Aufgaben zur Vierfeldertafel

Ein Betreiber eines Eisenbahnunternehmens hat eine Umfrage unter seinen Fahrgästen durchgeführt, die ergab, dass 10% der Fahrgäste in der ersten Klasse reisen. Außerdem wurde in der Umfrage abgefragt, wie zufrieden die Fahrgäste mit dem Service des Unternehmens sind. Hoch erfreut stellt das Unternehmen fest, dass $\frac56$ der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden sind. Alarmierend dagegen sind die Zufridenheitszahlen der ersten Klasse: 70% der Fahrgäste erster Klasse sind unzufrieden. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$E$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1. Klasse-Fahrer."

$Z$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden."

Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.
Als dem Geschäftsführer die Zufriedenheitszahlen der 1. Klasse mitgeteilt werden, ist dieser schockiert. Resigniert erklärt er, dass das Unternehmen es nicht geschafft habe, den Zufriedenheitswert von 77% der Fahrgäste aus dem Vorjahr zu verbessern. Hat er recht?
Tatsächlich stellt er fest, dass im Vorjahr 85% der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden waren und immerhin 45% der Fahrgäste erster Klasse. Damit haben sich beide Werte in diesem Jahr verschlechtert. Stelle diese Werte in Bezug zu deiner Antwort auf Teilaufgabe 2. Erstelle dazu auch eine Vierfeldertafel für das Vorjahr.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Teilaufgabe 1

Gegeben sind die Ereignisse:

$E$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1. Klasse-Fahrer"

$Z$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden"

Gegeben sind die folgenden Werte:

$P(E)=10\%=0{,}1$

$P_{\overline E}(Z)=\frac{5}{6}$

$P_{E}(\overline Z)=70\%=0{,}7$

Damit kannst du mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit folgende Werte errechnen:

$P(E \cap \overline Z) = P(E)\cdot P_{E}(\overline Z)=0{,}1\cdot 0{,}7 = 0{,}07$

$P(\overline E)=1-P(E)=1-0{,}1=0{,}9$

$P(\overline E \cap Z) = P(\overline E)\cdot P_{\overline E}(Z)=0{,}9\cdot \frac56 = 0{,}75$

Schreibe diese Werte in eine Vierfeldertafel.

	$E$	$\overline E$
$Z$		$0{,}75$
$\overline Z$	$0{,}07$
	$0{,}1$	$0{,}9$	$1$

Nun kannst du weitere Werte berechnen:

$P(E \cap Z) = P(E)-P(E \cap \overline Z)=0{,}1-0{,}07=0{,}03$

$P(\overline E \cap \overline Z)=P(\overline E)-P(\overline E \cap Z)=0{,}9-0{,}75=0{,}15$

Füge diese in die Vierfeldertafel ein:

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}03$	$0{,}75$
$\overline Z$	$0{,}07$	$0{,}15$
	$0{,}1$	$0{,}9$	$1$

Damit kannst du die restlichen Werte berechnen:

$P(Z)=(Z \cap E) + P(Z \cap \overline E)=0{,}03 + 0{,}75 = 0{,}78$

$P(\overline Z)=P(\overline Z)+P(\overline Z \cap \overline E) = 0{,}07+0{,}15 = 0{,}22$

Damit ergibt sich die vollständige ausgefüllte Vierfeldertafel als:

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}03$	$0{,}75$	$0{,}78$
$\overline Z$	$0{,}07$	$0{,}15$	$0{,}22$
	$0{,}1$	$0{,}9$	$1$

Teilaufgabe 2

Wie aus der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 1 ersichtlich wird gilt $P(Z)=0{,}78=78\%$ . Damit hat sich der Zufriedenheitswert gegenüber dem Vorjahr um 1 Prozentpunkt verbessert. Der Geschäftsführer hat somit Unrecht.

