Teil B, Gruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

(Kleine Änderungen der Formulierung aufgrund der Umwandlung in ein digitales Medium sind kursiv geschrieben.)

Löse folgende Gleichung.

$(12x – 6 : 0{,}3) \cdot 3 = 8{,}5 \cdot (x + 4{,}4) – (10{,}2 – 0{,}86x) \cdot 5$

Löse folgende Gleichung.

$\dfrac{20-18x}{5}+ \dfrac{1}{5}\cdot (5 – 47x) = 15 – (18x – 15)$

3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Zeichne in ein Koordinatensystem (Einheit 1cm) die Punkte $A (– 4 │ 3)$ sowie $B (– 4 │– 2)$ .
Hinweis zum Platzbedarf: x-Achse von –5 bis 6, y-Achse von –3 bis 7.
1. Verbinde die Punkte $A, B$ und den Punkt $C (6 │– 2)$ zu einem Dreieck. Gib an, welches besondere Dreieck entsteht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem
  Es entseht ein rechtwinkliges Dreieck. $\sphericalangle CBA=90°$ .
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  Zeichne die Punkte $A,$ $B$ und $C$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie.
2. Zeichne die Senkrechte zu $\overline{AC}$ durch den Punkt $B$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Senkrechte zeichnen
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  Zeichne mit dem Geodreieck eine Senkrechte zu $\overline{AC}$ durch den Punkt $B$ .
3. Lege den Punkt $D$ so fest, dass ein Drachenviereck $A B C D$ entsteht und gib die Koordinaten von $D$ an. Schreibweise für das Eingabefeld: D(1;2) oder D(1|2).
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  $D$ hat die Koordinaten $D (0 ∣ 6)$ .
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  Zeichne einen Kreis um $A$ mit Radius $|\overline{AB}|$ .
  Ein Schnittpunkt des Kreises mit der Senkrechten durch $B$ ist der Punkt $B$ . Der zweite Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt $D$ .
4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Hubert möchte sich ein neues Smartphone kaufen. Der Verkaufspreis beträgt 240 €. Mit Rabatt kostet das Smartphone 204 €.
1. Berechne den Rabatt in Prozent.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Grundwert G: 240€
  Prozentwert P: 204€
  ->Prozentsatz p ist gesucht
  Formel für den Prozentsatz p:
  $p=\frac{P\cdot100}{G}$
  Jetzt musst du die Werte in die Formel einsetzen:
  $\displaystyle p$ $=$ $\displaystyle \frac{204\cdot100}{240}$
  $\displaystyle p$ $=$ $\displaystyle 85\%$
  Mit diesem Ergebnis kannst du nun den Rabatt in % berechnen:
  100% - Prozentsatz p = Rabatt in %
  ↓
  $\displaystyle 100\%-85\%$ $=$ $\displaystyle 15\%$
  Der Rabatt beträgt also 15%.
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  Verwende die Formel für den Prozentsatz und setze die Werte ein. Berechne dann mit dem Ergebnis des Prozentsatzes den Rabatt in %.
2. Da er das Smartphone sofort bezahlt, erhält er zusätzlich 2 % Skonto. Berechne den Preis, den Hubert dann bezahlen muss.
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
  $100$ % $\mathop{\widehat{=}}204€$
  $1$ % $\mathop{\widehat{=}}2{,}04€$
  $98$ % $\mathop{\widehat{=}}=199{,}92€$
  Bei zusätzlichen 2% Skonto muss Hubert 199,92€ bezahlen.
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3. Im Preis von 204 € sind 19 % Mehrwertsteuer enthalten. Die folgende Berechnung des Preises ohne Mehrwertsteuer ist fehlerhaft.
  Erkläre den Fehler und berechne den Preis ohne Mehrwertsteuer.
  € ist der Preis ohne Mehrwertsteuer.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Der Preis in Höhe von $204\;€$ entspricht dem Grundpreis, einschließlich $19 %$ Mehrwertsteuer, also $119\;\%$ .
  $204\;€\mathop{\widehat{=}}119\;\%$
  $1\;\% \mathop{\widehat{=}}204\;€:119\approx1{,}7143\;€$
  $100\;\%$ $\mathop{\widehat{=}}171{,}43\;€$
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5
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das abgebildete Werkstück besteht aus einem Quader und zwei gleichen Dreiecksprismen. Berechne das Volumen des Werkstücks.
Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu.
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:
Grundwissen Quader
$V_{Quader}=l\cdot b\cdot h$
$V_{Quader}=140cm\cdot 35cm\cdot 70cm$
$V_{Quader}=343000cm^3$
$K a t h e t e_{1} = (65 c m - 35 c m) : 2$
$K a t h e t e_{1} = 15 c m$

