🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Der Graph Gf einer in definierten Funktion f:xax4+bx3 mit a,b besitzt im Punkt O (0|0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

    1. W (1|1) ist ein weiterer Wendepunkt von Gf. Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b. (4 BE)

      (Ergebnis:a=1,b=2)

    2. Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf. (4 BE)

      Die Gerade g schneidet Gf in den Punkten W und (2|0).

    3. Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden g an. (4 BE)

    4. Gf und die x-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade g in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen. (6 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen fn:xx42xn mit n sowie dir in definierte Funktion f0:xx42.

    1. Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen f0,f1,f2 bzw f4. Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsenoder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen. (4 BE)

      Bild
    2. Betrachtet werden nun die Funktionen fn mit n>4. Geben Sie in Abhängigkeit von n das Verhalten dieser Funktionen für x+ und für x an. (3 BE)

  3. 3

    In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d.h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion g:tπ8sin(π2t)mit Definitionsmenge 0+ beschrieben.

    Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und g(t) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion g beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

    Bild
    1. Berechnen Sie g(1,5) und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang. (2 BE)

    2. Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe von Abbildung 5 plausibel. (2 BE)

    3. Berechnen Sie 24g(t)dtund deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. (4 BE)

      (Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5)

    4. Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 l Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordinatensystem für 0t8 den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt. (3 BE)

      Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus 4 Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.

    5. Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an. Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20 % höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form h:tasin(bt) mit t0und b>0beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von b. (4 BE)


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?