Metrische Geometrie
Gegeben sind die beiden Ebenen E und F mit
E:x=123+s⋅−101+t⋅1−1−2; s,t∈R und
F:x1–x2+x3−1=0.
a) Weisen Sie nach, dass E und F parallel zueinander liegen.
b) Bestimmen Sie den Abstand von E und F.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Lösung zu a)
Die Ebenen sind parallel zueinander, wenn die Normalenvektoren parallel zueinander sind.
a×b=a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⇒nE=−101×1−1−2=1−11
Aus der Koordinatenform von der Ebene F liest du den Normalenvektor ab:
nF=1−11⇒nE=nF
Die Ebenen sind parallel zueinander.
Lösung zu b)
Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene F:
FHNF:a2+b2+c2ax1+bx2+cx3−d=0⇒3x1−x2+x3−1=0
Setze den Aufpunkt A(1∣2∣3) der Ebene E in die Hessesche Normalenform ein, um den Abstand der beiden Ebenen zu berechnen.
d(A,F)=12+(−1)2+121⋅1−1⋅2+1⋅3−1=31=31=31⋅3
Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von 31⋅3 voneinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gegeben sind die Punkte A(3∣0∣1), B(6∣2∣2) und C(0∣3∣5). Die Ebene E enthält die Punkte A,B und C.
a) Bestimmen Sie die Gleichung von E in Normalenform und Koordinatenform.
b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene E zur Geraden g mit
g:x=401+t⋅210
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
Lösung zu a)
Für die Ebene in Parameterform gilt:
EABC=OA+r⋅(OB−OA)+s⋅(OC−OA)
EABC=301+r⋅622−301+s⋅035−301
EABC=301+r⋅321+s⋅−334
Bei der Umrechnung der Ebenengleichung in die Normalenform muss das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene berechnet werden.
nE=321×−334=5−1515
Der Normalenvektor kann noch vereinfacht werden: nE=1−33
Mit dem Punkt A(3∣0∣1) erhältst du dann die Normalenform der Ebene:
E:(x−OA)∘nE=0⇒x−301∘1−33=0
Wird das Skalarprodukt ausmultipliziert, erhältst du die Koordinatenform der Ebenengleichung:
E:x1−3x2+3x3−(3+0+3)=0⇒x1−3x2+3x3−6=0
Antwort: Die Ebene in Normalenform hat die Gleichung E:x−301∘1−33=0 und in Koordinatenform lautet sie:
E:x1−3x2+3x3=6
Lösung zu b)
Lageuntersuchung: g∩E
Setze g in E ein:
(4+2t)−3(t)+3(1) = 6 ↓ Löse die Klammern auf.
4+2t−3t+3 = 6 ↓ Löse nach t auf.
7−t = 6 −7 −t = −1 ⋅(−1) t = 1 Du hast für t eine Lösung erhalten, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich.
Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene
Setze t=1 in die Geradengleichung ein: xS=401+1⋅210=611
Antwort: Die Gerade g schneidet die Ebene E im Punkt S(6∣1∣1).
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gegeben ist die Gerade g mit g:x=3−27+t⋅21−4; t∈R und h mit
h:x=735+s⋅121; s∈R
a) Zeigen Sie, dass die Geraden g und h orthogonal zueinander liegen.
b) Untersuchen Sie, ob sich g und h auch schneiden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Lösung zu a)
Wenn die Geraden g und h orthogonal zueinander liegen sollen, dann muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null sein.
ug=21−4 und uh=121⇒ug∘uh=21−4∘121=2+2−4=0
Antwort: Die Geraden g und h liegen orthogonal zueinander.
Lösung zu b)
Lageuntersuchung:
Setze g=h:
3−27+t⋅21−4=735+s⋅121
Umgeformt erhältst du: 3−27−735=s⋅121−t⋅21−4 bzw.
−4−52=s⋅121−t⋅21−4
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
IIIIIIs2ss−−+2tt4t===−4−52
Mit dem Additionsverfahren wird aus den Gleichungen (I) und (II) der Parameter s eliminiert.
Rechne dazu: II+(−2)⋅I ⇒3t=3⇒t=1
Setze t=1 in Gleichung (I) ein ⇒s−2⋅1=−4⇒s=−2
Probe in Gleichung (III): s+4t=2⇒−2+4⋅1=2✓
Zur Berechnung des Schnittpunktes setze t=1 in die Geradengleichung g ein:
xS=3−27+1⋅21−4=5−13
Antwort: Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S(5∣−1∣3).
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gegeben sind die Punkte A(12∣0∣0), B(4∣10∣5) und C(2∣8∣4).
