Testaufgaben

Beschreibung zu den Testaufgaben

1
Berechne $1+\tan^2(\alpha)$ für die Winkel $\alpha=60^\circ$ , $\beta=85^\circ$ und $\gamma=35^\circ$ exakt,indem du zunächst diesen Term zuerst vereinfachst.
2
Wie alt ist die Social Entrepreneurship Academy (SEA) in München?
5 Jahre
15 Jahre
1458 Jahre
3
Berechne die Fläche des Dreiecks. Schiebe dazu die blauen Felder in die weißen Flächen.
Richtige antwort
Falsche Antwort 1
Andere falsche antwort
Hmmmm…könnte beides sein?!?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche
Die bekannte Formel $\frac12\cdot g\cdot h$ kann auch als $\frac{g\cdot h}2$ dargestellt werden.
4
Ein 8,4m langer Pfahl steckt zu $\frac14$ im Boden und zu 30% im Wasser. Fertige eine Skizze mit den gegebenen Daten an und berechne wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Aus der Angabe entnimmst du folgende Informationen:
Länge des Pfahls: $8,4 m$
im Wasser: $30 %$ des Pfahls
im Boden: $\frac{1}{4}$ des Pfahls
Zeichne zuerst eine Skizze mit den angegebenen Daten.
Nun gibt es 2 Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.
1. Möglichkeit
Strategie: Berechne zuerst wie viel Prozent des Pfahls aus dem Wasser herausragen und rechne das Ergebnis anschließend in Meter um.
Wandle dazu die Anteile in Prozentangaben um.
$30 %$ des Pfahls sind im Wasser.
$\frac14=25\%$ des Pfahls stecken in der Erde.
Addiere die Prozentangaben um den Anteil zu erhalten, der im Wasser und im Boden steckt.
$25\% + 30\% = 55\%$
Berechne den Anteil des Pfahls der aus dem Wasser herausragt. $100\%$ entsprechen der gesamten Länge des Pfahls. $55 %$ des Pfahls sind unter Wasser oder in der Erde.
Also sind $100\% - 55\% = 45\%$ über Wasser.
Jetzt kannst du den Anteil in Meter mit einer Formel berechnen, der aus dem Wasser herausragt.
$0.45 \cdot 8{,}4m= 3{,}78 m$
Die Länge des Pfahls, die aus dem Wasser herausragt ist damit $3.78 m$ .
2. Möglichkeit:
Strategie: Berechne zunächst wie viel Meter des Pfahls im Wasser bzw. im Boden sind und subtrahiere dies anschließend von der Gesamtlänge des Pfahls.
Bestimme also zunächst die Länge des Pfahls, die im Boden steckt.
$\frac14$ von den $8,4 m$ stecken im Boden. $\frac14 \cdot 8{,}4m =2{,}1m$ .
$\Rightarrow 2{,}1m$ des Pfahls stecken im Boden.
Berechne die Länge des Pfahls, die im Wasser steht, mit Hilfe des Dreisatzes.
$8,4 m$ $\widehat{=}$ $100\%$
$\frac{8.4}{100}m = 0.084 m$ $\widehat{=}$ $1 %$
$\frac{8.4}{100}m \cdot 30$ $\widehat{=}$ $1\% \cdot 30$
$\Rightarrow 30\%$ $\widehat{=}$ $2,52 m$
$\Rightarrow 2{,}52m$ des Pfahls stehen im Wasser.
Subtrahiere die beiden Längen von der Gesamtlänge, um die Länge des Pfahls zu berechnen, die aus dem Wasser herausragt.
$8.4 m - 2.52 m - 2.1 m = 3,78 m$
Es ragen also $3,78 m$ des Pfahls aus dem Wasser.
5
Zeichne folgenden Punkt ein.
1. P(5|8)
  
  noch nicht erstellt
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2. (2|9)
  
  Noch nicht erstellt
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6
$\varpi,\varphi,\phi,\epsilon,\varepsilon,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\partial, \pi,\varkappa,\kappa,\Delta,\Phi$

