Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Metrische Geometrie

Gegeben sind die beiden Ebenen $E$ und $F$ mit
$E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ; $s,t\in\mathbb{R}$ und
$F : x_{1} – x_{2} + x_{3} - 1 = 0.$
a) Weisen Sie nach, dass $E$ und $F$ parallel zueinander liegen.
b) Bestimmen Sie den Abstand von $E$ und $F$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Lösung zu a)
Die Ebenen sind parallel zueinander, wenn die Normalenvektoren parallel zueinander sind.
$\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\vec n_E=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$
Aus der Koordinatenform von der Ebene $F$ liest du den Normalenvektor ab:
$\vec n_F=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\vec n_E=\vec n_F$
Die Ebenen sind parallel zueinander.
Lösung zu b)
Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $F$ :
$F_{HNF}: \;\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0\;\Rightarrow\;\dfrac{ x_1-x_2+x_3-1}{\sqrt{3}}=0$
Setze den Aufpunkt $A (1 ∣ 2 ∣ 3)$ der Ebene $E$ in die Hessesche Normalenform ein, um den Abstand der beiden Ebenen zu berechnen.
$d(A,F)=\left|\dfrac{1\cdot1-1\cdot2+1\cdot3-1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\right|=\left|\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3}$
Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3}$ voneinander.
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Gegeben sind die Punkte $A (3 ∣ 0 ∣ 1),$ $B (6 ∣ 2 ∣ 2)$ und $C (0 ∣ 3 ∣ 5) .$ Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A, B$ und $C .$

a) Bestimmen Sie die Gleichung von $E$ in Normalenform und Koordinatenform.

b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene $E$ zur Geraden $g$ mit

$g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen

Lösung zu a)

Für die Ebene in Parameterform gilt:

$E_{ABC}=\overrightarrow{OA}+r \cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)+s \cdot \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)$

$E_{ABC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \left(\begin{pmatrix} 6 \\2\\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)+s \cdot \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)$

$E_{ABC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3\\4 \end{pmatrix}$

Bei der Umrechnung der Ebenengleichung in die Normalenform muss das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene berechnet werden.

$\vec n_E=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-15\\15\end{pmatrix}$

Der Normalenvektor kann noch vereinfacht werden: $\vec n_E=\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}$

Mit dem Punkt $A (3 ∣ 0 ∣ 1)$ erhältst du dann die Normalenform der Ebene:

$E: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OA}\right)\circ \vec n_E =0\;\Rightarrow\;\left(\vec x-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix}=0$

Wird das Skalarprodukt ausmultipliziert, erhältst du die Koordinatenform der Ebenengleichung:

$E:\;x_1-3x_2+3x_3-(3+0+3)=0\;\Rightarrow\;x_1-3x_2+3x_3-6=0$

Antwort: Die Ebene in Normalenform hat die Gleichung $E:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix}=0$ und in Koordinatenform lautet sie:

$E:\;x_1-3x_2+3x_3=6$

Lösung zu b)

Lageuntersuchung: $g\cap E$

Setze $g$ in $E$ ein:

$\displaystyle (4+2t)-3(t)+3(1)$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 4+2t-3t+3$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$\displaystyle 7-t$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle -7$
$\displaystyle -t$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 1$

Du hast für $t$ eine Lösung erhalten, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich.

Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene

Setze $t = 1$ in die Geradengleichung ein: $\vec x_S=\begin{pmatrix} 4 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\1\\ 1 \end{pmatrix}$

Antwort: Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $S (6 ∣ 1 ∣ 1)$ .