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
Lösung zu a)
Berechne die Vektoren der drei Dreiecksseiten:
AB=4105−1200=−8105
BC=284−4105=−2−2−1
CA=1200−284=10−8−4
Betrachtest du die Längen der drei Vektoren, dann ist der Betrag des Vektors AB am größten. Der rechte Winkel muss also der Seite AB gegenüber beim Punkt C liegen, d.h. dann muss das Skalarprodukt BC∘CA=0 sein.
Berechne das Skalarprodukt: BC∘CA=−2−2−1∘10−8−4=−20+16+4=0✓
Antwort: Das Dreieck hat im Punkt C einen rechten Winkel.
Lösung zu b)
Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann die Dreiecksfläche folgendermaßen berechnet werden:
A=21⋅BC⋅CA
=21⋅(−2)2+(−2)2+(−1)2⋅102+(−8)2+(−4)2
=21⋅9⋅180
=23⋅180
=23⋅6⋅5
=9⋅5
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 9⋅5FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gegeben sind die Punkte A(1∣3∣0),B(3∣7∣−4) und C(2∣8∣1).
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Dreieck
Flächenberechnung Möglichkeit 1
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
A△=21⋅∣a×b∣
a=AB=37−4−130=24−4
b=AC=281−130=151
Eingesetzt in die Flächenformel:
A△=21⋅24−4×151=21⋅24−66
A△=21⋅242+(−6)2+62=21⋅648=9⋅2
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 9⋅2FE.
Flächenberechnung Möglichkeit 2
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
A△=21⋅a2⋅b2−(a∘b)2
a=AB=37−4−130=24−4
b=AC=281−130=151
Eingesetzt in die Flächenformel:
A△=21⋅24−42⋅1512−24−4∘1512
A△=21⋅(4+16+16)⋅(1+25+1)−(2+20−4)2
A△=21⋅36⋅27−182=21⋅648=21⋅18⋅2=9⋅2
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 9⋅2FE.
Flächenberechnung Möglichkeit 3
A△=21⋅AB⋅hC
Dabei ist hC der Abstand des Punktes C von der Geraden durch die Punkte A und B. Diesen Abstand kannst du mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen.
Erstelle eine Hilfsebene H durch C(2∣8∣1) mit dem Normalenvektor nH=AB=24−4.
H:x−281∘24−4=0 bzw.
H:2x1+4x2−4x3−(4+32−4)=0
⇒H:2x1+4x2−4x3−32=0
Die Gerade durch die Punkte A und B hat die Gleichung
g:x=130+r⋅24−4
Schneide die Gerade g mit der Hilfsebene H:2x1+4x2−4x3−32=0
2⋅(1+2r)+4⋅(3+4r)−4⋅(−4r)−32=0
2+4r+12+16r+16r−32=0⇒36r−18=0⇒r=21
Setze r=21 in g ein:
xF=130+21⋅24−4=25−2
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten F(2∣5∣−2).
FC=281−25−2=033
hC=FC=02+32+32=18=3⋅2
AB=24−4=22+42+(−4)2=36=6
Eingesetzt in die Flächenformel:
A△=21⋅AB⋅hC=21⋅6⋅3⋅2=9⋅2
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 9⋅2FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gegeben sind die Punkte A(−7∣0∣1),B(−5∣3∣1) und C(−4∣0∣−1).
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
b) Das Dreieck ABC lässt sich so durch einen Punkt P ergänzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von P.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Lösung zu a)
Berechne die Beträge der Vektoren AB, BC und AC
AB=−531−−701=230
⇒AB=230=22+32+02=13
BC=−40−1−−531=1−3−2
⇒BC=1−3−2=12+(−3)2+(−2)2=14
AC=−40−1−−701=30−2
⇒AC=30−2=32+02+(−2)2=13
AB=AC=BC, d.h. das Dreieck ist gleichschenklig, mit der Basis [BC].
Lösung zu b)
[BC] ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, d.h. der Punkt P muss A gegenüberliegen; siehe Skizze.
Du kannst die folgende Vektorgleichung aufstellen, um P zu berechnen.
OP=OC+AB=−40−1+230=−23−1
Der Punkt P hat die Koordinaten P(−2∣3∣−1).
Lösung zu c)
Flächenberechnung Möglichkeit 1
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
A△=21⋅∣a×b∣
a=AB=−531−−701=230
b=AC=−40−1−−701=30−2
Eingesetzt in die Flächenformel:
A△=21⋅230×30−2=21⋅−64−9
A△=21⋅(−6)2+42+(−9)2=21⋅133
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 21⋅133FE.
Flächenberechnung Möglichkeit 2
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
A△=21⋅a2⋅b2−(a∘b)2
a=BC=−40−1−−531=1−3−2
b=AC=−40−1−−701=30−2
Eingesetzt in die Flächenformel:
A△=21⋅1−3−22⋅30−22−1−3−2∘30−2