Teilaufgabe 3

Obwohl sich die Zufriedenheitswerte der Fahrgäste erster Klasse von 45% im Vorjahr auf 30% in diesem Jahr und der Fahrgäste zweiter Klasse von 85% im Vorjahr auf $\frac56\approx83{,}3\%$ in diesem Jahr verschlechtert haben, sind sie bei Betrachtung aller Fahrgäste von 77% auf 78% gestiegen. Wie ist dies möglich? Stelle dazu eine Vierfeldertafel für das Vorjahr auf.

Gegeben sind folgende Werte:

$P(Z)=77\%=0{,}77$

$P_{\overline E}(Z)=85\%=0{,}85$

$P_{E}(Z)=45\%=0{,}45$

Bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrgast erster Klasse fährt, mit $x\;(P(E)=x)$ . Dann gilt nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

$P(E \cap Z)=P(E) \cdot P_{E}(Z)=0{,}45 \cdot x$

$P(\overline E \cap Z)=P(\overline E) \cdot P_{\overline E}(Z)=0{,}85 \cdot (1-x)$

Desweiteren gilt die Gleichung:

$\displaystyle P(Z)$	$=$	$\displaystyle P(E \cap Z) + P(\overline E \cap Z)$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle 0{,}77$	$=$	$\displaystyle 0{,}45 \cdot x + 0{,}85 \cdot (1-x)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
	$=$	$\displaystyle 0{,}45 \cdot x -0{,}85 \cdot x + 0{,}85$	$\displaystyle +0{,}4\cdot x$
$\displaystyle 0{,}77+0{,}4\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0{,}85$	$\displaystyle -0{,}77$
$\displaystyle 0{,}4\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0{,}08$	$\displaystyle :0{,}4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

Damit kannst du die Werte in die Vierfeldertafel einsetzen, indem du in die obigen Formeln das $x$ einsetzt.

$P(E \cap Z)=P(E) \cdot P_{E}(Z)=0{,}45 \cdot 0{,}2=0{,}09$

$P(\overline E \cap Z)=P(\overline E) \cdot P_{\overline E}(Z)=0{,}85 \cdot (1-0{,}2)=0{,}68$

Setze nun in die Vierfeldertafel ein.

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}09$	$0{,}68$	$0{,}77$
$\overline Z$
	$0{,}2$	$0{,}8$	$1$

Nun kann man die restlichen Werte leicht bestimmen:

$P(E \cap \overline Z)= P(E) - P(E \cap Z) = 0{,}2 - 0{,}09 = 0{,}11$

$P(\overline E \cap \overline Z)= P(\overline E) - P(\overline E \cap Z) = 0{,}8 - 0{,}68 = 0{,}12$

$P(\overline Z) = 1 - P(Z) = 1 - 0{,}77 = 0{,}23$

Erstelle nun die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel für das Vorjahr:

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}09$	$0{,}68$	$0{,}77$
$\overline Z$	$0{,}11$	$0{,}12$	$0{,}23$
	$0{,}2$	$0{,}8$	$1$

Der Umstand, dass sich trotz der Verschlechterung der Zufriedenheitswerte bei den Fahrgästen erster und zweiter Klasse insgesamt eine Verbesserung der Zufriedenheitswerte ergibt, ist also der Tatsache geschuldet, dass sich das Fahrgastverhalten dahingehend geändert hat, dass deutlich mehr Fahrgäste zweiter Klasse fahren als im Vorjahr und dort die Zufriedenheitswerte im Vergleich zur ersten Klasse nur sehr leicht gesunken sind.

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In der Serlo-Schule benutzen 81% der Schüler Serlo, um sich auf ihre Mathearbeiten vorzubereiten. 42% der Schüler sind zwischen 15 und 18 Jahre alt und nutzen Serlo. Sie versuchen im Zuge ihrer Tutorenarbeit Schüler im Alter von 12-14 Jahren dazu zu überreden Serlo auch zu nutzen. 11% der Schüler nutzen Serlo nicht und sind zwischen 12 und 14 Jahre alt. Diese Gruppe gilt es zu überzeugen.

