Aufgaben zum Umwandeln von Brüchen und Dezimalzahlen

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}1 :6 = 0{,}1666\ldots\\\hphantom{-}10\\\underline{-\hphantom{1}6}\\\hphantom{-6}40\\\hphantom{6}\underline{-36}\\\hphantom{-36}40\\\hphantom{36}\underline{-36}\\\hphantom{-000}40\\\hphantom{000}\underline{-36}\\\hphantom{-0000}40\\\hphantom{-00000}\vdots\end{array}$

Da der Rest der schriftlichen Division immer 4 ist, ist der Dezimalbruch periodisch und du kannst ihn als $0{,}1\overline{6}$ schreiben.

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}1 :9 = 0{,}111\ldots\\\hphantom{-}10\\\underline{-\hphantom{1}9}\\\hphantom{-6}10\\\hphantom{6}\underline{-\hphantom{1}9}\\\hphantom{-36}10\\\hphantom{36}\underline{-\hphantom{1}9}\\\hphantom{-000}10\\\hphantom{-0000}\vdots\end{array}$

Da der Rest der schriftlichen Division immer 1 ist, ist der Dezimalbruch periodisch und du kannst ihn als $0{,}\overline{1}$ schreiben.

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}13 :11 = 1{,}18\ldots\\\underline{-11}\\\hphantom{-1}20\\\hphantom{1}\underline{-11}\\\hphantom{-00}90\\\hphantom{60}\underline{-88}\\\hphantom{-000}20\\\hphantom{-0000}\vdots\end{array}$

Da der Rest im dritten Schritt (2) schon im ersten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 18.

$\frac{13}{11}=1{,}\overline{18}$

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}5 :7 = 0{,}714285\ldots\\\hphantom{-}50\\\underline{-49}\\\hphantom{-6}10\\\hphantom{6}\underline{-\hphantom{1}7}\\\hphantom{-36}30\\\hphantom{36}\underline{-28}\\\hphantom{-000}20\\\hphantom{000}\underline{-14}\\\hphantom{-0000}60\\\hphantom{0000}\underline{-56}\\\hphantom{-00000}40\\\hphantom{00000}\underline{-35}\\\hphantom{-000000}50\\\hphantom{-0000000}\vdots\end{array}$

Da der Rest im sechsten Schritt (5) schon im ersten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 714285.

$\frac{5}{7}=0{,}\overline{714285}$

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}17 :12 = 1{,}416\ldots\\\underline{-12}\\\hphantom{-1}50\\\hphantom{1}\underline{-48}\\\hphantom{-00}20\\\hphantom{60}\underline{-12}\\\hphantom{-000}80\\\hphantom{600}\underline{-72}\\\hphantom{-0000}80\\\hphantom{-00000}\vdots\end{array}$

Da der Rest im vierten Schritt (8) schon im dritten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 6.

$\frac{17}{12}=1{,}41\overline{6}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;1 :2 = 0{,}5 \\\;\;\;10\\\underline{-\,10}\\\;\;\;\;\;0\end{array}$

$\Rightarrow\frac12=0{,}5$

Zusammen mit den 5 Einern ergibt sich:

$5\frac12=5{,}5$

$7,\overline{63}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;16:256= 0{,}0625 \\\;\;\;1600\\\underline{-\,1536}\\\;\;\;\;\;\;\;640\\\underline{-\;\;\;\;\,512}\\\;\;\;\;\;\;\;1280\\\underline{-\,\quad1280}\\\qquad\quad 0\end{array}$

Mit 4 Einern ergibt sich $4+0{,}0625=4{,}0625$.

$\frac2{10}$ sind 2 Zehntel, also $0{,}2$.

Alternativer Weg:

Der Bruchstrich bedeutet Division.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}2 :10 = 0{,}2\\\hphantom{-}20\\\underline{-20}\\\hphantom{-2}0\end{array}$

$\Rightarrow\;\frac2{10}=0{,}2$

Erweitere den Bruch mit 25, damit der Nenner 100 wird.

Alternativer Weg:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}5 :4 = 1{,}25 \\\underline{-4}\\\hphantom{-}10\\\underline{-\hphantom{1}8}\\\hphantom{-1}20\\\hphantom{1}\underline{-20}\\\hphantom{-10}0\end{array}$

$\Rightarrow\;\frac54=1{,}25$

Erweitere den Bruch mit 4, damit der Nenner 100 wird.

