Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

Löse folgende Ungleichungen

raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
$\frac{1}{2} - 3 x > x + 2,75$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen
$\frac{1}{2} - 3 x$ $>$ $x + 2,75$
↓
Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$0,5 - 3 x$ $>$ $x + 2,75$ $+ 3 x$
$0,5$ $>$ $4 x + 2,75$ $- 2,75$
$- 2,25$ $>$ $4 x$ $: 4$
↓
Vertausche die linke und rechte Seite
$x$ $<$ $- 0,5625$
Antwort: $x \in] - \infty; - 0,5625 [$
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$\frac{5}{8} \cdot (x - 0,4) - 2 < x - 10$

$\frac{3}{7} \cdot (2 - 3 x) - 1 \geq \frac{1}{2} \cdot (3 x - 5)$

raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
$\frac{12 - 5 x}{7} \leq 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen
$\frac{12 - 5 x}{7}$ $\leq$ $3$ $\cdot 7$
$12 - 5 x$ $\leq$ $21$ $- 12$
$- 5 x$ $\leq$ $9$ $: (- 5)$
↓
Beim Dividieren durch eine negative Zahl ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens
$x$ $\geq$ $- \frac{9}{5}$
Antwort: $x \in [- \frac{9}{5}; \infty [$
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$\frac{8 - 3 x}{5} \geq 5 - 2 x$

$\frac{x - 0,3}{5} \leq \frac{7 - x}{2}$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2 - x}{4} > \frac{0,4 \cdot (x - 1)}{15}$

Löse folgende Ungleichungen

$- 3 x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$x^{2} - 3 x + 10 \leq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
$x^{2} - 3 x + 10 = 0$
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung $x^{2} - 3 x + 10 = 0$ . Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 3$ und $q = 10$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 3$ und $q = 10$ ein.
$=$ $- \frac{(- 3)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 10}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 10}$
↓
Erweitere $10$ mit $4$ .
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{40}{4}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{31}{4}}$
Der Radikand ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Der Graph der Funktion $f (x) = x^{2} - 3 x + 10$ hat keine Nullstellen. Für alle $x$ ist $f (x) \neq 0$ .
Es muss nun geprüft werden, ob der Graph komplett oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Setze einen beliebigen x-Wert in die Funktionsgleichung ein, z.B. $x = 0$ :
$f (0) = 0^{2} - 3 \cdot 0 + 10 = 10 > 0$
$\Rightarrow$ Die Funktion $f$ verläuft also komplett oberhalb der $x$ -Achse.
Es gibt keinen $x$ -Wert, der die Ungleichung $x^{2} - 3 x + 10 \leq 0$ erfüllt.
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist somit die leere Menge:
$𝕃 = {}$

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$2 x^{2} + 98 > 28 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite
$2 x^{2} + 98$ $>$ $28 x$ $- 28 x$
↓
Alle Terme auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - 28 x + 98$ $>$ $0$
Du hast die quadratische Ungleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 > 0$ erhalten.
2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
$2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$
3. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$ .
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
$a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$ ein.
$=$ $\frac{- (- 28) \pm \sqrt{(- 28)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 98}}{2 \cdot 2}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{28 \pm \sqrt{784 - 784}}{4}$
$=$ $\frac{28 \pm 0}{4}$
$=$ $7$
Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle $x = 7$ erhalten.
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f (x) = 2 x^{2} - 28 x + 98$
Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f (x)$ :
Ergebnis: In beiden Intervallen ist $f (x)$ jeweils positiv.
Lediglich für $x = 7$ ist $f (7) = 0$ .
Für $x \in ℝ \ {7}$ ist also die Ungleichung erfüllt.
4. Angabe der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.
Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:
$𝕃 =] - \infty; 7 [\cup] 7; \infty [$
Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:
$𝕃 = ℝ \ {7}$
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3
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Für welche positiven x-Werte gilt: $\frac{2 x + 1}{x} < 2,001$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$\frac{2 x + 1}{x}$ $<$ $2,001$ $\cdot x$
↓
Da x positiv ist wird das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht
$2 x + 1$ $<$ $2,001 \cdot x$ $- 2 x$
$1$ $<$ $0,001 x$ $: 0,001$
$1000$ $<$ $x$
Die Ungleichung gilt also für alle Werte die größer als 1000 sind.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{5}{8} \cdot (x - 0,4) - 2$	$<$	$x - 10$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$0,625 \cdot (x - 0,4) - 2$	$<$	$x - 10$	$+ 2$
$0,625 \cdot (x - 0,4)$	$<$	$x - 8$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$0,625 x - 0,25$	$<$	$x - 8$	$+ 8$
$0,625 x + 7,75$	$<$	$x$	$- 0,625$
$7,75$	$<$	$0,375 x$	$: 0,375$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$x$	$>$	$20,67$