Berechne die Länge der 2. Kathete mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
Gegeben: $H y p o t h e n u s e = 25 c m$
$Kathete_2=\sqrt{(25cm)^2-(15cm)^2}=20cm$
$K a t h e t e_{2} = 20 c m$
Grundwissen Prisma:
$V_{Prisma}=g\cdot h$
Gegeben: $h = 140 c m$
$g=(20cm\cdot 15cm):2$
$V_{Prisma}=150cm^2\cdot 140cm$
$V_{Prisma}=21000cm^3$
Das gesamte Werkstück besteht aus einem Quader und zwei Prismen.
$V_{Werkstück}=343000cm^3+2\cdot 21000cm^3$
$V_{Werkstück}=385000cm^3$
Berechne das Volumen des Quaders und das Volumen eines Prismas separat
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die abgebildete Figur besteht aus 16 kleinen Quadraten und zwei deckungsgleichen Dreiecken. Berechne den Flächeninhalt der grau markierten Flächen.
Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:
Flächeninhalt eines Dreiecks
$F_{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$
$g = 5, 6 c m$
$h = (12 c m - 5, 6 c m) : 2$
$h = 3, 2 c m$
$F_{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot 5{,}6cm\cdot 3{,}2cm$
$F_{Dreieck}=8{,}96cm^2$
Flächeninhalt eines Quadrats
$F_{Quadrat}=a^2$
$a = 5, 6 c m : 4$
$a = 1, 4 c m$
$F_{Quadrat}=1{,}4cm\cdot 1{,}4cm$
$F_{Quadrat}=1{,}96cm^2$
Die grau markierten Fläche besteht aus aus 2 Dreiecken und 8 Quadraten.
$F_{grau}= 2\cdot 8{,}96cm^2+8\cdot 1{,}96cm^2$
$F_{grau}= 17{,}92cm^2+15{,}68cm^2$
$F_{grau}= 33{,}60cm^2$
Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks und eines Quadrates.
7
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Zwei Streamingdienste werben mit folgenden Angeboten:
1. Ordne den Angeboten A und B jeweils den passenden Graphen zu.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  Angebot A: Graph 3. Bei Angebot A wird keine Grundgebür verlangt. Der Graph beginnt also bei 0 und steigt pro Film um jeweils 2€ an.
  Angebot B: Graph 2. Bei Angebot B wird eine monatliche Grundgebühr von 7,50€ verlangt. Der Graph beginnt also bei 7,50 und steigt dann um 0,55 pro Film an.
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2. Ermittle die Anzahl der Filme, die man zum Preis von 13 € bei Angebot B erhält.
  Filme
  