Alternativer Weg:

Führe die schriftliche Division durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}12 :25= 0{,}48 \\\hphantom{-}120\\\underline{-100}\\\hphantom{-1}200\\\hphantom{1}\underline{-200}\\\hphantom{-100}0\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}12 :25= 0{,}48 \\\hphantom{-}120\\\underline{-100}\\\hphantom{-1}200\\\hphantom{1}\underline{-200}\\\hphantom{-100}0\end{array}$$\Rightarrow\;\frac{12}{25}=0{,}48$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}2 :3= 0{,}6666… \\\hphantom{-}20\\\underline{-18}\\\hphantom{-1}20\\\hphantom{1}\underline{-18}\\\hphantom{-11}20\\\hphantom{11}\underline{-18}\\\hphantom{-111}20\\\hphantom{111}\underline{-18}\\\hphantom{-1111}20\\\hphantom{-11111}\vdots\end{array}$

$\Rightarrow\;\frac23=0{,}6666…=0,\overline6$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;8 :9= 0{,}8888… \\\;\;\;80\\\underline{-\,72}\\\;\;\;\;\;80\\\;\;\underline{-\,72}\\\;\;\;\;\;\;\;80\\\;\;\;\underline{-\,72}\\\;\;\;\;\;\;\;\;80\\\;\;\;\;\;\underline{-\,72}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;80\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\end{array}$

$\Rightarrow\;\frac89=0{,}888888…=0,\overline8$

Man hätte beim schriftlichen dividiert auch schon bei der zweiten 8 aufhören können, wenn man merkt, dass man sich wiederholt.A

Das Ergebnis solltest du dir merken. Tatsächlich ergibt jede Zahl zwischen 1 und 8 geteilt durch 9 eine periodische Zahl mit derselben Ziffer. z.B. $\frac{4}{9}=0{,}4444\dots=0,\overline{4}$

Um herauszubekommen was $\frac{1}{16}$ in Dezimalschreibweise ist gibt es zwei gute Wege.

Wir können schriftlich dividieren, das klappt immer:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&1{,}0000 : 16 = 0 , 0625 \\-&\underline{00} \\& \hphantom{}10 \\-& \underline{\hphantom{1}{0}} \\&\hphantom{}100\\-&\underline{\hphantom{1}96}\\&\hphantom{- }40\\-&\underline{\hphantom{11}32}\\&\hphantom{- 11}80\\&\hphantom{}-\underline{\hphantom{1}80}\\&\hphantom{- 111}0\\&\hphantom{1111111}...\end{array}$

Damit können wir zusammenfassen:

$4\frac{16}{256}=4+\frac{1}{16}= 4+ 0{,}0625= 4{,}0625$

Ein fortgeschrittener Weg ist $\frac{1}{16}$ als Dezimalzahl zu schreiben, ist den Bruch $\frac{1}{16}$ so zu erweitern, dass im Nenner 10000 rauskommt.

$\frac{1}{16}=\frac{1\cdot 5}{16 \cdot 5}=\frac{5}{80}=\frac{5\cdot 5}{80 \cdot 5}=\frac{25}{400}=\frac{25\cdot 5}{400 \cdot 5}=\frac{125}{2000}=\frac{125\cdot 5}{2000 \cdot 5}=\frac{625}{10000}=0{,}0625$

Das geht schnell. Man sieht vermutlich aber nicht sofort, dass man 16 so schön erweitern kann. Um zu sehen, ob erweitern Sinn macht, kannst du eine Primzahlzerlegung des Nenners machen, ($16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$) wenn nur 2er und 5er auftreten kannst du so erweitern, dass beide gleich oft vorkommen.

Die schriftliche Division sieht so aus:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&15{,}0000 : 32 = 0 , 46875 \\-&\underline{00} \\& \hphantom{}150 \\-& \underline{\hphantom{}{128}} \\&\hphantom{1}220\\-&\underline{\hphantom{1}192}\\&\hphantom{- }280\\-&\hphantom{1}\underline{\hphantom{1 }256}\\&\hphantom{-1}240\\-&\hphantom{11}\underline{\hphantom{11}224}\\&\hphantom{- 111}160\\-&\hphantom{111}\underline{\hphantom{11}160}\\&\hphantom{- 11111}0\end{array}$

Die schriftliche Division sieht so aus:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&749{,}0000 : 1111 = 0 , 6741 ... \\-&\underline{0} \\& \hphantom{}7490 \\-& \underline{\hphantom{}{6666}} \\&\hphantom{1}8240\\-& \underline{\hphantom{1}7777}\\&\hphantom{- }4630\\-&\hphantom{1}\underline{\hphantom{1}4444}\\&\hphantom{- 1}1860\\-&\hphantom{111}\underline{\hphantom{}1111}\\&\hphantom{- 11}7490\\&\hphantom{1111111}...\end{array}$

Wichtig ist hier das man merkt das man merkt das man etwas rechnet, was man schon mal gerechnet hat und aufhört zu rechen.

Im letzten Schritt wird der Bruch wie eine "Geteiltaufgabe" berechnet. Beim Dividieren durch $1000$ kann das Ergebnis durch Verschieben des Kommas berechnet werden.

Alternative Lösung

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom-2{,}00\\\underline{-0{,}23}\\\hphantom-1{,}77\end{array}$

Alternative Lösung

$=1{,}8-0{,}125-0{,}08$

$=1{,}595$

Alternative Lösung