Erstelle hierzu eine Vierfeldertafel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Um deine Vierfeldertafel beschriften zu können, musst du zuerst festlegen, wie du alle Ereignisse benennst:

Unter den Schülern gibt es Serlo-Nutzer und Nicht-Serlo-Nutzer. Für diese Lösung ist

$S$ = Serlo-Nutzer

$\overline{S}$ = Kein Serlo-Nutzer

Außerdem unterscheiden sich die Schüler durch ihr Alter: Für diese Lösung ist:

$J\$ = Der Schüler ist jung, also zwischen zwölf und vierzehn Jahre alt

$\overline{J}$ = Der Schüler ist älter, also zwischen fünfzehn und achtzehn Jahre alt.

Als Erstes kannst du die VierfelderTafel beschriften:

	$S$	$\overline S$	Gesamt
$J$
$\overline J$
Gesamt			100%

Nun kannst du Schritt für Schritt die Vierfeldertafel befüllen.

1.Schritt: Lies alle Informationen aus dem Text heraus:

Information aus dem Text	Wahrscheinlichkeit
Unter allen Schülern sind 81% Serlo-Nutzer	$P(S) = 81\%$
42 % sind gleichzeitig (!) zwischen 15 und 18 Jahre alt und nutzen Serlo.	$P \bigl( (\overline{J}) \cap S \bigr) = 42\%$
11% sind gleichzeitig (!) zwischen 12 und 14 Jahre alt und nutzen Serlo nicht.	$P \bigl( (\overline{J}) \cap S \bigr) = 11\%$

2.Schritt: Trage alle bisher bekannten Informationen in die Vierfeldertafel ein.

	$S$	$\overline S$	Gesamt
$J$		11%
$\overline J$	42%
Gesamt	81%		100%

3. Schritt: Füge alle errechenbare Werte ein.

$P(\overline S) = 100\% - P(S)= 100\% - 81\% = 19\%$

$P(J \cap S)= 81\% - 42\% = 39\%$

	$S$	$\overline S$	Gesamt
$J$	39%	11%
$\overline J$	42%
Gesamt	81%	19%	100%

4. Schritt: Füge alle Werte ein, die du jetzt neu berechnen kannst.

$P(J) = 39\% + 11\% = 50\%$

$P(\overline J \cap \overline S) =19\% - 11\% = 8\%$

	$S$	$\overline S$	Gesamt
$J$	39%	11%	50%
$\overline J$	42%	8%
Gesamt	81%	19%	100%

5. Schritt: Füge den letzten errechenbaren Wert ein.

$P(\overline J )=100\% - 50\% = 50\%$

	$S$	$\overline S$	Gesamt
$J$	39%	11%	50%
$\overline J$	42%	8%	50%
Gesamt	81%	19%	100%

Fertig! :-)

