â
=23ââ 180â
=23ââ 6â 5â
=9â 5â
Antwort: Das Dreieck hat einen FlĂ€cheninhalt von 9â 5âFE.
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Gegeben sind die Punkte A(1âŁ3âŁ0),B(3âŁ7âŁâ4) und C(2âŁ8âŁ1).
Berechnen Sie den FlÀcheninhalt des Dreiecks ABC.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: FlĂ€cheninhalt Dreieck
FlÀchenberechnung Möglichkeit 1
FĂŒr ein beliebiges Dreieck gilt die folgende FlĂ€chenformel:
Aâłâ=21ââ âŁaĂbâŁ
a=AB=â37â4ââââ130ââ=â24â4ââ
b=AC=â281ââââ130ââ=â151ââ
Eingesetzt in die FlÀchenformel:
Aâłâ=21ââ ââ24â4ââĂâ151âââ=21ââ ââ24â66âââ
Aâłâ=21ââ 242+(â6)2+62â=21ââ 648â=9â 2â
Antwort: Das Dreieck hat einen FlĂ€cheninhalt von 9â 2âFE.
FlÀchenberechnung Möglichkeit 2
FĂŒr ein beliebiges Dreieck gilt die folgende FlĂ€chenformel:
Aâłâ=21ââ a2â b2â(aâb)2â
a=AB=â37â4ââââ130ââ=â24â4ââ
b=AC=â281ââââ130ââ=â151ââ
Eingesetzt in die FlÀchenformel:
Aâłâ=21ââ â24â4ââ2â â151ââ2âââ24â4ââââ151âââ2â
Aâłâ=21ââ (4+16+16)â (1+25+1)â(2+20â4)2â
Aâłâ=21ââ 36â 27â182â=21ââ 648â=21ââ 18â 2â=9â 2â
Antwort: Das Dreieck hat einen FlĂ€cheninhalt von 9â 2âFE.
FlÀchenberechnung Möglichkeit 3
Aâłâ=21ââ âABââ hCâ
Dabei ist hCâ der Abstand des Punktes C von der Geraden durch die Punkte A und B. Diesen Abstand kannst du mit dem LotfuĂpunktverfahren berechnen.
Erstelle eine Hilfsebene H durch C(2âŁ8âŁ1) mit dem Normalenvektor nHâ=AB=â24â4ââ.
H:âxââ281âââââ24â4ââ=0 bzw.
H:2x1â+4x2ââ4x3ââ(4+32â4)=0
âH:2x1â+4x2ââ4x3ââ32=0
Die Gerade durch die Punkte A und B hat die Gleichung
g:x=â130ââ+râ â24â4ââ
Schneide die Gerade g mit der Hilfsebene H:2x1â+4x2ââ4x3ââ32=0
2â (1+2r)+4â (3+4r)â4â (â4r)â32=0
2+4r+12+16r+16râ32=0â36râ18=0âr=21â
Setze r=21â in g ein:
xFâ=â130ââ+21ââ â24â4ââ=â25â2ââ
Der LotfuĂpunkt hat die Koordinaten F(2âŁ5âŁâ2).
FC=â281ââââ25â2ââ=â033ââ
hCâ=âFCâ=02+32+32â=18â=3â 2â
âABâ=ââ24â4âââ=22+42+(â4)2â=36â=6
Eingesetzt in die FlÀchenformel:
Aâłâ=21ââ âABââ hCâ=21ââ 6â 3â 2â=9â 2â
Antwort: Das Dreieck hat einen FlĂ€cheninhalt von 9â 2âFE.
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Gegeben sind die Punkte A(â7âŁ0âŁ1),B(â5âŁ3âŁ1) und C(â4âŁ0âŁâ1).
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
b) Das Dreieck ABC lÀsst sich so durch einen Punkt P ergÀnzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von P.
c) Berechnen Sie den FlÀcheninhalt des Dreiecks ABC.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Lösung zu a)
Berechne die BetrÀge der Vektoren AB, BC und AC
AB=ââ531âââââ701ââ=â230ââ
ââABâ=ââ230âââ=22+32+02â=13â
BC=ââ40â1âââââ531ââ=â1â3â2ââ
ââBCâ=ââ1â3â2âââ=12+(â3)2+(â2)2â=14â
AC=ââ40â1âââââ701ââ=â30â2ââ
ââACâ=ââ30â2âââ=32+02+(â2)2â=13â
âABâ=âACâî =âBCâ, d.h. das Dreieck ist gleichschenklig, mit der Basis [BC].
Lösung zu b)
[BC] ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, d.h. der Punkt P muss A gegenĂŒberliegen; siehe Skizze.
Du kannst die folgende Vektorgleichung aufstellen, um P zu berechnen.
OP=OC+AB=ââ40â1ââ+â230ââ=ââ23â1ââ
Der Punkt P hat die Koordinaten P(â2âŁ3âŁâ1).
Lösung zu c)
FlÀchenberechnung Möglichkeit 1
FĂŒr ein beliebiges Dreieck gilt die folgende FlĂ€chenformel:
Aâłâ=21ââ âŁaĂbâŁ
a=AB=ââ531âââââ701ââ=â230ââ
b=AC=ââ40â1âââââ701ââ=â30â2ââ
Eingesetzt in die FlÀchenformel:
Aâłâ=21ââ ââ230ââĂâ30â2âââ=21ââ âââ64â9âââ
Aâłâ=21ââ (â6)2+42+(â9)2â=21ââ 133â
Antwort: Das Dreieck hat einen FlĂ€cheninhalt von 21ââ 133âFE.
FlÀchenberechnung Möglichkeit 2
FĂŒr ein beliebiges Dreieck gilt die folgende FlĂ€chenformel:
Aâłâ=21ââ a2â b2â(aâb)2â
a=BC=ââ40â1âââââ531ââ=â1â3â2ââ
b=AC=ââ40â1âââââ701ââ=â30â2ââ
Eingesetzt in die FlÀchenformel:
Aâłâ=21ââ â1â3â2ââ2â â30â2ââ2âââ1â3â2ââââ30â2âââ2â
Aâłâ=21ââ (1+9+4)â (9+0+4)â(3+0+4)2â
Aâłâ=21ââ 14â 13â72â=21ââ 133â
Antwort: Das Dreieck ABC hat einen FlĂ€cheninhalt von 21ââ 133âFE
FlÀchenberechnung Möglichkeit 3
FĂŒr ein beliebiges Dreieck gilt die folgende FlĂ€chenformel:
Aâłâ=21ââ âBCââ h
Berechne h:
Berechne den Mittelpunkt Maâ der Strecke [CB].
OMaââ=21ââ (OC+OB)
OMaââ=21ââ âââ40â1ââ+ââ531âââ=ââ29â23â0ââ
AMaââ=ââ29â23â0âââââ701ââ=â25â23ââ1ââ
h=âAMaâââ=(25â)2+(23â)2+(â1)2â=438ââ=219ââ
Der Betrag vom Vektor BC wurde unter a) berechnet:âBCâ=14â
Eingesetzt in die FlÀchenformel:
Aâłâ=21ââ âBCââ h=21ââ 14ââ 219ââ=21ââ 133âï»ż
Antwort: Das Dreieck ABC hat einen FlĂ€cheninhalt von 21ââ 133âFE.
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