Aufgaben zur Achsenspiegelung

1
Spiegle den Punkt $P$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Koordinaten des Bildpunktes $P^{'}$ an.
Gib den Punkt $P^{'}$ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: $(- 2 | 0,5)$
1. $P (2 | 3)$
  $h : y = \frac{1}{4} x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
  Der Punkt $P (2 | 3)$ soll an der Geraden $h : y = \frac{1}{4} x$ gespiegelt werden:
  $P \mapsto^{h} P^{'}$
  Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\tan α = m_{h}$
  $\Leftrightarrow α = \tan^{- 1} (m_{h})$
  $\Leftrightarrow α = \tan^{- 1} (\frac{1}{4})$
  $\Leftrightarrow α = 14 °$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 28 ° & \sin 28 ° \\ \sin 28 ° & - \cos 28 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0,88 & 0,47 \\ 0,47 & - 0,88 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3,17 \\ - 1,7 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (3,17 | - 1,7)$
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2. $P (1 | - 3)$
  $h : y = - \frac{1}{4} x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
  Der Punkt $P (1 | - 3)$ soll an der Geraden $h : y = - \frac{1}{4} x$ gespiegelt werden:
  $P \mapsto^{h} P^{'}$
  Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\tan α = m_{h}$
  $\Leftrightarrow α = \tan^{- 1} (m_{h})$
  $\Leftrightarrow α = \tan^{- 1} (- \frac{1}{4})$
  $\Leftrightarrow α = 166 °$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 332 ° & \sin 332 ° \\ \sin 332 ° & - \cos 332 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0,88 & - 0,47 \\ - 0,47 & - 0,88 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,29 \\ 2,17 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (2,29 | 2,17)$
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3. $P (- 1 | - 2)$
  $h : y = \frac{2}{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
  Der Punkt $P (- 1 | - 2)$ soll an der Geraden $h : y = \frac{2}{3} x$ gespiegelt werden:
  $P \mapsto^{h} P^{'}$
  Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\tan α = m_{h}$
  $\Leftrightarrow α = \tan^{- 1} (m_{h})$
  $\Leftrightarrow α = \tan^{- 1} (\frac{2}{3})$
  $\Leftrightarrow α = 33,69 °$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 67,38 ° & \sin 67,38 ° \\ \sin 67,38 ° & - \cos 67,38 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0,38 & 0,92 \\ 0,92 & - 0,38 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2,22 \\ - 0,16 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (- 2,22 | - 0,16)$
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2
Spiegle die Gerade $g$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Gleichung der Bildgeraden $g^{'}$ an.
1. $g : y = - \frac{1}{4} x$
  $h : y = \frac{2}{3} x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
  Man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_{n} (x | - \frac{1}{4} x)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
  $P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
  Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\begin{array}{rcl} \tan α & = & m_{h} \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (m_{h}) \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ \Leftrightarrow α & \approx & 33,69 ° \end{array}$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{4} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 67,38 ° & \sin 67,38 ° \\ \sin 67,38 ° & - \cos 67,38 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{4} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0,38 & 0,92 \\ 0,92 & - 0,38 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{4} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,38 x - 0,23 x \\ 0,92 x + 0,095 x \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} 0,15 x \\ 1,02 x \end{array}) \end{array}$
  Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
  $P_{n}^{'} (0.15 x | 1,02 x)$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
  In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
  $\begin{array}{rcll} x^{'} = & 0,15 x & (1) \\ \land y^{'} = & 1,02 x & (2) \end{array}$
  Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
  $x = \frac{x^{'}}{0,15} (1^{'})$
  Setze nun Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
  $y^{'} = 1,02 \cdot \frac{x^{'}}{0,15} = 6,8 x^{'}$
  Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
  $g^{'} : y = 6,8 x$
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2. $g : y = - \frac{2}{5} x + 1$
  $h : y = \frac{2}{7} x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
  Man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_{n} (x | - \frac{2}{5} x + 1)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
  $P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
  Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\begin{array}{rcl} \tan α & = & m_{h} \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (m_{h}) \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (\frac{2}{7}) \\ \Leftrightarrow α & \approx & 15,95 ° \end{array}$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{2}{5} x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 31,9 ° & \sin 31,9 ° \\ \sin 31,9 ° & - \cos 31,9 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{2}{5} x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0,85 & 0,53 \\ 0,53 & - 0,85 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{2}{5} x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,85 x - 0,21 x + 0,53 \\ 0,53 x + 0,34 x - 0,85 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} 0,64 x + 0,53 \\ 0,87 x - 0,85 \end{array}) \end{array}$
  Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
  $P_{n}^{'} (0,64 x + 0,53 | 0,87 x - 0,85)_{}$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
  In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
  $\begin{array}{rcll} x^{'} = & 0,64 x + 0,53 & (1) \\ \land y^{'} = & 0,87 x - 0,85 & (2) \end{array}$
  Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
  $x = \frac{x^{'} - 0,53}{0,64} (1^{'})$
  Setze nun die Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
  $y^{'} = 0,87 \cdot \frac{x^{'} - 0,53}{0,64} - 0,85 = 1,36 x^{'} - 1,57$
  Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
  $g^{'} : y = 1,36 x - 1,57$
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3. $g : y = 2 x + 1$
  $h : y = \frac{1}{4} x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Gerade an einer Ursprungsgerade
  Die Gerade $g : y = 2 x + 1$ soll an der Geraden $h : y = \frac{1}{4} x$ gespiegelt werden:
  Das heißt, man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_{n} (x | 2 x + 1)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
  $P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
  Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\begin{array}{rcl} \tan α & = & m_{h} \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (m_{h}) \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (\frac{1}{4}) \\ \Leftrightarrow α & \approx & 14,04 ° \end{array}$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 2 x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 28,08 ° & \sin 28,08 ° \\ \sin 28,08 ° & - \cos 28,08 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 2 x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0,88 & 0,47 \\ 0,47 & - 0,88 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 2 x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,88 x + 0,94 x + 0,47 \\ 0,47 x - 1,76 x - 0,88 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} 1,82 x + 0,47 \\ - 1,29 x - 0,88 \end{array}) \end{array}$
  Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
  $P_{n}^{'} (1,82 x + 0,47 | - 1,29 x - 0,88)$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
  In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
  $\begin{array}{rcll} x^{'} = & 1,82 x + 0,47 & (1) \\ \land y^{'} = & - 1,29 x - 0,88 & (2) \end{array}$
  Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
  $x = \frac{x^{'} - 0,47}{1,82} (1^{'})$
  Setze nun die Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
  $y^{'} = - 1,29 \cdot \frac{x^{'} - 0,47}{1,82} - 0,88 = - 0,71 x^{'} - 0,55$
  Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
  $g^{'} : y = - 0,71 x - 0,55$
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3
Der Bildpunkt $P^{'}$ entsteht durch Spiegelung des Urpunktes $P$ an einer Ursprungsgeraden $h$ .Gib die Gleichung der Spiegelachse $h$ , die Abbildungsgleichung und die Koordinaten von $Q^{'}$ an.
1. $P (3 | - 4), P^{'} (- 3 | 4), Q (- 5 | 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
  Skizze:
  Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $α$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P^{'}$ ein und löst nach $α$ auf.
  Hier bietet sich die Koordinatenform an:
  $x^{'} = x \cos (2 α) + y \sin (2 α)$
  $y^{'} = x \sin (2 α) - y \cos (2 α)$
  $(I) : - 3 = 3 \cos (2 α) - 4 \sin (2 α)$
  $(I I) : 4 = 3 \sin (2 α) + 4 \cos (2 α)$
  Löse $(I)$ nach $\cos (2 α)$ auf.
  $\Rightarrow (I^{'}) : \cos (2 α) = - 1 + \frac{4}{3} \sin (2 α)$
  Setze $(I^{'})$ in $(I I)$ ein und löse nach $α$ auf.
  $4 = 3 \sin (2 α) - 4 + \frac{16}{3} \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow 8 = \frac{25}{3} \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow \frac{24}{25} = \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow 2 α = 73,74 °$
  $\Leftrightarrow α = 36,87 °$
  Du hast also den Winkel $α$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
  Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_{h}$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
  $m_{h} = \tan α$
  $\Rightarrow m_{h} = t a n (36,97 °) = \frac{3}{4}$
  $\Rightarrow h : y = \frac{3}{4} x$
  Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q^{'}$ angeben bzw. berechnen.
  Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
  $x^{'} = x \cos (73,74 °) + y \sin (73,74 °)$
  $y^{'} = x \sin (73,74 °) - y \cos (73,74 °)$
  $\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
  $x^{'} = - 5 \cos (73,74 °) + 1 \sin (73,74 °) = - 0,44$
  $y^{'} = - 5 \sin (73,74 °) - 1 \cos (73,74 °) = - 5$
  $\Rightarrow Q^{'} (- 0,44 | - 5)$
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2. $P (- 5 | 1), P^{'} (- 1 | 5), Q (4 | 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
  Skizze:
  Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $α$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P^{'}$ ein und löst nach $α$ auf.
  Hier bietet sich die Koordinatenform an:
  $x^{'} = x \cos (2 α) + y \sin (2 α)$
  $y^{'} = x \sin (2 α) - y \cos (2 α)$
  $(I) : - 3 = 3 \cos (2 α) - 4 \sin (2 α)$
  $(I I) : 4 = 3 \sin (2 α) + 4 \cos (2 α)$
  Löse $(I^{'})$ nach $\cos (2 α)$ auf.
  $\Rightarrow (I^{'}) : \cos (2 α) = - 1 + \frac{4}{3} \sin (2 α)$
  Setze $(I^{'})$ in $(I I)$ ein und löse nach $α$ auf.
  $(I^{'})$ in $(I I)$ :
  $4 = 3 \sin (2 α) - 4 + \frac{16}{3} \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow 8 = \frac{25}{3} \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow \frac{24}{25} = \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow 2 α = 270 °$
