Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

Vereinfache:

$\sqrt{500}+3\sqrt{98}-5\sqrt8-3\sqrt{45}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln

	$\displaystyle \sqrt{500}+3\sqrt{98}-5\sqrt{8}-3\sqrt{45}$
	↓ Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$	$\displaystyle \sqrt{5\cdot10^2}+3\sqrt{2\cdot7^2}-5\sqrt{2^2\cdot2}-3\sqrt{3^2\cdot5}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$	$\displaystyle 10\sqrt{5}+3\cdot7\sqrt{2}-5\cdot2\sqrt{2}-3\cdot3\sqrt{5}$
$=$	$\displaystyle 10\sqrt{5}+21\sqrt{2}-10\sqrt{2}-9\sqrt{5}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{5}+11\sqrt{2}$

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$\sqrt{64k^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln

	$\displaystyle \sqrt{64k^2}$
	↓ Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$	$\displaystyle \sqrt{8^2\cdot k^2}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln . (Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$	$\displaystyle 8\cdot\left\|k\right\|$

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$\left(\sqrt{\frac{x^5y}{5a}}:\sqrt{\frac{x^3y^3}{a^2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{25x}a}\;\;\;\;\;\;\;\;\left(x,\;y,\;z\;>\;0\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln

	$\displaystyle \left(\sqrt{\frac{x^5y}{5a}}:\sqrt{\frac{x^3y^3}{a^2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{25x}{a}}$
	↓ Fasse die Brüche in der Klammer zusammen.
$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{x^5y}\cdot\sqrt{a^2}}{\sqrt{5a}\cdot\sqrt{x^3y^3}}\cdot\frac{\sqrt{25x}}{\sqrt{a}}$
	↓ Fasse die Brüche zusammen.
$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{x^5y\cdot a^2\cdot25x}{5ax^3y^3a}}$
	↓ Kürze den Bruch .
$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{5x^3}{y^2}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel.
$=$	$\displaystyle \frac{x}{y}\sqrt{5x}$

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Vereinfache jeweils so weit wie möglich.

$\left(1-\sqrt3\right)\cdot\left(1+\sqrt3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \left(1-\sqrt{3}\right)\cdot\left(1+\sqrt{3}\right)$
	↓ Binomische Formel anwenden
$=$	$\displaystyle \left(1^2-\sqrt{3}^2\right)$
	↓ Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
$=$	$\displaystyle \left(1-3\right)$
$=$	$\displaystyle -2$

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$\left(\sqrt2-3\sqrt2\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\displaystyle \left(-2\sqrt{2}\right)^2$
$=$	$\displaystyle \left(-2\right)^2\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2$
	↓ Beide Teile getrennt quadrieren
$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$=$	$\displaystyle 8$

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$\sqrt3\cdot\left(\frac16\sqrt{12}-3\sqrt{\frac1{27}}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{27}}\right)$
	↓ $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{36}\cdot12}-\sqrt{9\cdot\frac{1}{27}}\right)$
	↓ In den Wurzeln multiplizieren
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot0$
$=$	$\displaystyle 0$

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$\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}$
	↓ Division in Bruchschreibweise umwandeln
$=$	$\displaystyle \frac{\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right)}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche einzeln schreiben
$=$	$\displaystyle \frac{2\sqrt{108}}{\sqrt{27}}-\frac{7\sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
	↓ Den 1. Bruch teilweise radizieren.
$=$	$\displaystyle \frac{4\sqrt{27}}{\sqrt{27}}-\frac{7\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche kürzen.
$=$	$\displaystyle 4-7\sqrt{2}$

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$\left(\sqrt2-\sqrt{18}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2$
	↓	2. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}+\sqrt{18}^2$
	$=$	$\displaystyle 2-12+18$
	$=$	$\displaystyle 8$

Alternative Lösung

	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2$
	↓ teilweise Wurzelziehen
$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2$
	↓ zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \left(-2\sqrt{2}\right)^2$
$=$	$\displaystyle (-2)^2\cdot(\sqrt{2})^2$
$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$=$	$\displaystyle 8$

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$\left(2\sqrt7-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \left(2\sqrt{7}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot7}$
$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{28}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren.
$=$	$\displaystyle \sqrt{28}-28-3+3\sqrt{28}$
	↓ Vereinfachen
$=$	$\displaystyle \sqrt{28}-31+3\sqrt{28}$
$=$	$\displaystyle 4\sqrt{28}-31$

Alternativ kannst du auch zunächst die Vereinfachung $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}$ benutzen.

Es ist oft gut, früh zu vereinfachen, weil du dann mit kleineren Zahlen rechnen kannst.

	$\displaystyle \left(8\sqrt{7}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Vereinfache wie oben angegeben
$=$	$\displaystyle \left(2\sqrt{7}-3\right)\left(1-2\sqrt{7}\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$\displaystyle 2\sqrt7-4\cdot 7-3+6\sqrt{7}$
	↓ Fasse zusammen
$=$	$\displaystyle 8\sqrt{7}-31$

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$3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle 3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt{8}$
	↓ Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
$=$	$\displaystyle 3\sqrt{7\cdot9}+6\sqrt{2\cdot36}-4\sqrt{7\cdot4}-17\sqrt{2\cdot4}$
	↓ Wurzel ziehen.
$=$	$\displaystyle 3\cdot3\sqrt{7}+6\cdot6\sqrt{2}-4\cdot2\sqrt{7}-34\sqrt{2}$
$=$	$\displaystyle 9\sqrt{7}+36\sqrt{2}-8\sqrt{7}-34\sqrt{2}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \sqrt{7}+2\sqrt{2}$

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Mache den Nenner rational. Vereinfache so weit wie möglich.

$\frac1{\sqrt2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen

Mit dem Nenner erweitern .

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^2}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$

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$\frac5{2\sqrt3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen

Mit $\sqrt3$ erweitern .

$\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{3}}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2\cdot3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{2\cdot3}\cdot\sqrt{3}$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\sqrt{3}$

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$\frac{25}{\sqrt{125}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen

$\displaystyle \frac{25}{\sqrt{125}}$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{\sqrt{25\cdot5}}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{25}{5\sqrt{5}}$
	↓	Mit $\sqrt5$ erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{25\cdot\sqrt{5}}{5\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{25\cdot\sqrt{5}}{5\cdot5}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{5}$

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$\frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt{x y}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen

Mit dem Nenner erweitern .

$\displaystyle \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\cdot\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}\cdot\sqrt{xy}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{xy}-\sqrt{y}\cdot\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}^2}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{x}^2\cdot\sqrt{y}-\sqrt{y}^2\cdot\sqrt{x}}{xy}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{xy}$
	↓	Bruch auseinanderziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x\sqrt{y}}{xy}-\frac{y\sqrt{x}}{xy}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{y}}{y}-\frac{\sqrt{x}}{x}$

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Mache den Nenner rational:

$\frac1{\sqrt2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln

	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt2$ .
$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$
$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$

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$\frac{\sqrt2-\sqrt{125}}{\sqrt5}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln

	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt5$ .
$=$	$\displaystyle \frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{125}\right)\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{10}-\sqrt{625}}{5}$
	↓ Ziehe die zweite Wurzel.
$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{10}-25}{5}$
$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}-5$

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