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3
Fülle mit den folgenden Informationen eine Vierfeldertafel aus!
1. $P(A)=0{,}45;\;P(A\cap\overline B)=0{,}2;\; P(\overline B)=0{,}7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Schreibe die gegebenen Wahrscheinlichkeiten an die entsprechende Stelle.
  Rechne: $1-0{,}45=0{,}55=P(\overline A)$ $0{,}7-0{,}2=0{,}5=P(\overline A\cap \overline B)$ $0{,}45-0{,}2=0{,}25=P(A\cap B)$ $1-0{,}7=0{,}3=P(B)$ $P(B)-P(A\cap B)=0{,}05=P(\overline A\cap B)$
  Die fertige Vierfeldertafel sieht so aus.
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2. $P(A\cap B)=0{,}12;\; P(\overline A)=0{,}51;\; P(B)=0{,}44$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Schreibe die gegebenen Wahrscheinlichkeiten an die entsprechende Stelle.
  Rechne: $0{,}44-0{,}12=0{,}32=P(\overline A\ \cap\ B )$ $1-0{,}44=0{,}56=P(\overline B)$ $1-0{,}51=0{,}49=P(A)$ $P(A)-0{,}12=0{,}37=P(A\cap \overline B)$ $P(\overline B)-P(A\cap\overline B)=0{,}19=P(\overline A\cap \overline B)$
  So sieht die fertige Vierfeldertafel aus.
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3. $P(B)=0{,}99;\; P(A\cap\overline B)=0{,}002;\;P(\overline A\cap B)=0{,}85$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Schreibe die gegebenen Wahrscheinlichkeiten an die entsprechende Stelle.
  Rechne: $1-0{,}99=0{,}01=P(\overline B)$ $0{,}99-0{,}85=0{,}14=P(A\cap B)$ $P(\overline B)-0{,}002=0{,}008 = P(\overline A\cap\overline B)$ $P(A\cap B)+0{,}002=0{,}142=P(A)$ $0{,}85+P(\overline A\cap\overline B)=0{,}858=P(\overline A)$
  So sieht die fertige Vierfeldertafel aus.
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Fülle mit den folgenden Informationen eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten aus!
1. In einer Schulklasse mit 29 Schüler*innen haben 10 Schüler*innen braune Haare und 7 Schüler*innen grüne Augen. 5 Schüler*innen haben grüne Augen und braune Haare.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Schreibe die gegeben Informationen in die entsprechenden Felder.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{G} & \mathrm{\overline G} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{5} & \mathrm{} & \mathrm{10} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{} & \mathrm{} & \mathrm{} \\\hline\ & \mathrm{7} & \mathrm{} & 29 \end{array}$
  Rechne: $|B\cap\overline{G}|=10-5$ $|\overline{B}\cap G|=7-5$ $|\overline{B}|=29-10$ $|\overline{G}|=29-7$ $|\overline{B}\cap\overline{G}|=19-2$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{G} & \mathrm{\overline G} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{5} & \mathrm{5} & \mathrm{10} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{2} & \mathrm{17} & \mathrm{19} \\\hline\ & \mathrm{7} & \mathrm{22} & 29 \end{array}$
  So sieht die vollständige Vierfeldertafel aus.
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2. Am Sportunterricht nehmen insgesamt 25 Kinder teil, wovon 15 weiblich sind. Genau 15 Kinder sind gut im Weitwurf. 10 Mädchen sind gut im Weitwurf.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Lege zuerst fest, welche Eigenschaft in der Vierfeldertafel wie abgekürzt werden soll: $M=$ Mädchen $W=$ gut im Weitwurf
  Schreibe die gegebenen Informationen in die entsprechenden Felder.
  25 Kinder sind in der Klasse, das ist das Feld $|\Omega|$ ganz rechts unten.
  15 Kinder der Klasse sind Mädchen, das entspricht dem Feld $|M|$ rechts oben.
  15 Kinder sind gut im Weitwurf, das entspricht dem Feld $|W|$ links unten.
  10 Mädchen sind gut im Weitwurf, das entspricht dem Feld $|M\cap W|$ , das ist das Feld innen links oben.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{W} & \mathrm{\overline W} & \ \\\hline\mathrm{M} &10 & & 15 \\\hline\mathrm{\overline M} & & & \\\hline\ & 15 & & 25 \end{array}$
  Rechne:
  $|\overline{W}|=|\Omega|-|W|=25-15=10$
  $|\overline{M}|=|\Omega|-|M|=25-15=10$