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Gegeben ist die Gerade $g$ mit $g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ ; $t\in\mathbb{R}$ und $h$ mit
$h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ; $s\in\mathbb{R}$
a) Zeigen Sie, dass die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander liegen.
b) Untersuchen Sie, ob sich $g$ und $h$ auch schneiden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Lösung zu a)
Wenn die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander liegen sollen, dann muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null sein.
$\vec u_g=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}$ und $\vec u_h=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;\vec u_g \circ \vec u_h=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}=2+2-4=0$
Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ liegen orthogonal zueinander.
Lösung zu b)
Lageuntersuchung:
Setze $g = h$ :
$\begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$
Umgeformt erhältst du: $\begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}=s\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}-t \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}$ bzw.
$\begin{pmatrix} -4 \\-5\\ 2 \end{pmatrix}=s\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}-t \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}$
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I}&s & - &2 t& = &-4 \\\mathrm{II} &2s & - & t & = & -5 \\ \mathrm{III} & s& + &4t & = & 2 \end{array} $
Mit dem Additionsverfahren wird aus den Gleichungen $\mathrm{(I)}$ und $\mathrm{(II)}$ der Parameter $s$ eliminiert.
Rechne dazu: $\mathrm{II}+(-2)\cdot\mathrm{I}$ $\;\Rightarrow\;3t=3\;\Rightarrow\;t=1$
Setze $t = 1$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein $\;\Rightarrow\; s-2\cdot 1=-4\;\Rightarrow\;s=-2$
Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}$ : $s+4t=2\;\Rightarrow\;-2+4\cdot 1=2\;\checkmark$
Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $t = 1$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\vec x_S=\begin{pmatrix} 3 \\ -2\\7 \end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\-1\\ 3 \end{pmatrix}$
Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S (5 ∣ - 1 ∣ 3)$ .
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Gegeben sind die Punkte $A (12 ∣ 0 ∣ 0)$ , $B (4 ∣ 10 ∣ 5)$ und $C (2 ∣ 8 ∣ 4) .$
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $A B C$ rechtwinklig ist.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
Lösung zu a)
Berechne die Vektoren der drei Dreiecksseiten:
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\10\\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}12 \\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 \\10\\5 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2\\8\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\10\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\-2\\ -1 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}12 \\0\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\8\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 \\-8\\-4 \end{pmatrix}$
Betrachtest du die Längen der drei Vektoren, dann ist der Betrag des Vektors $\overrightarrow{AB}$ am größten. Der rechte Winkel muss also der Seite $\overline{\mathrm{AB}}$ gegenüber beim Punkt $C$ liegen, d.h. dann muss das Skalarprodukt $\overrightarrow{BC}\circ\overrightarrow{CA}=0$ sein.
Berechne das Skalarprodukt: $\overrightarrow{BC}\circ\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}-2 \\-2\\ -1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}10 \\-8\\-4 \end{pmatrix}=-20+16+4=0\;\checkmark$
Antwort: Das Dreieck hat im Punkt $C$ einen rechten Winkel.
Lösung zu b)
Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann die Dreiecksfläche folgendermaßen berechnet werden:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot\big\vert \overrightarrow{BC} \big\vert \cdot\big\vert\overrightarrow{CA}\big\vert$
$=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{10^2+(-8)^2+(-4)^2}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{180}$
$=\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{180}$
$=\dfrac{3}{2}\cdot6 \cdot \sqrt{5}$
$=9\cdot\sqrt{5}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9\cdot\sqrt{5}\;\text{FE}$ .
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Gegeben sind die Punkte $A (1 ∣ 3 ∣ 0), B (3 ∣ 7 ∣ - 4)$ und $C (2 ∣ 8 ∣ 1)$ .
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Dreieck
Flächenberechnung Möglichkeit 1
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot|\vec{a}\times\vec{b}|$
$\vec{a}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\7\\ -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\3\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}$
$\vec{b}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\8\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\3\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\5\\ 1 \end{pmatrix}$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\Big\vert\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 \\5\\ 1 \end{pmatrix}\Big\vert=\dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\begin{pmatrix}24 \\-6\\ 6 \end{pmatrix}\Big\vert$
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{24^2+(-6)^2+6^2}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{648}=9\cdot \sqrt{2}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9\cdot\sqrt{2}\;\text{FE}$ .
Flächenberechnung Möglichkeit 2
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\vec{a}^2\cdot\vec{b}^2-(\vec{a}\circ\vec{b})^2}$
$\vec{a}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\7\\ -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\3\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}$
$\vec{b}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\8\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\3\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\5\\ 1 \end{pmatrix}$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix} ^2\cdot\begin{pmatrix}1 \\5\\ 1 \end{pmatrix}^2-\left(\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1 \\5\\ 1 \end{pmatrix}\right)^2}$
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{(4+16+16)\cdot(1+25+1)-(2+20-4)^2}$
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{36\cdot 27-18^2}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{648}=\dfrac{1}{2}\cdot 18\cdot\sqrt{2}=9\cdot\sqrt{2}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9\cdot\sqrt{2}\;\text{FE}$ .
Flächenberechnung Möglichkeit 3
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \big\vert \overrightarrow{AB} \big\vert\cdot h_C$
Dabei ist $h_{C}$ der Abstand des Punktes $C$ von der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ . Diesen Abstand kannst du mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen.
Erstelle eine Hilfsebene $H$ durch $C (2 ∣ 8 ∣ 1)$ mit dem Normalenvektor $\vec n_H=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}$ .
$H: \;\left(\vec x-\begin{pmatrix} 2 \\8\\ 1 \end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}=0$ bzw.
$H:\;2x_1+4x_2-4x_3-(4+32-4)=0$
$\;\Rightarrow\;H:\;2x_1+4x_2-4x_3-32=0$
Die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ hat die Gleichung