$\frac{3}{7} \cdot (2 - 3 x) - 1$	$\geq$	$\frac{1}{2} \cdot (3 x - 5)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\frac{6}{7} - \frac{9}{7} x - 1$	$\geq$	$\frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$
	↓	Umwandeln von 1 in einen Scheinbruch
$\frac{6}{7} - \frac{9}{7} x - \frac{7}{7}$	$\geq$	$\frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$
	↓	Linke Seite zusammenfassen
$- \frac{1}{7} - \frac{9}{7} x$	$\geq$	$\frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$	$\cdot HN 14$
	↓	Mit dem Hauptnenner $14$ multiplizieren.
$- 2 - 18 x$	$\geq$	$21 x - 35$	$+ 35$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$33 - 18 x$	$\geq$	$21 x$	$+ 18 x$
$33$	$\geq$	$39 x$	$: 39$
$\frac{33}{39}$	$\geq$	$x$
	↓	Kürzen des Bruches auf der linken Seite.
$\frac{11}{13}$	$\geq$	$x$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$x$	$\leq$	$\frac{11}{13}$

$\frac{8 - 3 x}{5}$	$\geq$	$5 - 2 x$	$\cdot 5$
	↓	Weil auf der rechten Seite der Ungleichung ein Term steht, muss eine Klammer gesetzt werden
$8 - 3 x$	$\geq$	$5 \cdot (5 - 2 x)$
	↓	Klammer auflösen
$8 - 3 x$	$\geq$	$25 - 10 x$	$+ 10 x$
$8 + 7 x$	$\geq$	$25$	$- 8$
$7 x$	$\geq$	$17$	$: 7$
$x$	$\geq$	$\frac{17}{7}$

$\frac{x - 0,3}{5}$	$\leq$	$\frac{7 - x}{2}$	$\cdot 2$
	↓	Weil im Zähler der linken Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$\frac{2 \cdot (x - 0,3)}{5}$	$\leq$	$7 - x$	$\cdot 5$
	↓	Weil im Zähler der rechten Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$2 \cdot (x - 0,3)$	$\leq$	$5 \cdot (7 - x)$
	↓	Klammern auflösen
$2 x - 0,6$	$\leq$	$35 - 5 x$	$+ 5 x$
$7 x - 0,6$	$\leq$	$35$	$+ 0,6$
$7 x$	$\leq$	$35,6$	$: 7$
	↓	Runde den Quotienten auf der rechten Seite auf zwei Nachkommastellen
$x$	$\leq$	$5,09$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2 - x}{4}$	$>$	$\frac{0,4 \cdot (x - 1)}{15}$
	↓	Multipliziere die Brüche der linken Seite
$\frac{3 \cdot (2 - x)}{20}$	$>$	$\frac{0,4 \cdot (x - 1)}{15}$	$\cdot 15$
$\frac{45 \cdot (2 - x)}{20}$	$>$	$0,4 \cdot (x - 1)$
	↓	Bruch der linken Seite kürzen
$\frac{9 \cdot (2 - x)}{4}$	$>$	$0,4 \cdot (x - 1)$	$\cdot 4$
$9 \cdot (2 - x)$	$>$	$1,6 \cdot (x - 1)$
	↓	Klammern auflösen
$18 - 9 x$	$>$	$1,6 x - 1,6$	$+ 1,6$
$19,6 - 9 x$	$>$	$1,6 x$	$+ 9 x$
$19,6$	$>$	$10,6 x$	$: 10,6$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$x$	$<$	$1,849$

$\frac{1}{2} - 3 x$	$>$	$x + 2,75$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$0,5 - 3 x$	$>$	$x + 2,75$	$+ 3 x$
$0,5$	$>$	$4 x + 2,75$	$- 2,75$
$- 2,25$	$>$	$4 x$	$: 4$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$x$	$<$	$- 0,5625$

$\frac{12 - 5 x}{7}$	$\leq$	$3$	$\cdot 7$
$12 - 5 x$	$\leq$	$21$	$- 12$
$- 5 x$	$\leq$	$9$	$: (- 5)$
	↓	Beim Dividieren durch eine negative Zahl ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens
$x$	$\geq$	$- \frac{9}{5}$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = - 3$ , $b = - 4$ und $ c = 5$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 5}}{2 \cdot (- 3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{(- 6)}$
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{76}}{(- 6)}$
	$=$	$\frac{4 \pm 2 \cdot \sqrt{19}}{(- 6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$- \frac{2 \pm \sqrt{19}}{3}$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 3$ und $q = 10$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 3)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 10}$
	↓	Erweitere $10$ mit $4$ .
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{40}{4}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{31}{4}}$

$2 x^{2} + 98$	$>$	$28 x$	$- 28 x$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - 28 x + 98$	$>$	$0$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 28) \pm \sqrt{(- 28)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 98}}{2 \cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{28 \pm \sqrt{784 - 784}}{4}$
	$=$	$\frac{28 \pm 0}{4}$
	$=$	$7$

$\frac{2 x + 1}{x}$	$<$	$2,001$	$\cdot x$
	↓	Da x positiv ist wird das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht
$2 x + 1$	$<$	$2,001 \cdot x$	$- 2 x$
$1$	$<$	$0,001 x$	$: 0,001$
$1000$	$<$	$x$

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1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

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1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

3. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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