Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Für diese Aufgabe musst du wissen, was ein Wendepunkt ist. Außerdem musst du ein lineares Gleichungssystem lösen können.

Du weißt, dass der Punkt $(1|-1)$ ein Wendepunkt der Funktion ist. Daraus erhältst du zwei Informationen, aus denen du zwei lineare Gleichungen machen kannst:

Information 1

Der Punkt $(1|-1)$ ist ein Punkt der Funktion. Du kannst den $x$-Wert und $y$-Wert in die allgemeine Funktion einsetzen und erhältst so eine Gleichung:

$f(1)=a\cdot1^4+b\cdot1^3=a+b=-1$

Information 2

Der Punkt $(1|-1)$ ist ein Wendepunkt, also ist die 2. Ableitung an dieser Stelle, $x=1$, null. Um eine Gleichung zu erhalten, musst du die 2. Ableitung bilden, für $x$ den Wert $1$ einsetzen und gleich null setzen.

1. Ableitung $f'(x)=4ax^3+3bx^2$

2. Ableitung $f''(x)=4\cdot3ax^2+3\cdot2bx=12ax^2+6bx$

Setze gleich null und $1$ ein: $f''(1)=12a\cdot 1^2+6b\cdot 1=12a+6b=0$

Nun hast du ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll}(I) &a+b&=&-1\\(II)&12a+6b&=&0\qquad|:6\end{array}$

Vereinfache die zweite Gleichung.

Gleichungssystem lösen

Es gibt mehrere Verfahren, wie man Gleichungensysteme lösen kann. Hier kann man zum Beispiel das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren gut verwenden. Exemplarisch folgt nun die Berechnung mit dem Einsetzungsverfahren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll}(I) &a+b&=&-1\quad|-a\\(II)&2a+b&=&0\end{array}$

Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung $(I)$ nach $b$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}(I) &b&=&-1-a\\(II)&2a+b&=&0\end{array}$

Ersetze in Gleichung $(II)$ $b$ mithilfe von Gleichung $(I)$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}(II)&\quad 2a+(-1-a)&=&0\\& a-1&=&0\qquad |+1\end{array}$

Löse nach a auf

$\qquad\qquad\qquad\qquad a=1$

Setze das Ergebnis von $a$ in die Gleichung $(I)$ ein und löse nach $b$ auf.

$(I)\quad b=-1-1=-2$

Bei dieser Funktion ist $a=1$ und $b=-2$:

$f(x)=x^4-2x^3$.

Hier musst du wissen, wie man Extrempunkte bestimmt.

Extremstelle

Der erste Schritt ist dabei, die Ableitung gleich Null zu setzen. Du kannst die Ableitung aus der Teilaufgabe a) verwenden und dort noch $a$ und $b$ einsetzen:

$f'(x)=4\cdot 1\cdot x^3+3\cdot (-2)\cdot x^2=4x^3-6x^2$

$4x^3-6x^2=0$

Löse die Gleichung nach $x$ auf, indem du $x^2$ ausklammerst.

$x^2(4x-6)=0$

Nun kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden und die beiden Faktoren getrennt gleich Null setzen.

$x^2=0$ und $4x-6=0$

Löse beide Gleichungen nach $x$ auf.

$x=0$ und $x=\displaystyle\frac32$

Art des Extrempunkts

Von $x=0$ weißt du bereits aus der Aufgabenstellung, dass es sich um einen Wendepunkt handelt.

$x=\frac32$ musst du nun in die 2. Ableitung (auch diese kannst du aus Teilaufgabe a) übernehmen) einsetzen, um herauszufinden, welcher Art dieser Extrempunkt ist.

$f''(x)=12x^2-12x$

$f''(\frac32)=\displaystyle12\left(\frac32\right)^2-12\cdot \frac32=27-18=9>0$

Die 2. Ableitung ist größer als Null, deswegen handelt es sich um ein Minimum.

Lage des Extrempunkts

Für die Lage des Extrempunkts fehlt dir noch der $y$-Wert des Extrempunktes. Diesen berechnest du, indem du den $x$-Wert $\frac32$ in die Funktion einsetzt.

$f\left(\frac32\right)=\displaystyle\left(\frac32\right)^4-2\left(\frac32\right)^3=\frac{81}{16}-2\frac{27}{8}=\frac{81}{16}-\frac{108}{16}=-\frac{27}{16}$

Der Extrempunkt liegt bei $\displaystyle\left(\frac32\vert-\frac{27}{16}\right)$ und ist ein Minimum.

