Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

Vereinfache:

$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$
↓
Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$ $\sqrt{5 \cdot 10^{2}} + 3 \sqrt{2 \cdot 7^{2}} - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 5}$
↓
Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$ $10 \sqrt{5} + 3 \cdot 7 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \sqrt{2} - 3 \cdot 3 \sqrt{5}$
$=$ $10 \sqrt{5} + 21 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 9 \sqrt{5}$
$=$ $\sqrt{5} + 11 \sqrt{2}$
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$\sqrt{64 k^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\sqrt{64 k^{2}}$
↓
Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$ $\sqrt{8^{2} \cdot k^{2}}$
↓
Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln .
(Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$ $8 \cdot | k |$
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$(\sqrt{\frac{x^{5} y}{5 a}} : \sqrt{\frac{x^{3} y^{3}}{a^{2}}}) \cdot \sqrt{\frac{25 x}{a}} (x, y, z > 0)$

2
Vereinfache jeweils so weit wie möglich.
1. $(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$
  ↓
  Binomische Formel anwenden
  $=$ $(1^{2} - {\sqrt{3}}^{2})$
  ↓
  Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
  $=$ $(1 - 3)$
  $=$ $- 2$
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2. ${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  ${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
  ↓
  In der Klammer subtrahieren
  $=$ ${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
  $=$ ${(- 2)}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2}$
  ↓
  Beide Teile getrennt quadrieren
  $=$ $4 \cdot 2$
  $=$ $8$
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3. $\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$
  ↓
  $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
  $=$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{36} \cdot 12} - \sqrt{9 \cdot \frac{1}{27}})$
  ↓
  In den Wurzeln multiplizieren
  $=$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}})$
  ↓
  In der Klammer subtrahieren
  $=$ $\sqrt{3} \cdot 0$
  $=$ $0$
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4. $(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$
  ↓
  Division in Bruchschreibweise umwandeln
  $=$ $\frac{(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54})}{\sqrt{27}}$
  ↓
  Brüche einzeln schreiben
  $=$ $\frac{2 \sqrt{108}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
  ↓
  Den 1. Bruch teilweise radizieren.
  $=$ $\frac{4 \sqrt{27}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
  ↓
  Brüche kürzen.
  $=$ $4 - 7 \sqrt{2}$
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5. ${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $=$ ${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
  ↓
  2. Binomische Formel anwenden
  $=$ ${\sqrt{2}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + {\sqrt{18}}^{2}$
  $=$ $2 - 12 + 18$
  $=$ $8$
  Alternative Lösung
  ${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
  ↓
  teilweise Wurzelziehen
  $=$ ${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
  ↓
  zusammenfassen
  $=$ ${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
  $=$ $(- 2)^{2} \cdot (\sqrt{2})^{2}$
  $=$ $4 \cdot 2$
  $=$ $8$
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6. $(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
  ↓
  Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2 \sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7}$
  $=$ $(\sqrt{28} - 3) (1 - \sqrt{28})$
  ↓
  Klammer ausmultiplizieren.
  $=$ $\sqrt{28} - 28 - 3 + 3 \sqrt{28}$
  ↓
  Vereinfachen
  $=$ $\sqrt{28} - 31 + 3 \sqrt{28}$
  $=$ $4 \sqrt{28} - 31$
  Alternativ kannst du auch zunächst die Vereinfachung $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2 \sqrt{7}$ benutzen.
  Es ist oft gut, früh zu vereinfachen, weil du dann mit kleineren Zahlen rechnen kannst.
  $(8 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
  ↓
  Vereinfache wie oben angegeben
  $=$ $(2 \sqrt{7} - 3) (1 - 2 \sqrt{7})$
  ↓
  Klammer ausmultiplizieren
  $=$ $2 \sqrt{7} - 4 \cdot 7 - 3 + 6 \sqrt{7}$
  ↓
  Fasse zusammen
  $=$ $8 \sqrt{7} - 31$
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7. $3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$
  ↓
  Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
  $=$ $3 \sqrt{7 \cdot 9} + 6 \sqrt{2 \cdot 36} - 4 \sqrt{7 \cdot 4} - 17 \sqrt{2 \cdot 4}$
  ↓
  Wurzel ziehen.
  $=$ $3 \cdot 3 \sqrt{7} + 6 \cdot 6 \sqrt{2} - 4 \cdot 2 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
  $=$ $9 \sqrt{7} + 36 \sqrt{2} - 8 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
  ↓
  Zusammenfassen
  $=$ $\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}$
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3
Mache den Nenner rational. Vereinfache so weit wie möglich.
1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit dem Nenner erweitern .
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $=$ $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$
  ↓
  Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
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2. $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit $\sqrt{3}$ erweitern .
  $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ $=$ $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$
  $=$ $\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{3}$
  ↓
  Fasse zusammen
  $=$ $\frac{5}{6} \sqrt{3}$
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3. $\frac{25}{\sqrt{125}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  $\frac{25}{\sqrt{125}}$ $=$ $\frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
  ↓
  Teilweise radizieren.
  $=$ $\frac{25}{5 \sqrt{5}}$
  ↓
  Mit $\sqrt{5}$ erweitern.
  $=$ $\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
  $=$ $\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$
  ↓
  Kürzen.
  $=$ $\sqrt{5}$
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4. $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit dem Nenner erweitern .
  $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$ $=$ $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$
  ↓
  Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
  $=$ $\frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y}$
  $=$ $\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y}$
  ↓
  Bruch auseinanderziehen.
  $=$ $\frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y}$
  ↓
  Kürzen.
  $=$ $\frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x}$
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4
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Mache den Nenner rational:
1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  ↓
  Erweitere den Bruch mit $\sqrt{2}$ .
  $=$ $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
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2. $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
  $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
  ↓
  Erweitere den Bruch mit $\sqrt{5}$ .
  $=$ $\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{125}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
  ↓
  Multipliziere.
  $=$ $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{625}}{5}$
  ↓
  Ziehe die zweite Wurzel.
  $=$ $\frac{\sqrt{10} - 25}{5}$
  $=$ $\frac{\sqrt{10}}{5} - 5$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$(\sqrt{\frac{x^{5} y}{5 a}} : \sqrt{\frac{x^{3} y^{3}}{a^{2}}}) \cdot \sqrt{\frac{25 x}{a}}$
	↓ Fasse die Brüche in der Klammer zusammen.
$=$	$\frac{\sqrt{x^{5} y} \cdot \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{5 a} \cdot \sqrt{x^{3} y^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 x}}{\sqrt{a}}$
	↓ Fasse die Brüche zusammen.
$=$	$\sqrt{\frac{x^{5} y \cdot a^{2} \cdot 25 x}{5 a x^{3} y^{3} a}}$
	↓ Kürze den Bruch .
$=$	$\sqrt{\frac{5 x^{3}}{y^{2}}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel.
$=$	$\frac{x}{y} \sqrt{5 x}$