  $|\overline{M}\cap W|=|W|-|M\cap W|=15-10=5$
  $|M\cap \overline{W}|=|M|-|M\cap W|=15-10=5$
  $|\overline M \cap \overline W| =|\overline W|-|M \cap \overline{W}|=10-5=5$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{W} & \mathrm{\overline W} & \ \\\hline\mathrm{M} &10 & 5 & 15 \\\hline\mathrm{\overline M} & 5 & 5& 10 \\\hline\ & 15 &10 & 25 \end{array}$
  So sieht die fertige Vierfeldertafel aus.
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3. Bei einer Versuchsreihe nehmen 47 Personen teil. 20 von diesen Personen wurden auf eine bestimmte Krankheit positiv getestet. 32 Testpersonen sind gegen diese Krankheit geimpft, wobei 15 Personen positiv getestet wurden und nicht dagegen geimpft sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Schreibe die gegebenen Informationen in die entsprechenden Felder.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{P} & \mathrm{\overline P} & \ \\\hline\mathrm{G} & & & 32 \\\hline\mathrm{\overline G} & 15 & & \\\hline\ & 20 & & 47 \end{array}$
  Rechne: $|G \cap P|=|P|-|\overline{G} \cap P|=20-15=5$ $|G\cap \overline{P}|=|G|-|G \cap P|=32-5=27$ $|\overline {G}|=47-|G|=47-32=15$ $|\overline{G} \cap \overline{P}|=|\overline{G}|-|\overline{G}\cap P|=15-15=0$ $|\overline{P}|=|G\cap \overline{P}|+|\overline{G}\cap \overline{G}|=27+0=27$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{P} & \mathrm{\overline P} & \ \\\hline\mathrm{G} &5 &27 & 32 \\\hline\mathrm{\overline G} & 15 & 0& 15 \\\hline\ & 20 & 27 & 47 \end{array}$
  So sieht die fertige Vierfeldertafel aus.
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4. In einer Firma arbeiten 45 Männer und 50 Frauen. 30 weibliche Mitarbeitende der Firma sind jünger als 50 Jahre und 27 Männer sind älter als 50 Jahre.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Schreibe die gegebenen Informationen in die entsprechenden Felder.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{W} & \mathrm{\overline W} & \ \\\hline\mathrm{<50} & 30 & & \\\hline\mathrm{\overline {<50}} & & 27 & \\\hline\ & 50 & 45& 95 \end{array}$
  Rechne: $|\overline{<50} \cap W|=|W|-|<50 \cap W|=50-30=20$ $|\overline{<50}|=|\overline{<50}\cap W|+|\overline{<50} \cap \overline W|=20+27=47$ $|<50|=95-|\overline{<50}|=95-47=48$ $|<50 \cap \overline{W}|=|<50|-|<50 \cap W|=48-30=18$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{W} & \mathrm{\overline W} & \ \\\hline\mathrm{<50} & 30 & 18 & 48\\\hline\mathrm{\overline {<50}} &20 & 27 & 47 \\\hline\ & 50 & 45& 95 \end{array}$
  So sieht die fertige Vierfeldertafel dann aus.
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5
Ein Getränkeautomat ist defekt. Jemand wirft $1\ €$ ein. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er ein Getränk erhält, ist $0{,}5$ . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Apparat ein Getränk und den Euro wieder auswirft, ist $\frac{1}{3}$ . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält, ist $\frac{1}{6}$ .
1. Gib einen Ergebnisraum an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum
  Berechne den Ergebnisraum:
  Definiere die in der Aufgabe benannten Ereignisse:
  G:= "Man erhält ein Getränk"
  E:= "Man erhält den Euro wieder zurück"
  Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, dafür, was passieren kann:
  Der Automat gibt ein Getränk und den Euro wieder aus.
  Der Automat gibt kein Getränk, aber den Euro aus.
  Der Automat gibt ein Getränk, aber den Euro nicht aus.
  Der Automat gibt weder das Getränk noch den Euro aus.
  In einem Ergebnisraum $\Omega$ dargestellt ergibt dies:
  $\Omega=\left\{\begin{pmatrix}E&G\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}\overline{G}&E\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}G&\overline{E}\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}\overline{G}&\overline{E}\end{pmatrix}\right\}$
  Alternative Lösung:
