Aufgaben zur Achsenspiegelung
- 1
Spiegle den Punkt P an der Ursprungsgeraden h und gib die Koordinaten des Bildpunktes P′ an.
Gib den Punkt P′ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: (−2∣0,5)
P(2∣3)
h:y=41x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
Der Punkt P(2∣3) soll an der Geraden h:y=41x gespiegelt werden:
Um den Punkt P an der Geraden h zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α, den die Gerade h mit der x-Achse einschließt.
tanα=mh
⇔α=tan−1(mh)
⇔α=tan−1(41)
⇔α=14°
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(x′y′)=(cos2αsin2αsin2α−cos2α)⋅(xPyP)=(cos28°sin28°sin28°−cos28°)⋅(23)=(0,880,470,47−0,88)⋅(23)=(3,17−1,7)
⇒P′(3,17∣−1,7)
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(1∣−3)
h:y=−41x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
Der Punkt P(1∣−3) soll an der Geraden h:y=−41x gespiegelt werden:
Um den Punkt P an der Geraden h zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α, den die Gerade h mit der x-Achse einschließt.
tanα=mh
⇔α=tan−1(mh)
⇔α=tan−1(−41)
⇔α=166°
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(x′y′)=(cos2αsin2αsin2α−cos2α)⋅(xPyP)=(cos332°sin332°sin332°−cos332°)⋅(1−3)=(0,88−0,47−0,47−0,88)⋅(1−3)=(2,292,17)
⇒P′(2,29∣2,17)
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−1∣−2)
h:y=32
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
Der Punkt P(−1∣−2) soll an der Geraden h:y=32x gespiegelt werden:
Um den Punkt P an der Geraden h zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α, den die Gerade h mit der x-Achse einschließt.
tanα=mh
⇔α=tan−1(mh)
⇔α=tan−1(32)
⇔α=33,69°
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(x′y′)=(cos2αsin2αsin2α−cos2α)⋅(xPyP)=(cos67,38°sin67,38°sin67,38°−cos67,38°)⋅(−1−2)=(0,380,920,92−0,38)⋅(−1−2)=(−2,22−0,16)
⇒P′(−2,22∣−0,16)
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Spiegle die Gerade g an der Ursprungsgeraden h und gib die Gleichung der Bildgeraden g′ an.
g:y=−41x
h:y=32x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
Man wählt sich einen beliebigen Punkt Pn(x∣−41x) auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden h auf den Bildpunkt Pn′.
Pn′ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden g′.
Um den Punkt Pn an der Geraden h zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α, den die Gerade h mit der x-Achse einschließt.
tanα⇔α⇔α⇔α===≈mhtan−1(mh)tan−1(32)33,69°
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
Die gespiegelten Punkte Pn′ haben also folgende Koordinaten:
Als letztes muss noch der Trägergraph g′ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
Dazu löst man die Gleichung (1) nach x auf.
Setze nun Gleichung (1′) in (2) ein:
Die gespiegelte Gerade g′ hat demnach folgende Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:y=−52x+1
h:y=72x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
Man wählt sich einen beliebigen Punkt Pn(x∣−52x+1) auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden h auf den Bildpunkt Pn′.
Pn′ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden g′.
Um den Punkt Pn an der Geraden h zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α, den die Gerade h mit der x-Achse einschließt.
tanα⇔α⇔α⇔α===≈mhtan−1(mh)tan−1(72)15,95°
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
Die gespiegelten Punkte Pn′ haben also folgende Koordinaten:
Als letztes muss noch der Trägergraph g′ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
Dazu löst man die Gleichung (1) nach x auf.
Setze nun die Gleichung (1′) in (2) ein:
Die gespiegelte Gerade g′ hat demnach folgende Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:y=2x+1
h:y=41x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Gerade an einer Ursprungsgerade
Die Gerade g:y=2x+1 soll an der Geraden h:y=41x gespiegelt werden:
Das heißt, man wählt sich einen beliebigen Punkt Pn(x∣2x+1) auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden h auf den Bildpunkt Pn′.
Pn′ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden g′.
Um den Punkt Pn an der Geraden h zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α, den die Gerade h mit der x-Achse einschließt.
tanα⇔α⇔α⇔α===≈mhtan−1(mh)tan−1(41)14,04°
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
Die gespiegelten Punkte Pn′ haben also folgende Koordinaten:
Pn′(1,82x+0,47∣−1,29x−0,88)
Als letztes muss noch der Trägergraph g′ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
Dazu löst man die Gleichung (1) nach x auf.
Setze nun die Gleichung (1′) in (2) ein:
Die gespiegelte Gerade g′ hat demnach folgende Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 3
Der Bildpunkt P′ entsteht durch Spiegelung des Urpunktes P an einer Ursprungsgeraden h.Gib die Gleichung der Spiegelachse h, die Abbildungsgleichung und die Koordinaten von Q′ an.