	$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$
	↓ Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$	$\sqrt{5 \cdot 10^{2}} + 3 \sqrt{2 \cdot 7^{2}} - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 5}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$	$10 \sqrt{5} + 3 \cdot 7 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \sqrt{2} - 3 \cdot 3 \sqrt{5}$
$=$	$10 \sqrt{5} + 21 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 9 \sqrt{5}$
$=$	$\sqrt{5} + 11 \sqrt{2}$

	$\sqrt{64 k^{2}}$
	↓ Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$	$\sqrt{8^{2} \cdot k^{2}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln . (Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$	$8 \cdot \| k \|$

	$(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$
	↓ Binomische Formel anwenden
$=$	$(1^{2} - {\sqrt{3}}^{2})$
	↓ Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
$=$	$(1 - 3)$
$=$	$- 2$

	${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
$=$	${(- 2)}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2}$
	↓ Beide Teile getrennt quadrieren
$=$	$4 \cdot 2$
$=$	$8$

	$\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$
	↓ $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
$=$	$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{36} \cdot 12} - \sqrt{9 \cdot \frac{1}{27}})$
	↓ In den Wurzeln multiplizieren
$=$	$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}})$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\sqrt{3} \cdot 0$
$=$	$0$

	$(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$
	↓ Division in Bruchschreibweise umwandeln
$=$	$\frac{(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54})}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche einzeln schreiben
$=$	$\frac{2 \sqrt{108}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
	↓ Den 1. Bruch teilweise radizieren.
$=$	$\frac{4 \sqrt{27}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche kürzen.
$=$	$4 - 7 \sqrt{2}$

	$=$	${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
	↓	2. Binomische Formel anwenden
	$=$	${\sqrt{2}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + {\sqrt{18}}^{2}$
	$=$	$2 - 12 + 18$
	$=$	$8$

	${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
	↓ teilweise Wurzelziehen
$=$	${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
	↓ zusammenfassen
$=$	${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
$=$	$(- 2)^{2} \cdot (\sqrt{2})^{2}$
$=$	$4 \cdot 2$
$=$	$8$

	$(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2 \sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7}$
$=$	$(\sqrt{28} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Klammer ausmultiplizieren.
$=$	$\sqrt{28} - 28 - 3 + 3 \sqrt{28}$
	↓ Vereinfachen
$=$	$\sqrt{28} - 31 + 3 \sqrt{28}$
$=$	$4 \sqrt{28} - 31$

	$(8 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Vereinfache wie oben angegeben
$=$	$(2 \sqrt{7} - 3) (1 - 2 \sqrt{7})$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$2 \sqrt{7} - 4 \cdot 7 - 3 + 6 \sqrt{7}$
	↓ Fasse zusammen
$=$	$8 \sqrt{7} - 31$

$\frac{5}{2 \sqrt{3}}$	$=$	$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$
	$=$	$\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{3}$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\frac{5}{6} \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$	$=$	$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y}$
	$=$	$\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y}$
	↓	Bruch auseinanderziehen.
	$=$	$\frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

	$\frac{1}{\sqrt{2}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt{2}$ .
$=$	$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

	$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt{5}$ .
$=$	$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{125}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{625}}{5}$
	↓ Ziehe die zweite Wurzel.
$=$	$\frac{\sqrt{10} - 25}{5}$
$=$	$\frac{\sqrt{10}}{5} - 5$

	$3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$
	↓ Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
$=$	$3 \sqrt{7 \cdot 9} + 6 \sqrt{2 \cdot 36} - 4 \sqrt{7 \cdot 4} - 17 \sqrt{2 \cdot 4}$
	↓ Wurzel ziehen.
$=$	$3 \cdot 3 \sqrt{7} + 6 \cdot 6 \sqrt{2} - 4 \cdot 2 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
$=$	$9 \sqrt{7} + 36 \sqrt{2} - 8 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{25}{\sqrt{125}}$	$=$	$\frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$\frac{25}{5 \sqrt{5}}$
	↓	Mit $\sqrt{5}$ erweitern.
	$=$	$\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
	$=$	$\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\sqrt{5}$

Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

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