Textsolution ist immer gut
7
Berechne das Ergebnis und klicke die richtige Lösung an:
1. $- 4 + 12 = ?$
  +8
  -8
  -16
  +16
2. $+ 10 - 24$
  -14
  +34
  -34
  +14
  -4
8
$\displaystyle 1+1$
2
9
Beispielaufgaben Interaktivität (zu Demonstrationszwecken)
1. multiple choice
  richtige Antwort
  ganz richtige Antwort
  riiiiiichtig
  falsch
  Dies ist auch die falsche Lösung
  blablabla
  blau
  richtig falsch
  falsche Antwort xy
  
  Auswahl der richtigen Lösungen
  Wie du eine richtige Lösung findest, findest du im Artikel zu ballaa.
  Wähle alle Antworten aus, wo richtig steht.
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2. single choice
  richtig
  falsche Antwort
  falsch
3. Wort als Lösung : string answer
4. GENAU DIESE ZAHL! number exact match
5. ungekürzte Brüche etc: number equals match
6. ermagherd
7. Multiple Choice
  100
8. Multiple Choice
  JA Addition
  5

Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in $\mathrm m$ ):

Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?

Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Der längste Faden ist entweder so lang wie

die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)

oder so lang wie

die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ (denn um von $\mathrm E$ zu $\mathrm F$ zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu $\mathrm T$ webt, aber dafür etwas weiter nach oben).

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$

Die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ ist Seite im Dreieck $\triangle \mathrm{EHT}$ .

Dieses Dreieck hat bei $\mathrm H$ einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck $\triangle \mathrm{EHT}$ den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\left[\mathrm{ET}\right]$ .

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{HT}}=2{,}03\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{HT}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$ .

$\overline{\mathrm{HT}}=2{,}03\,\mathrm m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EH}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EH}}$ :

Die Strecke $\lbrack \mathrm{EH}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{EGH}$ am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm G$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{EH}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2$

$\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ und $\overline{\mathrm{GH}}=2{,}50\,\mathrm m$ sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

$\overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3{,}40\mathrm m\right)^2+\left(2{,}50\mathrm m\right)^2$

und rechne aus.

$\overline{\mathrm{EH}}^2=17{,}81\mathrm m^2$

Um von $\overline{\mathrm{EH}}^2$ zu $\overline{\mathrm{EH}}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

$\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$

Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{EH}}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$\overline{\mathrm{EH}}\approx4{,}22\;\mathrm m$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit $\overline{\mathrm{EH}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{ET}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EH}}$ :

Du hast bislang erhalten:

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$

und

$\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$ .

Setze nun $\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$ in die obere Gleichung ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}^2$	$=$	$\displaystyle \left( \sqrt{17{,}81} \, \mathrm m \right)^2 +\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$
	$=$	$\displaystyle 21{,}9309\, \mathrm m ^2$
	↓	$\overline{\mathrm{ET}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{ET}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{21{,}9309}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{21{,}9309}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$\approx ≈$	$\displaystyle 4{,}68 \, \mathrm m$

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$

Die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ ist Seite im Dreieck $\triangle \mathrm{ENF}$ .

Dieses Dreieck hat bei $\mathrm N$ einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck $\triangle \mathrm{ENF}$ den Satz des Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\left[\mathrm{EF}\right]$ .

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{NF}}=2{,}55\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{NF}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{MD}\right]$ .

$\overline{\mathrm{NF}}=2{,}55\,\mathrm m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EN}}$ musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EN}}$ :

Die Strecke $\lbrack \mathrm{EN}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{EMN}$ am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm M$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{EH}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{MN}}=2{,}50\,\mathrm m$ ist angegeben und du kannst sie einsetzen (denn die Strecke $\left[\mathrm{MN}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{GH}\right]$ ).

$\left[\mathrm{EM}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$ , und $\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

$\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{3{,}40}{2}\,\mathrm m\right)^2+\left(2{,}50\mathrm m\right)^2$
	$=$	$\displaystyle 9{,}14\, \mathrm m ^2$
	↓	Um von $\overline{\mathrm{EN}}^2$ zu $\overline{\mathrm{EN}}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.
$\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9{,}14}\, \mathrm m$
	↓	Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{EN}}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:
	$\approx ≈$	$\displaystyle 3{,}02\, \mathrm m$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit $\overline{\mathrm{EN}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{EF}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EN}}$ :

Du hast bislang erhalten:

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$

und

$\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m$ .

