Teil 2

Berechnen, wie viele Tonnen Hausmüll jede Person in Deutschland durchschnittlich verursacht hat.

$\mathrm{\varnothing }{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{m}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}}_{2015}={\displaystyle \frac{\mathrm{45,9}}{\mathrm{81,2}}}\backslash varnothing\backslash mathrm\{\{Hausmüll\}\_\{2015\}=\backslash dfrac\{45\{,\}9\}\{81\{,\}2\}\}$

$\mathrm{\varnothing }{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{m}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}}_{2015}=\mathrm{0,57}\mathrm{t}\backslash varnothing\backslash mathrm\{\{Hausmüll\}\_\{2015\}=0\{,\}57\backslash \; t\}$

Im Jahr 2015 hat jede Person in Deutschland durchschnittlich $\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,57}\mathrm{t}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{0\{,\}57\backslash \; t\}\}$ Hausmüll verursacht.

Berechnen, wie viele Tonnen Papier im Hausmüll enthalten waren.

Die Formel zur Berechnung des Prozentwerts lautet:

$\mathrm{W}=\mathrm{p}\cdot \mathrm{G}\backslash mathrm\{W=p\backslash cdot\; G\}$

Folgende Größen sind bekannt:

Grundwert $\mathbf{\text{G}}=45900000\backslash textbf\{G\}=45\backslash \; 900\backslash \; 000$

Prozentsatz $\mathbf{\text{p}}=18\mathrm{\%}\backslash textbf\{p\}=18\backslash \; \backslash \%$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

$\mathrm{W}={\displaystyle \frac{18}{100}}\cdot 45900000\backslash mathrm\{W=\backslash dfrac\{18\}\{100\}\backslash cdot45\backslash \; 900\backslash \; 000\}$

$\mathrm{W}=8262000\mathrm{t}\backslash mathrm\{W=8\backslash \; 262\backslash \; 000\backslash \; t\}$

Im Hausmüll waren $\boxed{{\displaystyle 8262000\mathrm{t}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{8\backslash \; 262\backslash \; 000\backslash \; t\}\}$ Papier enthalten.

Vervollständigen des Kreisdiagramms.

Berechnen des Flächeninhalts des Schildes.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \backslash mathrm\{A\_\{Kreis\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,50}}{2}}\right)}^2\cdot \pi [{\mathrm{m}}^2]\backslash mathrm\{A\_\{Kreis\}=\backslash left(\backslash dfrac\{1\{,\}50\}\{2\}\backslash right)^2\backslash cdot\backslash pi\backslash \; \backslash \; [m^2]\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{1,77}{\text{ m}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Kreis\}=1\{,\}77\backslash m^2\}$

Der Flächeninhalt des Schildes beträgt, $\boxed{{\displaystyle \mathrm{1,77}{\text{ m}}^2}}\mathrm{.}\backslash boxed\{1\{,\}77\backslash m^2\}.$

Überprüfen, ob eine $4\text{ m}4\backslash m$ lange LED-Lichterkette ausreicht.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=d\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{1,50}\cdot \pi [\mathrm{m}]\backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=1\{,\}50\backslash cdot\backslash pi\backslash \; \backslash \; [m]\}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{4,71}\text{ m}\backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=4\{,\}71\backslash m\}$

Der Umfang des Schildes beträgt $\mathrm{4,71}\text{ m}4\{,\}71\backslash m$, die LED-Lichterkette reicht also nicht aus.

Berechnen der Seitenlänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ des Werkstücks.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf unser Dreieck:

$({\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}{)}^2=({\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}{)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2\backslash mathrm\{(h\_a)^2=(h\_K)^2+\backslash left(\backslash dfrac\{a\}\{2\}\backslash right)^2\}$

Folgende Größen sind bekannt:

${\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}=\mathrm{4,8}\text{ cm}{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{3,9}\text{ cm}\backslash mathrm\{h\_a=4\{,\}8\backslash cm\backslash quad\; h\_K=3\{,\}9\backslash cm\}$

Auflösen nach ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{a\}\{2\}\}$ und einsetzen der bekannten Größen:

${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}=\sqrt{{\mathrm{4,8}}^2-{\mathrm{3,9}}^2}\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{a\}\{2\}=\backslash sqrt\{4\{,\}8^2-3\{,\}9^2\}\}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}=\mathrm{2,80}\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{a\}\{2\}=2\{,\}80\}$

Dann ist die Seitenlänge $\text{a}=2\cdot \mathrm{2,80}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \text{a}=\mathrm{5,60}\text{ cm}}}\backslash text\{a\}=2\backslash cdot2\{,\}80\backslash \; \backslash Rightarrow\; \backslash boxed\{\backslash text\{a\}=5\{,\}60\backslash cm\}$

Berechnen der zu schleifenden Fläche.

Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer Pyramide lautet:

${\mathrm{O}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{G}\cdot \mathrm{M}\backslash mathrm\{O\_\{Pyramide\}=G\backslash cdot\; M\}$

$\mathrm{G}={\mathrm{a}}^2\backslash hspace\{10mm\}\backslash mathrm\{G=a^2\}$

$\mathrm{M}=4\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}}{2}}\backslash hspace\{10mm\}\backslash mathrm\{M=4\backslash cdot\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; h\_a\}\{2\}\}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\mathrm{a}}^2+2\cdot \mathrm{a}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}\backslash mathrm\{O\_\{Pyramide\}=a^2+2\backslash cdot\; a\backslash cdot\; h\_a\}$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{O}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\mathrm{5,60}}^2+2\cdot \mathrm{5,60}\cdot \mathrm{4,8}\backslash mathrm\{O\_\{Pyramide\}=5\{,\}60^2+2\backslash cdot5\{,\}60\backslash cdot4\{,\}8\}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{31,36}+\mathrm{53,76}\backslash mathrm\{O\_\{Pyramide\}=31\{,\}36+53\{,\}76\}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{85,12}{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{O\_\{Pyramide\}=85\{,\}12\backslash cm^2\}$

Die zu schleifende Fläche beträgt: $\mathrm{85,12}{\text{ cm}}^{2}85\{,\}12\backslash cm^2$

Hinweis:

Wir haben hier für $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ mit dem gerundeten Wert $\mathrm{5,60}5\{,\}60$ gerechnet. Wenn du für $\mathrm{a}\backslash mathrm\{a\}$ mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du für den Oberflächeninhalt der Pyramide $\mathrm{85,05}{\text{ cm}}^{2}85\{,\}05\backslash cm^2$.

Zuordnen der passenden Graphen zu den Funktionsgleichungen.

Eintragen der Punkte $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ und $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ und zeichnen der Geraden.

Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}\backslash \; \backslash large\{\backslash mathrm\{y=\{m\}\backslash cdot\; x+\{t\}\}\}$

Den $\mathbf{\text{y}}\backslash textbf\{y\}$-Achsenabschnitt können wir aus der Skizze ablesen.

$\mathrm{t}=-1\backslash mathrm\{t=-1\}$

Einsetzen der Koordinaten des Punktes $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ und des $\mathbf{\text{y}}\backslash textbf\{y\}$-Achsenabschnitts $\mathbf{\text{t}}\backslash textbf\{t\}$ in die allgemeine Geradengleichung.

Die Funktionsgleichung lautet dann:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{y}=\frac{3}{5}\mathrm{x}-1}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{y=\backslash dfrac\{3\}\{5\}x-1\}\}$

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Berechnen von $\mathbf{\text{y}}\backslash textbf\{y\}$.

Einsetzen des Wertes für x in z. B. die Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}\backslash text\{g\}$.

$\mathrm{y}=4\cdot 1-6\Rightarrow \mathrm{y}=-2\backslash mathrm\{y=4\backslash cdot1-6\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; y=-2\}$

Die Geraden schneiden sich dann in dem Punkt$\boxed{{\displaystyle \mathrm{S}(1\mathrm{\mid }-2)}}\backslash \; \backslash boxed\{\backslash mathrm\{S(1|-2)\}\}$.

Vervollständigen des Baumdiagramms.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass zweimal derselbe Radrennfahrer ausgelost wird.

Für einen Radrennfahrer gilt, dass er zweimal ausgelost wird:

${\mathrm{P}}_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{9}}\backslash mathrm\{P\_\{\backslash tiny\{1\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{3\}=\backslash dfrac\{1\}\{9\}\}\backslash qquad$ siehe Baumdiagramm Teilaufgabe 6a).

Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal derselbe Radrennfahrer ausgelost wird ist dann:

${\mathrm{P}}_3={\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{3}{9}}\backslash mathrm\{P\_\{\backslash tiny\{3\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{9\}+\backslash dfrac\{1\}\{9\}+\backslash dfrac\{1\}\{9\}=\backslash dfrac\{3\}\{9\}\}$