Aufgaben zur Kurvendiskussion - lernen mit Serlo!

Es ist die Funktion $f(x)=x^3−3x−2$ gegeben.

Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von $G_f$ . Zeichne $G_f$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme zuerst die Nullstellen von $f(x)=x^3-3x-2$ , indem du die Funktion gleich 0 setzt:

\displaystyle 0=x^3-3x-2

Die erste Nullstelle muss erraten werden. Durch ausprobieren ermittelt man beispielsweise $x_1=-1$

Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\left(x^3\;\;\;\;\;\;-3x-2\right):\left(x+1\right)=x^2-x-2\\\underline{-\left(x^3+x^2\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;-x^2-3x\\\;\;\;\underline{-\left(-x^2-x\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-2x-2\right)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die berechnete Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-x-2$
	↓	Löse beispielsweise mit der Mitternachtsformel.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1-\left(-8\right)}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm3}{2}$

$x_2=\dfrac42=2;\;x_3=\dfrac{-2}2=-1$

Die Funktion hat demnach eine einfache Nullstelle bei $x_2=2$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}3}=-1$ .

Ableiten

Leite die Funktion zweimal ab.

$f(x)=x^3-3x-2$

$f'(x)=3x^2-3$

$f''(x)=6x$

Extrema bestimmen

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f'\left(x\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x^2-3$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3x^2$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle x^2$

$x_1=1;\;x_2=-1$

Extremum bei $x_1=1$ :

Setze $x_1$ in $f(x)=x^3-3x-2$ ein.

$f(1)=1^3-3\cdot 1-2=-4$

Setze $x_1$ in $f''(x)=6x$ ein:

$f''(x)=6\cdot1=6$

Da $f''(1)>0$ hat $f\left(x\right)$ in $TP\left(1|-4\right)$ einen Tiefpunkt.

Extremum bei $x_2=-1$ :

Setze $x_2$ in $f(x)=x^3-3x-2$ ein.

$f(-1)=\left(-1\right)^3-3\cdot\left(-1\right)-2=-1+3-2=0$

Setze $x_2$ in $f''(x)=6x$ ein:

$f''(x)=6\cdot\left(-1\right)=-6$

Da $f''(-1)<0$ hat $f\left(x\right)$ in $HP(-1|0)$ einen Hochpunkt.

Wendepunkte bestimmen

Bestimme nun noch die Wendepunkte. Setze dazu $f''(x)=6x$ gleich 0.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Setze $x=0$ in $f(x)=x^3-3x-2$ ein:

$f(0)=0^3-3\cdot 0-2=-2$

Da $f'''(x)=6\neq 0$ ist, gibt es einen Wendepunkt:

Der Wendepunkt lautet $WP(0|-2)$ .

Graph der Funktion

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Berechne die Gleichungen der Tangente $t$ und Normale $n$ im Wendepunkt.

Tangente aufstellen

Stelle die Tangente im Wendepunkt $WP(0|-2)$ auf.

Setze den x-Wert des Wendepunkts, also $0$ , in $f'(x)=3x^2-3$ ein:

$f'(0)=3\cdot 0^2-3=-3$

$-3$ ist die Steigung $m$ der Tangente.Setz das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts in die allgemeinen Geradengleichung $y=mx+t$ ein, um $t$ zu bestimmen.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx+t$
	↓	$m=-3$ einsetzen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -3x+t$
	↓	Setze $WP(0\|-2)$ in die Gleichung ein. $\Rightarrow\ x=0$ und $y=-2$ .
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -3\cdot0+t$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle t$

Mit $t$ und $m$ kannst du die Gleichung der Tangente aufstellen.

Die Gleichung der Tangente lautet t: $y=-3x-2$

Normale aufstellen

Stelle die Normalengleichung $n$ auf. Für die Steigung der Normalen $m_n$ und die Steigung der Tangenten $m_t=-3$ gilt:

$\displaystyle m_t\cdot m_n$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_t=-3$
$\displaystyle -3\cdot m_n$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-3\right)$
$\displaystyle m_n$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$

Das bestimmte $m_n$ und die Koordinaten des Wendepunkts kannst du in die allgemeinen Geradengleichung einsetzen, um $t$ zu bestimmen.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle m_n\cdot x+t$
	↓	$m_n=\frac{1}{3}$ einsetzen.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x+t$
	↓	Setze $WP(0\|-2)$ in die Gleichung ein. $\Rightarrow\ x=0$ und $y=-2$ .
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot0+t$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle t$

Mit $t$ und $m_n$ kannst du die Gleichung der Tangente aufstellen.

