Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

Löse folgende Ungleichungen

$\frac12-3x>x+2{,}75$

$\frac58\cdot\left(x-0{,}4\right)-2<x-10$

$\frac37\cdot\left(2-3x\right)-1\geq\frac12\cdot\left(3x-5\right)$

$\frac{12-5x}7\leq3$

$\frac{8-3x}5\geq5-2x$

$\frac{x-0{,}3}5\leq\frac{7-x}2$

$\frac35\cdot\frac{2-x}4>\frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$

Löse folgende Ungleichungen

$-3x^2-4x+5\geq0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$-3x^2-4x+5=0$

2. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $-3x^2-4x+5=0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=-3$ , $b=-4$ und $c=5$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=-3$ , $b=-4$ und $c=5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot(-3) \cdot5}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16+60}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{76}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm2 \cdot\sqrt{19}}{(-6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$

Du hast als Lösung $x_{1 , 2}=-\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$ erhalten.

$x_1=-\dfrac{2+ \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3}\approx-2{,}1$

und $x_2 =-\dfrac{2- \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\approx0{,}8$

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f(x)=-3x^2-4x+5$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f(x)$ :

Ergebnis: Im mittleren Intervall $I_2$ ist $f(x)>0$ .

In der Ungleichung steht ein " $\geq$ ". In diesem Fall gehören auch die beiden Nullstellen zum Lösungsintervall.

4. Angabe der Lösungsmenge

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \mathbb{L}=\left[\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3};\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\right]

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$x^2-3x+10\leq0$

$2x^2+98>28x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

$\displaystyle 2x^2+98$	$>$	$\displaystyle 28x$	$\displaystyle -28x$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 2x^2-28x+98$	$>$	$\displaystyle 0$

Du hast die quadratische Ungleichung $2x^2-28x+98>0$ erhalten.

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$2x^2-28x+98=0$

3. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $2x^2-28x+98=0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=2$ , $b=-28$ und $c=98$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=2$ , $b=-28$ und $c=98$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-28)\pm \sqrt{(-28)^{2}-4\cdot2 \cdot98}}{2\cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm \sqrt{784-784}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm 0}{4}$
	$=$	$\displaystyle 7$

Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle $x=7$ erhalten.

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f(x)=2x^2-28x+98$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f(x)$ :

Ergebnis: In beiden Intervallen ist $f(x)$ jeweils positiv.

Lediglich für $x=7$ ist $f(7)=0$ .

Für $x\in \mathbb R\backslash\{7\}$ ist also die Ungleichung erfüllt.

4. Angabe der Lösungsmenge

Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \mathbb{L}=\left[\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3};\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\right]

Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:

\displaystyle \mathbb{L}=\left[\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3};\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\right]

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Für welche positiven x-Werte gilt: $\dfrac{2x+1}{x}<2{,}001$ ?

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$\displaystyle \frac{1}{2}-3x$	$>$	$\displaystyle x+2{,}75$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$\displaystyle 0{,}5-3x$	$>$	$\displaystyle x+2{,}75$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 0{,}5$	$>$	$\displaystyle 4x+2{,}75$	$\displaystyle -2{,}75$
$\displaystyle -2{,}25$	$>$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle -0{,}5625$

$\displaystyle \frac{5}{8}\cdot\left(x-0{,}4\right)-2$	$<$	$\displaystyle x-10$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$\displaystyle 0{,}625\cdot\left(x-0{,}4\right)-2$	$<$	$\displaystyle x-10$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 0{,}625\cdot\left(x-0{,}4\right)$	$<$	$\displaystyle x-8$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$\displaystyle 0{,}625x-0{,}25$	$<$	$\displaystyle x-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 0{,}625x+7{,}75$	$<$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -0{,}625$
$\displaystyle 7{,}75$	$<$	$\displaystyle 0{,}375x$	$\displaystyle :0{,}375$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 20{,}67$