Setze nun $\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m$ in die obere Gleichung ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m \right)^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$
	$=$	$\displaystyle 15{,}6425 \, \mathrm m^2$
	↓	$\overline{\mathrm{EF}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{EF}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{15{,}6425}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{15{,}6425}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$\approx ≈$	$\displaystyle 3{,}96 \, \mathrm m$

Ergebnis

Die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ mit einer Streckenlänge von ca. $4{,}68\,\mathrm m$ ist größer als die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ .

Damit ist die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

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Wie viel $\mathrm m^2$ Dachfläche hat das Holzhäuschen?

Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.

Plan zur Lösung der Aufgabe:

Berechne die Fläche des Rechtecks $\mathrm {DSTF}$ und
multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.

Berechnung der Fläche der Dachhälfte $\mathrm {DSTF}$

$A_\mathrm {DSTF}=?$

Das Viereck $\mathrm {DSFT}$ ist ein Rechteck. Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

$A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite$

$A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm {ST}}=2{,}50 \, \mathrm m$ ist angegeben, aber $\overline{\mathrm {DS}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{DS}}$ :

Die Strecke $\lbrack \mathrm{DS}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{KSD}$ auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm K$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{DS}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2$

$\left[\mathrm{KS}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$ , und $\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben.

$\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3{,}40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2$

$\overline{\mathrm {DK}}$ kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken $\left[\mathrm{DM}\right]$ und $\left[\mathrm{KM}\right]$ :

$\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}$

$\overline{\mathrm{DM}}=2{,}55 \, \mathrm m$ ist angegeben.

$\overline{\mathrm{KM}}=2{,}03 \, \mathrm m$ kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke $\left[\mathrm{KM}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$ .

$\overline{\mathrm{DK}}=2{,}55\, \mathrm m - 2{,}03 \,\mathrm m = 0{,}52 \,\mathrm m$

Setze dies nun ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3{,}40\;\mathrm m}2\right)^2+ \left(0{,}52\, \mathrm m\right)^2$
	↓	Das kannst du jetzt ausrechnen.
	$=$	$\displaystyle 3{,}1604 \, \mathrm m^2$
	↓	$\overline{\mathrm{DS}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{DS}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3{,}1604}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{3{,}1604}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}78\;\mathrm m$

Diesen gerundeten Wert für $\overline{\mathrm{DS}}$ kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

$A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}$

Hier setzt du nun $\overline{\mathrm{DS}}\approx1{,}78\;\mathrm m$ und $\overline{\mathrm {ST}}=2{,}50 \, \mathrm m$ ein.

$A=2\cdot2{,}5\,\mathrm m\cdot 1{,}78\,\mathrm m=8{,}9\,\mathrm m^2$

Der Flächeninhalt des Daches beträgt $8{,}9 \ m^2$ .

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Testaufgaben

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit:

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Auswahl der richtigen Lösungen

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Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Berechnung der Länge der Strecke [ET]\left[\mathrm{ET}\right][ET]

Berechnung von EH‾\overline{\mathrm{EH}}EH:

Berechnung der Streckenlänge ET‾\overline {\mathrm{ET}}ET mithilfe des errechneten EH‾\overline {\mathrm{EH}}EH:

Berechnung der Länge der Strecke [EF]\left[\mathrm{EF}\right][EF]

Berechnung von EN‾\overline{\mathrm{EN}}EN:

Berechnung der Streckenlänge EF‾\overline {\mathrm{EF}}EF mithilfe des errechneten EN‾\overline {\mathrm{EN}}EN:

Ergebnis

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Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Berechnung der Fläche der Dachhälfte DSTF\mathrm {DSTF}DSTF

Berechnung von DS‾\overline{\mathrm{DS}}DS:

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Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$

Berechnung von $\overline{\mathrm{EH}}$ :

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{ET}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EH}}$ :

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$

Berechnung von $\overline{\mathrm{EN}}$ :

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{EF}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EN}}$ :

Berechnung der Fläche der Dachhälfte $\mathrm {DSTF}$

Berechnung von $\overline{\mathrm{DS}}$ :