  $\Omega=\left\{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\right\}$
  Eine $1$ bzw. $0$ an erster Stelle bedeutet, dass der Verbraucher das Getränk erhält bzw. nicht erhält.
  Eine $1$ bzw. $0$ an zweiter Stelle steht für den Betrag, den der Verbraucher zahlen muss.
  $\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$ Bedeutet also z.B., dass der Verbraucher ein Getränk erhält und der Automat den Euro wieder auswirft.
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2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk bekommt und es bezahlt hat?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum
  Schreibe die Wahrscheinlickeiten aus der Angabe auf:
  $P(G)=\frac{1}{2}$
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk erhält.
  $P(G\cap E)=\frac{1}{3}$
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man das Getränk und auch wieder den Euro bekommt.
  $P(\overline{G}\cap E)=\frac{1}{6}$
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält.
  Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: $P(G\cap\overline E)$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk bekommt und dafür bezahlen muss, man das Geld also nicht wieder zurückbekommt.
  Stelle die Vierfeldertafel auf:
  $G$
  $\overline {G}$
  $E$
  $1/3$
  $1/6$
  $\overline {E}$
  $1/2$
  $1$
  Vervollständige die Vierfeldertafel:
  $G$
  $\overline {G}$
  $E$
  $1/3$
  $1/6$
  $1/2$
  $\overline {E}$
  $1/6$
  $1/3$
  $1/2$
  $1/2$
  $1/2$
  $1$
  Lese die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab:
  $P(G\cap \overline{E})=\frac{1}{6}$
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3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man weder ein Getränk erhält, noch seinen Euro zurückbekommt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum
  Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: $P(\overline G\cap\overline E)$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass man kein Getränk bekommt und der Automat den Euro behält.
  Betrachte die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2 und lese den gesuchten Wert ab.
  $G$
  $\overline {G}$
  $E$
  $1/3$
  $1/6$
  $1/2$
  $\overline {E}$
  $1/6$
  $1/3$
  $1/2$
  $1/2$
  $1/2$
  $1$
  $P(\overline{G}\cap \overline{E})=\frac{1}{3}$
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4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk bekommt und trotzdem seinen Euro zurückbekommt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: $P(G\cap E)$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränkt bekommt und den Euro zurückerhält.
  Dieses Ergebnis ist bereits in der Angabe enthalten (siehe Teilaufgabe 2):
  $P(G\cap E)=\frac{1}{3}$
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5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man entweder ein Getränk erhält oder seinen Euro zurückbekommt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: $P\left[(G\cap \overline{E})\cup (\overline{G}\cap E)\right]$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk erhält und dafür gezahlt hat oder kein Getränk erhält und man den Euro wieder bekommt.
  Formuliere die Wahrscheinlichkeit um:
  $P\left[(G\cap\overline{E})\cup(\overline{G}\cap E)\right]$ $=P( G\cap\overline E)+ P( \overline G\cap E )$
  Dies ist so möglich, weil die Mengen $( G\cap\overline E)$ und $( \overline G\cap E )$ disjunkt sind.
  Betrachte die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2 und lese die gesuchten Werte ab.
  $G$
  $\overline {G}$
  $E$
  $1/3$
  $1/6$
  $1/2$
  $\overline {E}$
  $1/6$
  $1/3$
  $1/2$
  $1/2$
  $1/2$
  $1$
  $P\left[(G\cap \overline{E})\cup (\overline{G}\cap E)\right]=P(G\cap \overline{E})+P(\overline{G}\cap E)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
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	$G$	$\overline {G}$
$E$	$1/3$	$1/6$
$\overline {E}$
	$1/2$		$1$