$\displaystyle \dfrac{3}{7}\cdot\left(2-3x\right)-1$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\left(3x-5\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle \dfrac{6}{7}-\dfrac{9}{7}x-1$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$
	↓	Umwandeln von 1 in einen Scheinbruch
$\displaystyle \dfrac{6}{7}-\dfrac{9}{7}x-\dfrac{7}{7}$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$
	↓	Linke Seite zusammenfassen
$\displaystyle -\dfrac{1}{7}-\dfrac{9}{7}x$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$	$\displaystyle \cdot\text{HN}\; 14$
	↓	Mit dem Hauptnenner $14$ multiplizieren.
$\displaystyle -2-18x$	$≥$	$\displaystyle 21x-35$	$\displaystyle +35$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 33-18x$	$≥$	$\displaystyle 21x$	$\displaystyle +18x$
$\displaystyle 33$	$≥$	$\displaystyle 39x$	$\displaystyle :39$
$\displaystyle \dfrac{33}{39}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Kürzen des Bruches auf der linken Seite.
$\displaystyle \dfrac{11}{13}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle \dfrac{11}{13}$

$\displaystyle \frac{12-5x}{7}$	$≤$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot7$
$\displaystyle 12-5x$	$≤$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle -5x$	$≤$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :\left(-5\right)$
	↓	Beim Dividieren durch eine negative Zahl ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\frac{9}{5}$

$\displaystyle \frac{8-3x}{5}$	$≥$	$\displaystyle 5-2x$	$\displaystyle \cdot5$
	↓	Weil auf der rechten Seite der Ungleichung ein Term steht, muss eine Klammer gesetzt werden
$\displaystyle 8-3x$	$≥$	$\displaystyle 5\cdot\left(5-2x\right)$
	↓	Klammer auflösen
$\displaystyle 8-3x$	$≥$	$\displaystyle 25-10x$	$\displaystyle +10x$
$\displaystyle 8+7x$	$≥$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle 7x$	$≥$	$\displaystyle 17$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \frac{17}{7}$

$\displaystyle \frac{x-0{,}3}{5}$	$≤$	$\displaystyle \frac{7-x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	Weil im Zähler der linken Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$\displaystyle \frac{2\cdot\left(x-0{,}3\right)}{5}$	$≤$	$\displaystyle 7-x$	$\displaystyle \cdot5$
	↓	Weil im Zähler der rechten Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$\displaystyle 2\cdot\left(x-0{,}3\right)$	$≤$	$\displaystyle 5\cdot\left(7-x\right)$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 2x-0{,}6$	$≤$	$\displaystyle 35-5x$	$\displaystyle +5x$
$\displaystyle 7x-0{,}6$	$≤$	$\displaystyle 35$	$\displaystyle +0{,}6$
$\displaystyle 7x$	$≤$	$\displaystyle 35{,}6$	$\displaystyle :7$
	↓	Runde den Quotienten auf der rechten Seite auf zwei Nachkommastellen
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle 5{,}09$

$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2-x}{4}$	$>$	$\displaystyle \frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$
	↓	Multipliziere die Brüche der linken Seite
$\displaystyle \frac{3\cdot\left(2-x\right)}{20}$	$>$	$\displaystyle \frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$	$\displaystyle \cdot15$
$\displaystyle \frac{45\cdot\left(2-x\right)}{20}$	$>$	$\displaystyle 0{,}4\cdot\left(x-1\right)$
	↓	Bruch der linken Seite kürzen
$\displaystyle \frac{9\cdot\left(2-x\right)}{4}$	$>$	$\displaystyle 0{,}4\cdot\left(x-1\right)$	$\displaystyle \cdot4$
$\displaystyle 9\cdot\left(2-x\right)$	$>$	$\displaystyle 1{,}6\cdot\left(x-1\right)$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 18-9x$	$>$	$\displaystyle 1{,}6x-1{,}6$	$\displaystyle +1{,}6$
$\displaystyle 19{,}6-9x$	$>$	$\displaystyle 1{,}6x$	$\displaystyle +9x$
$\displaystyle 19{,}6$	$>$	$\displaystyle 10{,}6x$	$\displaystyle :10{,}6$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle 1{,}849$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-3$ und $q=10$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-3)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-10}$
	↓	Erweitere $10$ mit $4$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{40}{4}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{31}{4}}$

$\displaystyle \dfrac{2x+1}x$	$<$	$\displaystyle 2{,}001$	$\displaystyle \cdot x$
	↓	Da x positiv ist wird das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht
$\displaystyle 2x + 1$	$<$	$\displaystyle 2{,}001\cdot x$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 1$	$<$	$\displaystyle 0{,}001x$	$\displaystyle : 0{,}001$
$\displaystyle 1000$	$<$	$\displaystyle x$