Für diese Teilaufgabe musst du Graphen zeichnen können und die Geradengleichung kennen.

Graph zeichnen

Dabei kannst du in etwa so vorgehen:

Zeichne alle Punkte ein, die du kennst:

• Der Punkt $0$ $(0\vert0)$ ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

• Der Punkt $W$ $(1\vert-1)$ ist ein weiterer Wendepunkt.

• Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass bei $(\frac32\vert-\frac{27}{16})$ ein Minimum liegt.

• Du weißt aus der Geradenbeschreibung in der Aufgabenstellung, dass auch der Punkt $(2\vert0)$ auf dem Graphen liegt.

Du hast in der Teilaufgabe b) alle Extrempunkte bestimmt und herausgefunden, dass es außer dem Minimum bei $x=\frac32$ keine weiteren Extrempunkte gibt. Deswegen weißt du, dass es links von dem Minimum nur nach oben geht und rechts vom Minimum auch nur nach oben geht, sonst wäre es nicht das einzige Extremum. Alternativ kommst du auf dasselbe Ergebnis, wenn du dir anschaust, dass die Funktion eine ganzrationale Funktion 4. Grades ist. Es ist eine gerade Funktion mit positiven Vorfaktor und geht deswegen von "links oben" nach "rechts oben".

Mit diesem Wissen fängst du links oben an, zeichnest durch alle Punkte (beachte dabei die Eigenschaften Wendepunkt und Minimum) und endest wieder rechts oben.

Gerade zeichnen

Eine Gerade ist eindeutig, sobald du zwei Punkte weißt, also kannst du sie einfach durch die beiden angegebenen Punkte $W$ und $P$ zeichnen.

Graph

Geradengleichung angeben

Die allgemeine Geradengleichung ist $y=mx+t$. Also musst du die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $t$ bestimmen.

$t$ kannst du aus der Zeichnung ablesen:

$t=-2$

Du kannst zum Beispiel $W$ und $P$ und ein Steigungsdreieck für die Steigung verwenden.

$m=\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0-(-1)}{2-1}=\frac11=1$

Die vollständige Geradengleichung $g$ lautet: $y=1\cdot x-2$ und damit $g(x)=x-2$.

Für diese Teilaufgabe musst du Integrale lösen können.

Du suchst du das Verhältnis zwischen der lilalen und orangen Fläche und der türkisen Fläche. Du kannst die einzelnen Flächen als Integrale berechnen:

Lila Fläche

Integral der Funktion $f$ von $0$ bis $1$:

Eine Fläche ist immer positiv, nimm deswegen den Betrag des Integrals.

$A_{lila}\displaystyle=\left|-\frac{3}{10}\right|=\frac{3}{10}$

Orange Fläche

Integral der Gerade $g$ von $1$ bis $2$:

Eine Fläche ist immer positiv:

$A_{orange}\displaystyle=\left|-\frac12\right|=\frac12$

Alternativ kannst du diese Fläche auch als Dreiecksfläche auffassen und mit der Formel für Flächen für Dreiecke berechnen:

$A_{Dreiecke}=\displaystyle\frac12 \cdot a\cdot h_a=\frac12 \cdot 1\cdot 1=\frac12$

Türkise Fläche

Integral zwischen den Funktionen $f$ und $g$ zwischen den Werten $1$ und $2$:

Berechnung des Verhältnisses

Nun hast du alle Werte, die du für eine Berechnung des Verhältnisses von der lila und orangen Fläche zur türkisen Fläche brauchst:

$\displaystyle\frac{\text{lila und orange Fläche}}{\text{türkise Fläche}}=\frac{\frac{3}{10}+\frac12}{\frac45}=\frac{\frac{8}{10}}{\frac45}=\frac{8}{10}\cdot \frac54=\frac{40}{40}=1:1$

Die Flächen stehen im Verhältnis $1:1$.

Hier musst du dich mit ganzrationale Funktionen und Eigenschaften von Funktionen wie Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und das Verhalten im Unendlichen auskennen.

Graph $f_0$ gehört zur Abb. 4

$f_0(x)=x^4-2x^0=x^4-2\cdot1=x^4-2$, da $x^0=1$.

Der Schnittpunkt von $f_0$ mit der $y$-Achse ist bei $S_y(0\vert -2)$, da $f_0(0)=-2$ ist:

$f_0(0)=0^4-2=-2$

Die Abb. 4 ist die einzige Abbildung, bei der der Graph die $y$-Achse bei $y=-2$ schneidet.