$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}1 \\3\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}$
Schneide die Gerade $g$ mit der Hilfsebene $H:\;2x_1+4x_2-4x_3-32=0$
$2\cdot(1+2r)+4\cdot(3+4r)-4\cdot(-4r)-32=0$
$2+4r+12+16r+16r-32=0\;\Rightarrow\;36r-18=0\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{2}$
Setze $r=\dfrac{1}{2}$ in $g$ ein:
$\vec x_F=\begin{pmatrix}1 \\3\\ 0 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\5\\ -2 \end{pmatrix}$
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F (2 ∣ 5 ∣ - 2)$ .
$\overrightarrow{FC}=\begin{pmatrix}2 \\8\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\5\\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\3\\ 3 \end{pmatrix}$
$h_C=\big\vert \overrightarrow{FC} \big\vert=\sqrt{0^2+3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\cdot\sqrt{2}$
$\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}2 \\4\\ -4 \end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \big\vert \overrightarrow{AB} \big\vert\cdot h_C=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot3\cdot\sqrt{2}=9\cdot\sqrt{2}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9\cdot\sqrt{2}\;\text{FE}$ .
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Gegeben sind die Punkte $A (- 7 ∣ 0 ∣ 1), B (- 5 ∣ 3 ∣ 1)$ und $C (- 4 ∣ 0 ∣ - 1)$ .
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $A B C$ gleichschenklig ist.
b) Das Dreieck $A B C$ lässt sich so durch einen Punkt $P$ ergänzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von $P$ .
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Lösung zu a)
Berechne die Beträge der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-5\\3\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7 \\0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\3\\0 \end{pmatrix}$
$\;\Rightarrow\;\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}2 \\3\\ 0\end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{2^2+3^2+0^2}=\sqrt{13}$
$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\3\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\-3\\-2\end{pmatrix}$
$\;\Rightarrow\;\Big\vert\overrightarrow{BC}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}1\\-3\\-2\end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{1^2+(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{14}$
$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}$
$\;\Rightarrow\;\Big\vert\overrightarrow{AC}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}\Big\vert=\sqrt{3^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$
$\Big\vert\overrightarrow{AB}\Big\vert=\Big\vert\overrightarrow{AC}\Big\vert\neq\Big\vert\overrightarrow{BC}\Big\vert$ , d.h. das Dreieck ist gleichschenklig, mit der Basis $[B C]$ .
Lösung zu b)
$[B C]$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, d.h. der Punkt $P$ muss $A$ gegenüberliegen; siehe Skizze.
Du kannst die folgende Vektorgleichung aufstellen, um $P$ zu berechnen.
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 \\3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\3\\-1 \end{pmatrix}$
Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (- 2 ∣ 3 ∣ - 1)$ .
Lösung zu c)
Flächenberechnung Möglichkeit 1
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot|\vec{a}\times\vec{b}|$
$\vec{a}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-5\\3\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7 \\0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\3\\0 \end{pmatrix}$
$\vec{b}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\Big\vert\begin{pmatrix}2 \\3\\0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}\Big\vert=\dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\begin{pmatrix}-6 \\4\\ -9 \end{pmatrix}\Big\vert$
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{(-6)^2+4^2+(-9)^2}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{133}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{133}\;\text{FE}$ .
Flächenberechnung Möglichkeit 2
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\vec{a}^2\cdot\vec{b}^2-(\vec{a}\circ\vec{b})^2}$
$\vec{a}=\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\3\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\-3\\-2\end{pmatrix}$
$\vec{b}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\begin{pmatrix}1 \\-3\\-2\end{pmatrix} ^2\cdot\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}^2-\left(\begin{pmatrix}1 \\-3\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3 \\0\\-2\end{pmatrix}\right)^2}$
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{(1+9+4)\cdot(9+0+4)-(3+0+4)^2}$
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{14\cdot 13-7^2}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{133}$
Antwort: Das Dreieck $A B C$ hat einen Flächeninhalt von $\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{133}\;\text{FE}$
Flächenberechnung Möglichkeit 3
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert \overrightarrow{BC} \Big\vert\cdot h$
Berechne h:
Berechne den Mittelpunkt $M_{a}$ der Strecke $[C B]$ .
$\overrightarrow{OM_a}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})$
$\overrightarrow{OM_a}=\frac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}-4\\0\\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\3\\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}\\[1ex]\frac{3}{2}\\[1ex] 0 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AM_a}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}\\[1ex]\frac{3}{2}\\[1ex] 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\[1ex]0\\[1ex] 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{2}\\[1ex]\frac{3}{2}\\[1ex]-1 \end{pmatrix}$
$h=\Big\vert\overrightarrow{AM_a}\Big\vert=\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac{38}{4}}=\sqrt{\dfrac{19}{2}}$
Der Betrag vom Vektor $\overrightarrow{BC}$ wurde unter a) berechnet: $\Big\vert\overrightarrow{BC}\Big\vert=\sqrt{14}$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert \overrightarrow{BC} \Big\vert\cdot h =\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{14} \cdot\sqrt {\dfrac{19}{2}} =\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{133} $
Antwort: Das Dreieck $A B C$ hat einen Flächeninhalt von $\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{133}\;\text{FE}$ .
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Lösung zu a)

Lösung zu b)

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Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lageuntersuchung: g∩Eg\cap Eg∩E

Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene

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Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lageuntersuchung:

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Lösung zu a)

Lösung zu b)

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Flächenberechnung Möglichkeit 1

Flächenberechnung Möglichkeit 2

Flächenberechnung Möglichkeit 3

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Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Flächenberechnung Möglichkeit 1

Flächenberechnung Möglichkeit 2

Flächenberechnung Möglichkeit 3

Berechne h:

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Lageuntersuchung: $g\cap E$