P(3∣−4),P′(−3∣4),Q(−5∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkelα der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt P und P′ ein und löst nach α auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
x′=xcos(2α)+ysin(2α)
y′=xsin(2α)−ycos(2α)
(I):−3=3cos(2α)−4sin(2α)
(II): 4=3sin(2α)+4cos(2α)
⇒(I′):cos(2α)=−1+34sin(2α)
Setze (I′) in (II) ein und löse nach α auf.
4=3sin(2α)−4+316sin(2α)
⇔8=325sin(2α)
⇔2524=sin(2α)
⇔2α=73,74°
⇔α=36,87°
Du hast also den Winkel α bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung mh der Geraden h schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
mh=tanα
⇒mh=tan(36,97°)=43
⇒h:y=43x
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt Q′ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
x′=xcos(73,74°)+ysin(73,74°)
y′=xsin(73,74°)−ycos(73,74°)
⇒ Spiegelung von Q
x′=−5cos(73,74°)+1sin(73,74°)=−0,44
y′=−5sin(73,74°)−1cos(73,74°)=−5
⇒Q′(−0,44∣−5)
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−5∣1),P′(−1∣5),Q(4∣3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkelα der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt P und P′ ein und löst nach α auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
x′=xcos(2α)+ysin(2α)
y′=xsin(2α)−ycos(2α)
(I):−3=3cos(2α)−4sin(2α)
(II): 4=3sin(2α)+4cos(2α)
⇒(I′):cos(2α)=−1+34sin(2α)
Setze (I′) in (II) ein und löse nach α auf.
(I′)in (II):
4=3sin(2α)−4+316sin(2α)
⇔8=325sin(2α)
⇔2524=sin(2α)
⇔2α=270°
⇔α=135°
Du hast also den Winkel α bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung mh der Geraden h schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
mh=tanα
⇒mh=tan(135°)=−1
Die Spiegelachse ist also die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadraten:⇒h:y=−x
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt Q′ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
x′=xcos(270°)+ysin(270°)
y′=xsin(270°)−ycos(270°)
⇒ Spiegelung von Q
x′=4cos(270°)+3sin(270°)=−3
y′=4sin(270°)−3cos(270°)=−4
⇒Q′(−3∣−4)
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−4∣0,6),P′(−2,9∣2,5),Q(−1∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkelα der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt P und P′ ein und löst nach α auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
x′=xcos(2α)+ysin(2α)
y′=xsin(2α)−ycos(2α)
(I):−2,9=−4cos(2α)+0,6sin(2α)
(II): 2,5=−4sin(2α)−0,6cos(2α)
⇒(I′):cos(2α)=0,725+0,15sin(2α)
Setze (I′) in (II) ein und löse nach α auf.
(I′)in (II):
2,5=−4sin(2α)−0,435−1009sin(2α)
⇔2,935=−4,09sin(2α)
⇔−0,72=sin(2α)
⇔2α=314°
⇔α=157°
Du hast also den Winkel α bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung mh der Geraden h schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
mh=tanα
⇒mh=tan(157°)=−0,43
⇒h:y=−0.43x
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt Q′ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
x′=xcos(314°)+ysin(314°)
y′=xsin(314°)−ycos(314°)
⇒ Spiegelung von Q
x′=−1cos(314°)−2sin(314°)=0,74
y′=−1sin(314°)+2cos(314°)=2,09
⇒Q′(0,74∣2,09)
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Spiegle den Punkt P an der Ursprungsgeraden h und gib die Koordinaten des Bildpunktes P′ an.
P(3∣4), h(x)=31⋅x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist 31. Das bedeutet, dass der Winkel α=tan−1(31)=30° ist.
Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
x′y′==cos(2⋅α)⋅x+sin(2⋅α)⋅ysin(2⋅α)⋅x−cos(2⋅α)⋅y
Setze den Winkel α=30° in das Gleichungssystem ein.
x′y′==cos(2⋅30°)⋅x+sin(2⋅30°)⋅ysin(2⋅30°)⋅x−cos(2⋅30°)⋅y==21⋅x+23⋅y23⋅x−21⋅y
Setze die Koordinaten des Punktes P(3∣4) in das Gleichungssystem ein.
x′y′==21⋅3+23⋅423⋅3−21⋅4==23+2⋅323⋅3−2
⇒P′(23+2⋅3∣23⋅3−2)
Alternative 2: Lösung in Matrixform:
(x′y′)=(cos(2⋅α)sin(2⋅α)sin(2⋅α)−cos(2⋅α))⋅(xy)
Setze den Winkel α=30° in die Matrix ein.
(x′y′)=(cos(60°)sin(60°)sin(60°)−cos(60°))⋅(xy)=(212323−21)⋅(xy)
Setze die Koordinaten des Punktes P(3∣4) in den Vektor ein.
(x′y′)=(212323−21)⋅(34)
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
(x′y′)=(23+2⋅323⋅3−2)
⇒P′(23+2⋅3∣23⋅3−2)
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(2∣−5), h:y=(2−3)x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist 2−3. Das bedeutet, dass der Winkel α=tan−1(2−3)=15° ist.
Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
x′y′==cos(2⋅α)⋅x+sin(2⋅α)⋅ysin(2⋅α)⋅x−cos(2⋅α)⋅y
Setze den Winkel α=15° in das Gleichungssystem ein.
x′y′==cos(2⋅15°)⋅x+sin(2⋅15°)⋅ysin(2⋅15°)⋅x−cos(2⋅15°)⋅y==23⋅x+21⋅y21⋅x−23⋅y
Setze die Koordinaten des Punktes P(2∣−5) in das Gleichungssystem ein.
x′y′==23⋅2+21⋅(−5)21⋅2−23⋅(−5)==3−251+25⋅3
⇒P′(3−25∣1+253)
Alternative 2: Lösung in Matrixform:
(x′y′)=(cos(2⋅α)sin(2⋅α)sin(2⋅α)−cos(2⋅α))⋅(xy)
Setze den Winkel α=15° in die Matrix ein.
(x′y′)=(cos(30°)sin(30°)sin(30°)−cos(30°))⋅(xy)=(232121−23)⋅(xy)
Setze die Koordinaten des Punktes P(2∣−5) in den Vektor ein.
(x′y′)=(232121−23)⋅(2−5)
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
(x′y′)=(3−251+25⋅3)
⇒P′(3−25∣1+253)
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(21∣3), h:y=−x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist −1. Das bedeutet, dass der Winkel α=tan−1(−1)=−45° ist.
Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
x′y′==cos(2⋅α)⋅x+sin(2⋅α)⋅ysin(2⋅α)⋅x−cos(2⋅α)⋅y
Setze den Winkel α=−45° in das Gleichungssystem ein.
x′y′==cos(2⋅−45°)⋅x+sin(2⋅−45°)⋅ysin(2⋅−45°)⋅x−cos(2⋅−45°)⋅y
Setze die Koordinaten des Punktes P(21∣3) in das Gleichungssystem ein.
x′y′==−3−21
⇒P′(−3∣−0,5)
Alternative 2: Lösung in Matrixform:
(x′y′)=(cos(2⋅α)sin(2⋅α)sin(2⋅α)−cos(2⋅α))⋅(xy)
Setze den Winkel α=−45° in die Matrix ein.
(x′y′)=(cos(−90°)sin(−90°)sin(−90°)−cos(−90°))⋅(xy)=(0−1−10)⋅(xy)
Setze die Koordinaten des Punktes P(21∣3) in den Vektor ein.
(x′y′)=(0−1−10)⋅(213)
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
(x′y′)=(−3−21)
⇒P′(−3∣−0,5)
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(3∣1), h:y=−3⋅x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist −3. Das bedeutet, dass der Winkel α=tan−1(−3)=120° ist.
Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
x′y′==cos(2⋅α)⋅x+sin(2⋅α)⋅ysin(2⋅α)⋅x−cos(2⋅α)⋅y
Setze den Winkel α=120° in das Gleichungssystem ein.
x′y′==cos(2⋅120°)⋅x+sin(2⋅120°)⋅ysin(2⋅120°)⋅x−cos(2⋅120°)⋅y==(−21)⋅x+(−23)⋅y(−23)⋅x−(−21)⋅y
Setze die Koordinaten des Punktes P(3∣1) in das Gleichungssystem ein.
x′y′==(−21)⋅3−23⋅1(−23)⋅3+21⋅1==−3−1
⇒P′(−3∣−1)
Alternative 2: Lösung in Matrixform:
(x′y′)=(cos(2⋅α)sin(2⋅α)sin(2⋅α)−cos(2⋅α))⋅(xy)
Setze den Winkel α=120° in die Matrix ein.
(x′y′)=(cos(240°)sin(240°)sin(240°)−cos(240°))⋅(xy)=(−21−23−2321)⋅(xy)
Setze die Koordinaten des Punktes A(3∣1) in den Vektor ein.
(x′y′)=(−21−23−2321)⋅(31)
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
(x′y′)=(−21⋅3−23−23⋅3−21)=(−3−1)
⇒P′(−3∣−1)
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 5
Spiegele das Dreieck gegeben durch die Punkte A(1∣4), B(0∣2), C(4∣2) an der Gerade g(x)=x und berechne die Koordinaten der Bildpunkte A′,B′,C′.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist 1. Das bedeutet, dass der Winkel α=tan−1(1)=45° ist.
Variante 1: Berechnung in Koordinatenform:
Die Koordinaten der gespiegelten Punkte erhältst du mit:
x′=cos2α⋅x+sin2α⋅y
y′=sin2α⋅x−cos2α⋅y
Setze den Winkel nun α=45° ein.
x′