Die richtige Bearbeitung dieser Aufgabe erfordert Kenntnisse der Sinus- und Kosinusfunktion im Zusammenhang mit der Differentialrechnung und der Interpretation des Ergebnisses in einem Sachzusammenhang.

Einsetzen der Zeit $t=1{,}5$ in $g(t)$ ergibt:

Gemäß der Vereinbarung im Vortext ist der negative Wert als Atemstromstärke beim Ausatmen zu verstehen.

Vorüberlegung: Im Sachkontext ist das Luftvolumen der Lunge dann minimal, wenn die zusammenhängende Zeitdauer des Ausatmens maximal ist. Am Ende des Zeitintervalls von $0~\text{s}\leqslant t \leqslant 2~\text{s}$ muss daher das Luftvolumen minimal sein.

Im mathematischen Modell ist $g(t)$ die momentane Änderungsrate des Luftvolumens und daher hat das Luftvolumen an den Nullstellen von $g(t)$ Extremwerte.

Wegen $g(2)= -\frac\pi8\cdot\sin(\frac\pi2\cdot 2) = -\frac\pi8\sin(\pi) =0$ und wegen des Vorzeichenswechsel von $-$ nach $+$ wechselt an der Stelle $t=2$ die Abnahme des Luftvolumens in eine Zunahme. Es liegt daher ein Minimum vor.

Zur Berechnung des bestimmten Integrals ist zunächst eine Stammfunktion von $g(t)$ zu finden. Der Faktor $\frac\pi2$ im Argument der Sinusfunktion ist bei der Stammfunktion vorweg zu berücksichtigen (Kettenregel). Eine Stammfunktion lautet daher:

Für das bestimmte Integal ergibt sich damit:

In der Zeit von $2\ s$ bis $4\ s$ werden also $0{,}5\ l$ Luft eingeatmet.

Nachdem $g(t)$ im Sachzusammenhang die Bedeutung der momentanen Änderungsrate des Luftvolumens hat, hat die Stammfunktion $G(t)$ die Bedeutung des Luftvolumens und ist wie bei allen Stammfunktionen bis auf eine Konstante $C$ eindeutig festgelegt. Da $G(t)$ oben schon verwendet wurde, wird hier die Bezeichnung $V(t)$ verwendet.

Bedingung zur Festlegung der Konstanten

$V(0)=3{,}5$

Volumenfunktion

$V(t)=C+\frac14\cdot\cos(\frac\pi2\cdot t)$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}V(0)&=& 3{,}5 \\ V(0)&=&C+\frac14\cdot\cos(\frac\pi2\cdot 0) \\ 3{,}5& =& C+\frac14 \end{array}$

Hieraus ist ersichtlich, dass die Konstante $C$ den Wert $3{,}25$ haben muss.

Die Volumenfunktion hat also den Funktionsterm

$V(t)=\frac14\cdot\cos\left(\frac\pi2\cdot t\right) + 3{,}25$

Vergleicht man dies mit einem allgemeinen Ansatz für Sinus- und Kosinusfunktionen in der Form $A\cdot \cos(B\cdot t) +C$, so lässt sich für das Erstellen der Skizze folgendes Vorgehen ablesen:

• Die Schwingung verläuft Kosinusförmig, beginnt also mit einem Maximum

• Die Amplitude der Schwingung, also der Unterschied der Werte zwischen einem Maximum und einem Minumum beträgt 0,5, von der Mittelllage aus also jeweils 0,25 nach oben und unten

• Die Kosinusfunktion muss um 3,25 in positive $y$-Richtung verschoben werden.

Die Begriffe Frequenz und Periodendauer(hier in der Aufgabe als Dauer eines vollständigen Atemzyklus bezeichnet)werden vor allem in der Physik angewandt. Um das mathematische Modell zu verstehen, wird daher im Zwischentext der Abituraufgabe erklärt, wie Du die Atemfrequenz berechnen kannst.

Atemfrequenz der Testperson

Die Atemfrequenz beträgt also $\frac1{4\;\text{s}}=\frac1{4\cdot\frac1{60}\;\text{min}}=\frac{60}{4\;\text{min}}=15\;\text{min}^{-1}$ .

Atemstromstärke eines jungen Menschen

Eine um $20\ \%$ erhöhte Atemfrequenz, hat den Wert $1{,}2\cdot15\;\text{min}^{-1}=18\;\text{min}^{-1}$ . Dazu gehört eine Länge des Atemzyklus von $\frac{1}{18}$ min bzw. $\frac{60\;\text{s}}{18}=\frac{10}3$ s.

Wert des Parameters b

Der Parameter $b$ in der Sinusfunktion hängt mit der Frequenz $f$ zusammen. Für $b=1$ erhält man die Standard-Sinusfunktion mit Periode $2\pi$. Im Falle von $b=2$ passen 2 Perioden auf die Länge $2\pi$, bei $b=3$ sind es 3 u.s.w. Für diesen direkt proportionalen Zusammenhang lässt sich der Ansatz

verwenden ($n$ ist die Anzahl der Perioden). Folglich ist $b=2\pi f$ und konkret in der Aufgabe:

Lösungsalternative

Wenn Du Dich daran erinnern kannst, dass beim Einsetzen von $t=2\pi$ in die Funktion $\sin t$ eine vollständige Schwingung durchlaufen wird, dann besteht jetzt die Aufgabe es durch geschickte Wahl des Vorfaktors $b$ so einzurichten, dass in der neuen Zeit ($t=\frac{10}{3}~\text{s}$) bereits die ganze Schwingung zu durchlaufen.

Wähle $b=\frac{2\pi}{\frac{10}3\;\text{s}}$, denn dann ist

und es ist so als ob bei der Zeit $t=\frac{10}{3}~\text{s}$ bereits $2\pi$ im Argument des Sinus steht! Geometrisch entspricht dies einem Stauchen der Funktion in Richtung der $t$-Achse.

Ausführlichkeit der Antwort

Für "Ermitteln" genügt es nicht, wenn Du als Antwort einfach nur $0{,}6~\pi$ schreibst! Es muss ein Ansatz erkennbar sein. Die hier vorgestellte ausführliche Herleitung dürfte den geforderten Rahmen jedoch etwas übersteigen.