Graph $f_1$ gehört zur Abb. 3

$f_1(x)=x^4-2x^1=x^4-x$

$f_1$ ist nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse:

$f_1(-x)=(-x)^4-(-x)=x^4+x\ne f_1(x)$

Der einzige Graph, der nicht achsensymmetrisch ist, ist auf Abbildung 3 zu sehen.

Graph $f_2$ gehört zur Abb. 1

$f_2(x)=x^4-2x^2=x^4-x^2$

$f_2$ hat 3 Nullstellen:

$x^4-x^2=0$

Faktorisiere, indem du $x^2$ ausklammerst.

$x^2(x^2-1)=0$

Faktorisiere mit Hilfe der 3. binomischen Formel weiter.

$x^2(x-1)(x+1)=0$

Bestimme die Nullstellen, indem du die Faktoren wegen dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich null setzt.

$x_0^2=0\Rightarrow x_0=0$ und $x_1-1=0\Rightarrow x_1=1$ und $x_2+1=0 \Rightarrow x_2=-1$

Die Abbildung 1 ist die einzige, wo der Graph $3$ Nullstellen hat. Also gehört $f_2$ zu Abb. 1.

Graph $f_4$ gehört zur Abb.2

$f_4(x)=x^4-2x^4=x^4-x^4=-x^4$

$f_4$ ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades (also eine gerade Funktion) mit einem Faktor, der kleiner als $0$ ist. Das heißt, dass die Funktion im Unendlichen von "links unten" nach "rechts unten" verläuft.

Der einzige Graph, bei dem das der Fall ist, ist die Abb. 2.

Anmerkung: Du musst für die Erfüllung der Aufgabenstellung nur drei der mathematischen Argumente aufschreiben. Den vierten Graphen kann man dann nach Ausschlussprinzip zuordnen.

Auch hier musst du wissen, wie sich ganzrationale Funktionen im Unendlichen verhalten.

Für das Verhalten im Unendlichen ist der höchste Exponent sowie das Vorzeichen vor dem Summanden mit dem höchsten Exponenten entscheidend.

Für $n>4$ ist immer $n$ der höchste Exponent, weil $n$ ja genau größer als $4$ sein soll. Der Summand ist damit $-2x^n$ und hat ein negatives Vorzeichen.

Bei einem negativen Vorzeichen verlaufen gerade Funktionen von "links unten" nach "rechts unten" und ungerade Funktionen von "links oben" nach "rechts unten".

Für ein gerades $n$ verläuft die Funktion von "links unten" nach "rechts unten":

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f_n(x)=-\infty$ und $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f_n(x)=-\infty$

Für ein ungerades $n$ verläuft die Funktion von "links oben" nach "rechts unten".

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f_n(x)=+\infty$ und $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f_n(x)=-\infty$

Die richtige Bearbeitung dieser Aufgabe erfordert Kenntnisse der Sinus- und Kosinusfunktion im Zusammenhang mit der Differentialrechnung und der Interpretation des Ergebnisses in einem Sachzusammenhang.

Einsetzen der Zeit $t=1{,}5$ in $g(t)$ ergibt:

Gemäß der Vereinbarung im Vortext ist der negative Wert als Atemstromstärke beim Ausatmen zu verstehen.

Vorüberlegung: Im Sachkontext ist das Luftvolumen der Lunge dann minimal, wenn die zusammenhängende Zeitdauer des Ausatmens maximal ist. Am Ende des Zeitintervalls von $0~\text{s}\leqslant t \leqslant 2~\text{s}$ muss daher das Luftvolumen minimal sein.

Im mathematischen Modell ist $g(t)$ die momentane Änderungsrate des Luftvolumens und daher hat das Luftvolumen an den Nullstellen von $g(t)$ Extremwerte.

Wegen $g(2)= -\frac\pi8\cdot\sin(\frac\pi2\cdot 2) = -\frac\pi8\sin(\pi) =0$ und wegen des Vorzeichenswechsel von $-$ nach $+$ wechselt an der Stelle $t=2$ die Abnahme des Luftvolumens in eine Zunahme. Es liegt daher ein Minimum vor.

Zur Berechnung des bestimmten Integrals ist zunächst eine Stammfunktion von $g(t)$ zu finden. Der Faktor $\frac\pi2$ im Argument der Sinusfunktion ist bei der Stammfunktion vorweg zu berücksichtigen (Kettenregel). Eine Stammfunktion lautet daher:

Für das bestimmte Integal ergibt sich damit:

In der Zeit von $2\ s$ bis $4\ s$ werden also $0{,}5\ l$ Luft eingeatmet.