Die Gleichung der Normale lautet n: $y=\frac{1}{3}x-2$

Graph der Funktion mit Normale und Tangente

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Berechne den Inhalt der beiden Flächenstücke, die von $G_f$ und der Normalen n begrenzt sind.

Zur Bestimmung des Integrals werden die Schnittpunkte der beiden Funktionen benötigt.

Schnittstelle der Funktionen berechnen

Setze beide Funktionen gleich.

$y=\frac{1}{3}x-2$

$f(x)=x^3-3x-2$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$
$\displaystyle \frac{1}{3}x-2$	$=$	$\displaystyle x^3-3x-2$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x+2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3-\frac{10}{3}x$
	↓	$x$ ausklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(x^2-\frac{10}{3}\right)$

Die erste Nullstelle ist $x_1=0$ . Um die weiteren Nullstellen zu bestimmen, muss die Klammer $\left(x^2-\frac{10}{3}\right)=0$ berechnet werden.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-\frac{10}{3}$	$\displaystyle +\frac{10}{3}$
$\displaystyle \frac{10}{3}$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{10}{3}}$

Integral aufstellen

Es gibt zwei Flächen die durch die Schnitte entstehen.

$A=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{10}{3}}}^0\left(\left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac{1}{3}x-2\right)\right)\mathrm{dx}\right|+\left|\displaystyle\int_0^{\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(\left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac{1}{3}x-2\right)\right)\mathrm{dx}\right|$

Vereinfache zuerst den Integranden:

$\displaystyle \left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac{1}{3}x-2\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-3x-2-\frac13x+2$
	$=$	$\displaystyle x^3-\frac{10}{3}x$

Integriere $\displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{10}{3}}}^0\left(x^3-\frac{10}{3}x\right)\mathrm{\ dx}$ und dann $\displaystyle\int_0^{\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(x^3-\frac{10}{3}x\right)\mathrm{\ dx}$

$\displaystyle \displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{10}{3}}}^0\left(x^3-\frac{10}{3}x\right)\mathrm{\ dx}$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}x^4-\frac{10}{3\cdot2}x^2\right]_{-\sqrt{\frac{10}{3}}}^0$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}\cdot0^4-\frac{5}{3}\cdot0^2\right]-\left[\frac{1}{4}\left(-\sqrt{\frac{10}{3}}\right)^4-\frac{5}{3}\left(-\sqrt{\frac{10}{3}}\right)^2\right]$
	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^2-\frac{5}{3}\cdot\frac{10}{3}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{25}{3}-\frac{50}{9}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac{25}{9}$

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(x^3-\frac{10}{3}x\right)\mathrm{\ dx}$	$=$	$\displaystyle \left[\frac14x^4-\frac{10}{3\cdot2}x^2\right]_0^{\sqrt{\frac{10}3}}$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}\sqrt{\frac{10}{3}}^4-\frac{5}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot0^4-\frac{5}{3}\cdot0^2\right]$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^2-\frac{5}{3}\cdot\frac{10}{3}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{25}{3}-\frac{50}{9}$
	$=$	$\displaystyle \frac{25}{9}$

Die gesuchte Fläche hat den Flächeninhalt $\frac{50}9\approx5{,}56950≈5{,}57$ Flächeneinheiten.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Nullstellenbestimmung

Ableiten

Extrema bestimmen

Extremum bei x1=1x_1=1x1​=1:

Extremum bei x2=−1x_2=-1x2​=−1:

Wendepunkte bestimmen

Graph der Funktion

Hast du eine Frage oder Feedback?

Tangente aufstellen

Normale aufstellen

Graph der Funktion mit Normale und Tangente

Hast du eine Frage oder Feedback?

Schnittstelle der Funktionen berechnen

Integral aufstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Extremum bei $x_1=1$ :

Extremum bei $x_2=-1$ :