  $\Leftrightarrow α = 135 °$
  Du hast also den Winkel $α$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
  Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_{h}$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
  $m_{h} = \tan α$
  $\Rightarrow m_{h} = t a n (135 °) = - 1$
  Die Spiegelachse ist also die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadraten: $\Rightarrow h : y = - x$
  Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q^{'}$ angeben bzw. berechnen.
  Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
  $x^{'} = x \cos (270 °) + y \sin (270 °)$
  $y^{'} = x \sin (270 °) - y \cos (270 °)$
  $\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
  $x^{'} = 4 \cos (270 °) + 3 \sin (270 °) = - 3$
  $y^{'} = 4 \sin (270 °) - 3 \cos (270 °) = - 4$
  $\Rightarrow Q^{'} (- 3 | - 4)$
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3. $P (- 4 | 0,6), P^{'} (- 2,9 | 2,5), Q (- 1 | - 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
  Skizze:
  Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $α$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P^{'}$ ein und löst nach $α$ auf.
  Hier bietet sich die Koordinatenform an:
  $x^{'} = x \cos (2 α) + y \sin (2 α)$
  $y^{'} = x \sin (2 α) - y \cos (2 α)$
  $(I) : - 2,9 = - 4 \cos (2 α) + 0,6 \sin (2 α)$
  $(I I) : 2,5 = - 4 \sin (2 α) - 0,6 \cos (2 α)$
  Löse $(I)$ nach $\cos (2 α)$ auf.
  $\Rightarrow (I^{'}) : \cos (2 α) = 0,725 + 0,15 \sin (2 α)$
  Setze $(I^{'})$ in $(I I)$ ein und löse nach $α$ auf.
  $(I^{'})$ in $(I I)$ :
  $2,5 = - 4 \sin (2 α) - 0,435 - \frac{9}{100} \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow 2,935 = - 4,09 \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow - 0,72 = \sin (2 α)$
  $\Leftrightarrow 2 α = 314 °$
  $\Leftrightarrow α = 157 °$
  Du hast also den Winkel $α$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
  Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_{h}$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
  $m_{h} = \tan α$
  $\Rightarrow m_{h} = t a n (157 °) = - 0,43$
  $\Rightarrow h : y = - 0.43 x$
  Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q^{'}$ angeben bzw. berechnen.
  Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
  $x^{'} = x \cos (314 °) + y \sin (314 °)$
  $y^{'} = x \sin (314 °) - y \cos (314 °)$
  $\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
  $x^{'} = - 1 \cos (314 °) - 2 \sin (314 °) = 0,74$
  $y^{'} = - 1 \sin (314 °) + 2 \cos (314 °) = 2,09$
  $\Rightarrow Q^{'} (0,74 | 2,09)$
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4
Spiegle den Punkt $P$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Koordinaten des Bildpunktes $P^{'}$ an.
1. $P (3 | 4)$ , $h (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Die Steigung der Geraden ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30 °$ ist.
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\begin{array}{rcl} x^{'} & = & \cos (2 \cdot α) \cdot x + \sin (2 \cdot α) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot α) \cdot x - \cos (2 \cdot α) \cdot y \end{array}$
  Setze den Winkel $α = 30 °$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{array}{lllll} x^{'} & = & c o s (2 \cdot 30 °) \cdot x + s i n (2 \cdot 30 °) \cdot y & = & \frac{1}{2} \cdot x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y \\ y^{'} & = & s i n (2 \cdot 30 °) \cdot x - c o s (2 \cdot 30 °) \cdot y & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{1}{2} \cdot y \end{array}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (3 | 4)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{array}{c} x^{'} & = & \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 & = & \frac{3}{2} + 2 \cdot \sqrt{3} \\ y^{'} & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 & = & \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - 2 \end{array}$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{3}{2} + 2 \cdot \sqrt{3} | \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - 2)$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot α) & \sin (2 \cdot α) \\ \sin (2 \cdot α) & - \cos (2 \cdot α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den Winkel $α = 30 °$ in die Matrix ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (60 °) & \sin (60 °) \\ \sin (60 °) & - \cos (60 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (3 | 4)$ in den Vektor ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{3}{2} + 2 \cdot \sqrt{3} \\ \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - 2 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{3}{2} + 2 \cdot \sqrt{3} | \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - 2)$
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2. $P (2 | - 5)$ , $h : y = (2 - \sqrt{3}) x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Die Steigung der Geraden ist $2 - \sqrt{3}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (2 - \sqrt{3}) = 15 °$ ist.
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot α) \cdot x + \sin (2 \cdot α) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot α) \cdot x - \cos (2 \cdot α) \cdot y \end{matrix}$