Nachdem $g(t)$ im Sachzusammenhang die Bedeutung der momentanen Änderungsrate des Luftvolumens hat, hat die Stammfunktion $G(t)$ die Bedeutung des Luftvolumens und ist wie bei allen Stammfunktionen bis auf eine Konstante $C$ eindeutig festgelegt. Da $G(t)$ oben schon verwendet wurde, wird hier die Bezeichnung $V(t)$ verwendet.

Bedingung zur Festlegung der Konstanten

$V(0)=3{,}5$

Volumenfunktion

$V(t)=C+\frac14\cdot\cos(\frac\pi2\cdot t)$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}V(0)&=& 3{,}5 \\ V(0)&=&C+\frac14\cdot\cos(\frac\pi2\cdot 0) \\ 3{,}5& =& C+\frac14 \end{array}$

Hieraus ist ersichtlich, dass die Konstante $C$ den Wert $3{,}25$ haben muss.

Die Volumenfunktion hat also den Funktionsterm

$V(t)=\frac14\cdot\cos\left(\frac\pi2\cdot t\right) + 3{,}25$

Vergleicht man dies mit einem allgemeinen Ansatz für Sinus- und Kosinusfunktionen in der Form $A\cdot \cos(B\cdot t) +C$, so lässt sich für das Erstellen der Skizze folgendes Vorgehen ablesen:

• Die Schwingung verläuft Kosinusförmig, beginnt also mit einem Maximum

• Die Amplitude der Schwingung, also der Unterschied der Werte zwischen einem Maximum und einem Minumum beträgt 0,5, von der Mittelllage aus also jeweils 0,25 nach oben und unten

• Die Kosinusfunktion muss um 3,25 in positive $y$-Richtung verschoben werden.

Die Begriffe Frequenz und Periodendauer(hier in der Aufgabe als Dauer eines vollständigen Atemzyklus bezeichnet)werden vor allem in der Physik angewandt. Um das mathematische Modell zu verstehen, wird daher im Zwischentext der Abituraufgabe erklärt, wie Du die Atemfrequenz berechnen kannst.

Atemfrequenz der Testperson

Die Atemfrequenz beträgt also $\frac1{4\;\text{s}}=\frac1{4\cdot\frac1{60}\;\text{min}}=\frac{60}{4\;\text{min}}=15\;\text{min}^{-1}$ .

Atemstromstärke eines jungen Menschen

Eine um $20\ \%$ erhöhte Atemfrequenz, hat den Wert $1{,}2\cdot15\;\text{min}^{-1}=18\;\text{min}^{-1}$ . Dazu gehört eine Länge des Atemzyklus von $\frac{1}{18}$ min bzw. $\frac{60\;\text{s}}{18}=\frac{10}3$ s.

Wert des Parameters b

Der Parameter $b$ in der Sinusfunktion hängt mit der Frequenz $f$ zusammen. Für $b=1$ erhält man die Standard-Sinusfunktion mit Periode $2\pi$. Im Falle von $b=2$ passen 2 Perioden auf die Länge $2\pi$, bei $b=3$ sind es 3 u.s.w. Für diesen direkt proportionalen Zusammenhang lässt sich der Ansatz

verwenden ($n$ ist die Anzahl der Perioden). Folglich ist $b=2\pi f$ und konkret in der Aufgabe:

Lösungsalternative

Wenn Du Dich daran erinnern kannst, dass beim Einsetzen von $t=2\pi$ in die Funktion $\sin t$ eine vollständige Schwingung durchlaufen wird, dann besteht jetzt die Aufgabe es durch geschickte Wahl des Vorfaktors $b$ so einzurichten, dass in der neuen Zeit ($t=\frac{10}{3}~\text{s}$) bereits die ganze Schwingung zu durchlaufen.

Wähle $b=\frac{2\pi}{\frac{10}3\;\text{s}}$, denn dann ist

und es ist so als ob bei der Zeit $t=\frac{10}{3}~\text{s}$ bereits $2\pi$ im Argument des Sinus steht! Geometrisch entspricht dies einem Stauchen der Funktion in Richtung der $t$-Achse.

Ausführlichkeit der Antwort

Für "Ermitteln" genügt es nicht, wenn Du als Antwort einfach nur $0{,}6~\pi$ schreibst! Es muss ein Ansatz erkennbar sein. Die hier vorgestellte ausführliche Herleitung dürfte den geforderten Rahmen jedoch etwas übersteigen.