  $($ $13, 00 € - 7, 50 €) : 0, 55 € = 5, 50 € : 0, 55 € = 10$
  Bei Angebot B erhält man für 13,00€ 10 Filme.
  Alternativ, kann man die Anzahl auch graphisch bestimmen:
  Graph 2 stellt das Angebot B dar. Gesucht ist der Punkt, an dem Graph 2 die 13€-Schwelle erreicht. An der x-Achse kann abgelesen werden, dass das bei genau 10 Filmen der Fall ist.
  Graphische Lösung
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  Ziehe von den 13,00€ zunächst die Grundgebühr von 7,50€ ab. Teile den Betrag dann durch die 0,55€ pro Film.
3. Bestimme, ab wie vielen Filmen Angebot B günstiger ist als Angebot A und begründe deine Entscheidung.
  Ab so vielen Filmen ist Angebot B günstiger.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  Dies ist ab 6 Filmen der Fall.
  Preis für 6 Filme bei Angebot B: $7{,}50€+6\cdot 0{,}55€=7{,}50€+3{,}30€=10{,}80€$
  Preis für 6 Filme bei Angebot A: $6\cdot 2€=12€$
  Ab 6 Filmen ist das Angebot B günstiger.
  Vorher ist das Angebot A günstiger, für 5 Filme gilt:
  Angebot B: $7{,}50€+5\cdot0{,}55€=10{,}25€$
  Angebot A: $5\cdot2€=10€$
  Angebot A wäre für weniger als 6 Filme günstiger.
  Alternative graphische Lösung
  Die Graphen schneiden sich zwischen den Stellen $x = 5$ und $x = 6$ . Für $x = 5$ liegt der Graph 3 unterhalb des anderen, weshalb der das günstigere Angebot darstellt:
  Für 5 und weniger Filme ist Angebot A besser.
  Bei $x = 6$ liegt der Graph 2 unterhalb dem anderen Graphen, weshalb er ab dort das bessere Angebot darstellt:
  Für 6 oder mehr Filme ist Angebot B besser.
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  Schau dir an, ab welchem Punkt der Graph 2 für Angebot B unterhalb des Graphen 3 für Angebot A verläuft.
4. Formuliere ein passendes Angebot zu Graph 1.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  Für eine monatliche Pauschale von 14,00€ erhältst du beliebig viele Filme.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Wassertropfen hat ein Volumen von $5 \cdot 10^{-5}$ Liter.
1. Berechne, wie viele Wassertropfen in ein Schwimmbecken mit $48 m^{3}$ Fassungsvermögen passen.
  Wassertropfen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumeneinheiten
  $\ 1\ \text{m}^3\ =\ 1000\ \text{dm}^3\ =\ 1000\ \text{l}$
  Volumen Schwimmbecken $\ =\ 48\ \text{m}^3\cdot1000\ \dfrac{\text{l}}{\text{m}^3}\ =\ 48000\ \text{l}$
  Anzahl Wassertropfen im Schwimmbecken:
  $\ \dfrac{4{,}8\cdot10^4}{\dfrac{5}{10^5}}\ =\ \dfrac{4{,}8\cdot10^4\cdot10^5}{5}=9{,}6\cdot10^8$
  In das Schwimmbecken passen $960.000.000$ Wassertropfen.
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  Rechne zuerst die Volumeneinheit $\ \text{m}^3\$ in $\ \text{Liter}\$ um.
  Dividiere: $\ \text{Volumen Schwimmbecken\ :\ Volumen Wassertropfen}$
2. An einem heißen Sommertag verdunsten in einer Sekunde durchschnittlich 5 Wassertropfen aus dem Schwimmbecken. Martin behauptet: „Das sind $900 m l$ in der Stunde!“ Hat er recht? Begründe rechnerisch.
  Ja, Martin hat recht.
  Nein, Martin hat nicht recht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumeneinheiten
  $\ 1\ \text{h}=3600\ \text{s}$
  $\ 1\ \text{l}=1000\ \text{ml}\$ oder in Potenzschreibweise $\ 10^3\ \text{ml}$
  $\ \text{Volumen\ 1\ Wassertropfen}=\ \ \ \ \ 5\cdot10^{-2}\ \text{ml}$
  $\ \text{Volumen\ 5\ Wassertropfen}=\ 5\cdot5\cdot10^{-2}\ \text{ml}$
  Volumen des verdunsteten Wassers pro Stunde:
  $\ 5\cdot5\cdot 10^{-2}\cdot3600\ \ =25\cdot3{,}6\cdot10^{3}\cdot10^{-2}\ \left[\dfrac{\text{ml}}{\text{h}}\right]$
  $\ =90\cdot10=900\ \frac{\text{ml}}{\text{h}}$
  Martin hat recht, es verdunsten $\ 900\ \text{ml}\$ Wasser pro Stunde.
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  Rechne Stunden in Sekunden - und das Volumen des Wassertropfens
  von Liter in Milliliter um.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle (12x-6:0{,}3)⋅3$	$=$	$\displaystyle 8{,}5\cdot (x+4{,}4)-(10{,}2-0{,}86x)\cdot 5$
	↓	löse die Klammern auf der rechte Seite auf
$\displaystyle (12x-20)\cdot3$	$=$	$\displaystyle 8{,}5x+37{,}4-51+4{,}3x$
	↓	löse die Klammer auf der linken Seite auf
$\displaystyle 36x-60$	$=$	$\displaystyle 12{,}8x-13{,}6$	$\displaystyle -12{,}8x$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle 23{,}2x-60$	$=$	$\displaystyle -13{,}6$	$\displaystyle +60$
	↓	addiere
$\displaystyle 23{,}2x$	$=$	$\displaystyle 46{,}4$	$\displaystyle :23{,}2$
	↓	dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle \dfrac{20-18x}{5}+\dfrac{1}{5}(5-47x)$	$=$	$\displaystyle 15-(18x-15)$
	↓	Löse auf der linken Seite den Bruch durch ausdividieren auf und multipliziere die Klammer aus.
$\displaystyle 4-3{,}6x+1-9{,}4x$	$=$	$\displaystyle 15-(18x-15)$
	↓	Löse die Klammer auf der rechten Seite auf.
$\displaystyle 4-3{,}6x+1-9{,}4x$	$=$	$\displaystyle 15-18x+15$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 5-13x$	$=$	$\displaystyle 30-18x$	$\displaystyle +18x$
$\displaystyle 5+5x$	$=$	$\displaystyle 30$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle \dfrac{20-18x}{5}+\dfrac{1}{5}(5-47x)$	$=$	$\displaystyle 15-(18x-15)$	$\displaystyle \cdot 5$
$\displaystyle 20-18x+5-47x$	$=$	$\displaystyle 75-5\cdot(18x-15)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 20-18x+5-47x$	$=$	$\displaystyle 75-90x+75$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 25-65x$	$=$	$\displaystyle 150-90x$	$\displaystyle +90x$
$\displaystyle 25+25x$	$=$	$\displaystyle 150$	$\displaystyle -25$
$\displaystyle 25x$	$=$	$\displaystyle 125$	$\displaystyle :25$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5$

Teil B, Gruppe 1

Lösungsweg 1: ausdividieren und ausmultiplizieren

Lösungsweg 2: mit dem Nenner 5 die Gleichung multiplizieren

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$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{204\cdot100}{240}$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 85\%$

100% - Prozentsatz p = Rabatt in %
	↓
$\displaystyle 100\%-85\%$	$=$	$\displaystyle 15\%$