Gruppe A

Lösen Sie folgende Aufgaben.

Geben Sie für $x\in\mathbb{R}$ \ {0} die Lösung der Gleichung $\dfrac{2}{x}=3$ an.

Bestimmen Sie für $x\in\mathbb{R}$ die Lösungen der Gleichung $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
$\hspace{40mm} ax^2+bx+c=0$
Die Mitternachtsformel lautet:
$\hspace{40mm}x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\hspace{40mm} 2x^2-5x-3=0$
Setze die Zahlenwerte entsprechend in die Mitternachtsformel ein.
$\hspace{40mm} x_{1{,}2}=\dfrac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 2\cdot(-3)}}{4}$
$\hspace{40mm} x_{1{,}2}=\dfrac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}$
$\hspace{40mm} x_{1{,}2}=\dfrac{5\pm7}{4}$
$\hspace{32mm}\Rightarrow x_{1}=3\ \text{und}\ x_{2}=-\dfrac{1}{2}$
$\mathbb{L}=\left\{3;-\dfrac{1}{2}\right\}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f:x\rightarrow (x+3)^2-4$ hat genau zwei Nullstellen. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_{f}$ von f.

$G_{f}$ schneidet die y-Achse im Punkt P. Berechnen Sie die y-Koordinate von P.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
$f (x) = (x + 3)^{2} - 4$
$f (0) = (0 + 3)^{2} - 4$
$f (0) = 9 - 4$
$f (0) = 5$
$y = 5$
$G_{f}$ schneidet die y-Achse im Punkt P(0|5).
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein.
Betrachtet wird nun allgemein für jeden Wert $b\in\mathbb{R}$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion
$f_b: x\rightarrow(x+3)^2+b$
Geben Sie an, für welche Werte von b die Funktion $f_{b}$ keine Nullstelle besitzt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
Da es sich bei dem Funktionsgraphen der Funktion $f_{b}$ um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, hat die Funktion für alle Werte $b > 0$ keine Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Betrachtet wird ferner für jeden Wert $a\in\mathbb{R}$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion
$f_a: x\rightarrow(x+a)^2-4$
Begründen Sie, dass die Funktion $f_{a}$ für jeden Wert von a zwei Nullstellen besitzt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
Da der Paramenter $\ \text{a}\$ nur eine Verschiebung in x-Richtung bewirkt,
hat die Funktion $\ \text{f}_\text{a},\$ wie die Funktion $\ \text{f},\$ zwei Nullstellen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

3

Am 3. Oktober 1990 wurde die deutsche Wiedervereinigung vollzogen.

Im abgebildeten Kreisdiagramm ist der Anteil p der Einwohner Gesamtdeutschlands dargestellt, die im Jahr 1990 im Gebiet der ehemaligen DDR lebten. Der Mittelpunktswinkel des zugehörigen grau gefärbten Sektors beträgt $72 ° .$
Berechnen Sie den Anteil p in Prozent.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisdiagramm
$\ W\widehat{=}72°;\qquad G\widehat{=}360°$
$p=\dfrac{72°}{360°}\Rightarrow p=0{,}2\cdot100\%=20\%$
$20 %$ der Einwohner Gesamtdeutschlands lebten $1990$ im Gebiet der ehemaligen DDR.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Verwende die Prozentformel: $\ W=p\cdot G\Rightarrow p=\dfrac{W}{G}$
Gemäß einer repräsentativen Umfrage aus dem Jahr 2018 unter jungen Deutschen waren 69% der jungen Westdeutschen, aber nur 56% der jungen Ostdeutschen der Meinung, dass es nach wie vor kulturelle Unterschiede zwischen Ost-und Westdeutschen gibt. Basierend auf diesen Daten soll der Anteil aller jungen Deutschen berechnet werden, die 2018 der Meinung waren, dass es nach wie vor kulturelle Unterschiede zwischen Ost-und Westdeutschen gibt.
Beurteilen Sie, ob dafür der Ansatz (69%+56%):2 geeignet ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Durchschnitt berechnen
Der Ansatz $(69\%+56\%):2\$ ist nicht geeignet. Da sich die Einwohnerzahlen von West- und Ostdeutschland stark unterscheiden, kann man davon ausgehen, dass das auch auf die Anzahl der Jugendlichen zutrifft.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die nebenstehende Karte zeigt Deutschland im Maßstab 1: 15 000 000.
Durch eine Abschätzung mithilfe des eingezeichneten Rechtecks soll ein Näherungswert für den Inhalt der Fläche Ostdeutschlands (in der Karte grau dargestellt) ermittelt werden.
Geben Sie mithilfe der angegebenen Seitenlängen einen Ansatz zur Berechnung des Flächeninhalts Ostdeutschlands in $k m^{2}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Der Maßstab beträgt: $1: 15\ 000\ 000$ , das bedeutet, $\ 1\ \text{cm}\$ auf der Karte
entspricht $15\ 000\ 000\ \text{cm}\$ in der Wirklichkeit.
Wandle $\ 15\ 000\ 000\ \text{cm}\$ in $\ \text{km}\$ um.
$\ 15\ 000\ 000\ \text{cm}=\dfrac{15\ 000\ 000\ \text{cm}}{100\ 000{\dfrac{cm}{km}}}=150\ km$
Ansatz Flächeninhalt Ostdeutschlands $\ =\ 1{,}7\cdot 150\ km\cdot 2{,}8\cdot 150\ km$
$\hspace{58mm}=\boxed{(150\ km)^2\cdot1{,}7\cdot2{,}8}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

4

Mit dem abgebildeten Messbecher kann das Volumen von Flüssigkeiten abgemessen werden. Er kann modellhaft als Kegel mit Gesamthöhe H und Grundkreisradius R betrachtet werden (vgl. Skizze).