  Setze den Winkel $α = 15 °$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot 15 °) \cdot x + \sin (2 \cdot 15 °) \cdot y & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot 15 °) \cdot x - \cos (2 \cdot 15 °) \cdot y & = & \frac{1}{2} \cdot x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y \end{matrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (2 | - 5)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot (- 5) & = & \sqrt{3} - \frac{5}{2} \\ y^{'} & = & \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- 5) & = & 1 + \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2} \end{matrix}$
  $\Rightarrow P^{'} (\sqrt{3} - \frac{5}{2} | 1 + \frac{5 \sqrt{3}}{2})$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot α) & \sin (2 \cdot α) \\ \sin (2 \cdot α) & - \cos (2 \cdot α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den Winkel $α = 15 °$ in die Matrix ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (30 °) & \sin (30 °) \\ \sin (30 °) & - \cos (30 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (2 | - 5)$ in den Vektor ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} \sqrt{3} - \frac{5}{2} \\ 1 + \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (\sqrt{3} - \frac{5}{2} | 1 + \frac{5 \sqrt{3}}{2})$
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3. $P (\frac{1}{2} | 3)$ , $h : y = - x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Die Steigung der Geraden ist $- 1$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (- 1) = - 45 °$ ist.
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot α) \cdot x + \sin (2 \cdot α) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot α) \cdot x - \cos (2 \cdot α) \cdot y \end{matrix}$
  Setze den Winkel $α = - 45 °$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot - 45 °) \cdot x + \sin (2 \cdot - 45 °) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot - 45 °) \cdot x - \cos (2 \cdot - 45 °) \cdot y \end{matrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (\frac{1}{2} | 3)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & - 3 \\ y^{'} & = & - \frac{1}{2} \end{matrix}$
  $\Rightarrow P^{'} (- 3 | - 0,5)$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot α) & \sin (2 \cdot α) \\ \sin (2 \cdot α) & - \cos (2 \cdot α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den Winkel $α = - 45 °$ in die Matrix ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (- 90 °) & \sin (- 90 °) \\ \sin (- 90 °) & - \cos (- 90 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (\frac{1}{2} | 3)$ in den Vektor ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 3 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - \frac{1}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (- 3 | - 0,5)$
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4. $P (\sqrt{3} | 1)$ , $h : y = - \sqrt{3} \cdot x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Die Steigung der Geraden ist $- \sqrt{3}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (- \sqrt{3}) = 120 °$ ist.
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot α) \cdot x + \sin (2 \cdot α) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot α) \cdot x - \cos (2 \cdot α) \cdot y \end{matrix}$
  Setze den Winkel $α = 120 °$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot 120 °) \cdot x + \sin (2 \cdot 120 °) \cdot y & = & (- \frac{1}{2}) \cdot x + (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot 120 °) \cdot x - \cos (2 \cdot 120 °) \cdot y & = & (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot x - (- \frac{1}{2}) \cdot y \end{matrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (\sqrt{3} | 1)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & (- \frac{1}{2}) \cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 & = & - \sqrt{3} \\ y^{'} & = & (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 & = & - 1 \end{matrix}$
  $\Rightarrow P^{'} (- \sqrt{3} | - 1)$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot α) & \sin (2 \cdot α) \\ \sin (2 \cdot α) & - \cos (2 \cdot α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den Winkel $α = 120 °$ in die Matrix ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (240 °) & \sin (240 °) \\ \sin (240 °) & - \cos (240 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A (\sqrt{3} | 1)$ in den Vektor ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 1 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \sqrt{3} \\ - 1 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (- \sqrt{3} | - 1)$
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Spiegele das Dreieck gegeben durch die Punkte $A (1 | 4)$ , $B (0 | 2)$ , $C (4 | 2)$ an der Gerade $g (x) = x$ und berechne die Koordinaten der Bildpunkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
	↓	Setze den WInkel $α = 45 °$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot 45 °) & \sin (2 \cdot 45 °) \\ \sin (2 \cdot 45 °) & - \cos (2 \cdot 45 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
	↓	Berechne die Werte des Sinus und Cosinus.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$

Aufgaben zur Achsenspiegelung

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Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

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Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

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Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

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Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

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Variante 1: Berechnung in Koordinatenform:

Variante 2: Berechnung in Matrixform: