Beispiel: Flächenberechnung

Beispiel: Flächenberechnung in Abhängigkeit von x

Die Eckpunkte eines Dreiecks müssen nicht immer fest vorgegeben sein. Es kann auch einen Punkt geben, der sich auf einer Funktion bewegt, also von einer Variablen xx abhängt.

In diesem Fall kann man allgemein den Flächeninhalt in Abhängigkeit von xx berechnen.
Gegeben:
Ein Dreieck △ABC\triangle ABC mit A=(−2∣−1)A = (-2|-1), B=(x∣x2)B = (x|x^2) und C=(0∣3)C = (0|3).
Gesucht:
Der Flächeninhalt F(x)F(x) des Dreiecks △ABC\triangle ABC.
Animation des Dreiecks
In der folgenden Animation siehst du, wie sich der Flächeinhalt des Dreiecks verändert für verschiedene xx-Werte des Punkts BB.
GeoGebra
Zuerst berechnest du u⃗=AB→=(x+2x2+1)\vec u = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x+2\\x^2+1 \end{pmatrix} und v⃗=AC→=(24)\vec v = \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}.
Mit der Formel folgt:
F(x)=12⋅∣u⃗v⃗∣=12⋅∣x+22x2+14∣=12⋅(((x+2)⋅4)−(2⋅(x2+1)))=12⋅(4x+8−2x2−2)=−x2+2x+3\displaystyle \begin{array}{rcl}F(x) &=& \frac12 \cdot |\vec u \vec v| \\\\&=& \frac12 \cdot \begin{vmatrix} x+2 & 2 \\ x^2+1 & 4 \end{vmatrix} \\\\&=& \frac12 \cdot (((x+2) \cdot 4) - (2 \cdot (x^2+1))) \\\\&=& \frac12 \cdot (4x+8-2x^2-2) \\\\&=& -x^2+2x+3\end{array}
⇒F(x)=−x2+2x+3\Rightarrow F(x)= -x^2+2x+3
Applet: Flächenberechnung in Abhängigkeit von x 
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Stevomaticxx 2020-08-18 18:38:15+0200
Na endlich kapier ich das ! Gute Arbeit ! Man könnte vielleicht die einzelnen Schritte noch untereinander schreiben zur Übersichtlichkeit.
kathongi 2020-08-19 09:25:38+0200
Hallo Stevomaticxx, danke für das Feedback! Da werden sich die entsprechenden Autoren sicher freuen :)
Ich hab die Kursseite mal noch ein wenig verändert. Jetzt sollte es übersichtlicher sein. Schaus dir gern nochmal an.
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