Der Messbecher ist innen mit einer Skala beschriftet, sodass das Volumen der eingefüllten Flüssigkeit in ml abgelesen werden kann. Eine der drei nachfolgenden Skalen ist grundsätzlich dafür geeignet. Welche Skala ist das?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Kegels
Der Messbecher hat die Form eines auf dem Kopf stehenden Kegels, das bedeutet der Durchmesser wird mit wachsender Höhe größer, bei gleichbleibendem Volumenzuwachs
werden die Abstände auf der Skala kleiner.
Die mittlere Skala zeigt das richtig an.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Der Messbecher ist nun 10cm hoch mit Wasser gefüllt; der Radius des Wasserspiegels beträgt 4cm.
Berechnen Sie, wie groß das Volumen des Wassers im Messbecher in etwa ist. Verwenden Sie dazu den Näherungswert $\pi \approx3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Kegel
Formel zur Berechnung des Volumeninhaltes eines Kegels:
$\ V_{{W}_\text{{Kegel}}}=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h\ \Rightarrow \ V_{{W}_\text{{Kegel}}}=\dfrac{1}{3}\cdot3\cdot (4\ cm)^2\cdot 10\ cm$
$\ V_{{W}_\text{{Kegel}}}=160\ cm^3$
Das Volumen des Wassers im Messbecher beträgt ungefähr: $\ \boxed{\ 160\ cm^3}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Mantelfläche des Messkegels mit Grundkreisradius R und Gesamthöhe H wird aus einem Stück Blech gefertigt, das die Form eines Kreissektors hat. Dieser Sektor hat die Bogenlänge b und den Radius m (vgl. Abbildung)
Erklären Sie anschaulich, warum $b=2\pi\cdot R$ gilt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
$\ \text{b}$ entspricht dem Umfang des Grundkreises mit Radius $\ \text{R}$
Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:
$\hspace{46mm}\boxed{U=2\cdot R\cdot\pi}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Geben Sie eine Gleichung an, die den Zusammenhang von m, R und H beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
$\ \text{R},\$ $\text{H}\$ und $\ \text{m}\$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck, im rechtwinkligen Dreieck gilt
der Satz des Pythagoras. Also ist:
$\ \boxed{m^2=H^2+R^2}$

Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

5

Lösen Sie folgende Aufgaben.

Ergänzen Sie folgenden Text fachsprachlich korrekt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Um bei einem Laplace-Experiment die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $\ \text{A}\$ zu berechnen, dividiert man die Anzahl $\ \textcolor{blue}{\text{"{}der für das Ereignis A günstigen Ergebnisse"{}}}\$ durch die Anzahl $\ \textcolor{blue}{\text{"{}aller möglichen Ergebnisse"{}}}.$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Ein Glücksrad hat acht gleich große Sektoren, die gefärbt und mit Zahlen beschriftet sind (vgl. Abbildung). Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Nach der ersten Drehung wird die dabei erzielte Zahl, nach der zweiten Drehung die dabei erzielte Farbe notiert. Betrachtet wird das Ereignis $E$ : „Das Rad zeigt zuerst eine ungerade Zahl und dann rot.“Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline E$ von $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses (Gegenwahrscheinlichkeit) berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von der Gesamtwahrscheinlichkeit (meist $1$ ) abzieht.
$\hspace{50mm}P(\overline{A})=1-P(A)$
Anzahl der ungeraden Zahlen: $4$
$\hspace{20mm}$ Anzahl Farbe rot: $2$
Wahrscheinlichkeit Ereignis $\ \text{E}$ :
$\ P(E)=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{2}{8}\ \Rightarrow\ P(E)=\dfrac{8}{64}=\dfrac{1}{8}$
$\ P(\overline{E})=1-P(E)\ \Rightarrow P(\overline{E})= 1-\dfrac{1}{8}$
$\ \Rightarrow P(\overline{E})=\dfrac{7}{8}$
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\ \overline{E}$ beträgt : $\ \dfrac{7}{8}\$ oder $\ 87{,}5\%$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit des Ereignis $E$

6

Für jeden Wert $m\in\mathbb{R}$ wird die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x+4$ betrachtet.

Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem, (siehe Abb.) die Gerade zu $m = - 2$ ein.
Ermitteln Sie den Wert von $m$ so, dass das Dreieck, das die zugehörige Gerade im ersten Quadranten mit den beiden Koordinatenachsen einschließt, den Flächeninhalt $6$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Die Gerade $\text{g}$ bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck,
die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes dieses Dreiecks lautet:
$\hspace{4mm}A=\dfrac{4\cdot x}{2}\ \$ löse die Formel nach $x$ auf.
$\ \Rightarrow x=\dfrac{2A}{4}\ \$ setze für $A = 6$ in die Formel ein.
$\ \Rightarrow x=\dfrac{12}{4}\Rightarrow\ x=3\$ (Nullstelle)
Berechne die Steigung $\text{m}\$ :
$\ \text{m}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\Rightarrow \text{m}=\dfrac{0-4}{3-0}\Rightarrow \text{m}=-\dfrac{4}{3}$
Die Steigung $\ \text{m}\$ der Geraden $\ \text{g},\$ die mit den beiden Koordinatenachsen
ein rechtwinkliges Dreieck, mit dem Flächeninhalt $6$ einschließt, beträgt: $\ \boxed{-\dfrac{4}{3}}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$\displaystyle \dfrac{2}{x}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot x$
	↓	multipliziere
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
	↓	dividiere
$\displaystyle \dfrac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	tausche die Seiten
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Gruppe A

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?