	$G$	$\overline {G}$
$E$	$1/3$	$1/6$	$1/2$
$\overline {E}$	$1/6$	$1/3$	$1/2$
	$1/2$	$1/2$	$1$

	$G$	$\overline {G}$
$E$	$1/3$	$1/6$	$1/2$
$\overline {E}$	$1/6$	$1/3$	$1/2$
	$1/2$	$1/2$	$1$

	$G$	$\overline {G}$
$E$	$1/3$	$1/6$	$1/2$
$\overline {E}$	$1/6$	$1/3$	$1/2$
	$1/2$	$1/2$	$1$

Ein Betreiber eines Eisenbahnunternehmens hat eine Umfrage unter seinen Fahrgästen durchgeführt, die ergab, dass $10%$ der Fahrgäste in der ersten Klasse reisen. Außerdem wurde in der Umfrage abgefragt, wie zufrieden die Fahrgäste mit dem Service des Unternehmens sind. Hoch erfreut stellt das Unternehmen fest, dass $\frac56$ der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden sind. Alarmierend dagegen sind die Zufriedenheitszahlen der ersten Klasse: $70%$ der Fahrgäste erster Klasse sind unzufrieden. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

E: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1.Klasse-Fahrer"

Z: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden."

Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Gegeben sind die Ereignisse:
$E$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1.Klasse-Fahrer"
$Z$ : "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden"
Gegeben sind die folgenden Werte:
$P(E)=10\%=0{,}1$
$P_{\overline E}(Z)=\frac{5}{6}$
$P_{E}(\overline Z)=70\%=0{,}7$
Damit kannst du mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit folgende Werte errechnen:
$P(E \cap \overline Z) = P(E)\cdot P_{E}(\overline Z)=0{,}1\cdot 0{,}7\% = 0{,}07$
$P(\overline E)=1-P(E)=1-0{,}1=0{,}9$
$P(\overline E \cap Z) = P(\overline E)\cdot P_{\overline E}(Z)=0{,}9\cdot \frac56 = 0{,}75$
Schreibe diese Werte in eine Vierfeldertafel.
$E$
$\overline E$
$Z$
$0{,}75$
$\overline Z$
$0{,}07$
$0{,}1$
$0{,}9$
$1$
Nun kannst du weitere Werte berechnen:
$P(E\cap Z)=P(E)-P(E\cap\overline{Z})=0{,}1-0{,}07=0{,}03$
$P(\overline{E}\cap\overline{Z})=P(\overline{E})-P(\overline{E}\cap Z)=0{,}9-0{,}75=0{,}15$
Füge diese in die Vierfeldertafel ein:
$E$
$\overline E$
$Z$
$0{,}03$
$0{,}75$
$\overline Z$
$0{,}07$
$0{,}15$
$0{,}1$
$0{,}9$
$1$
Damit kannst du die restlichen Werte berechnen:
$P(Z)=(Z\cap E)+P(Z\cap\overline{E})=0{,}03+0{,}75=0{,}78$
$P(\overline{Z})=P(\overline{Z})+P(\overline{Z}\cap \overline{E})=0{,}07+0{,}15=0{,}22$
Damit ergibt sich die vollständige ausgefüllte Vierfeldertafel als:
$E$
$\overline E$
$Z$
$0{,}03$
$0{,}75$
$0{,}78$
$\overline Z$
$0{,}07$
$0{,}15$
$0{,}22$
$0{,}1$
$0{,}9$
$1$
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Als dem Geschäftsführer die Zufriedenheitszahlen der 1.Klasse mitgeteilt werden, ist dieser schockiert. Resigniert erklärt er, dass das Unternehmen es nicht geschafft habe, den Zufriedenheitswert von $77%$ % der Fahrgäste aus dem Vorjahr zu verbessern. Hat er Recht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Wie aus der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 1 ersichtlich wird, gilt $P(Z)=0{,}78=78\%$ . Damit hat sich der Zufriedenheitswert gegenüber dem Vorjahr um 1 Prozentpunkt verbessert. Der Geschäftsführer hat somit Unrecht.
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Tatsächlich stellt er fest, dass im Vorjahr $85\%$ der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden waren und immerhin $45\%$ der Fahrgäste erster Klasse. Damit haben sich beide Werte in diesem Jahr verschlechtert. Stelle diese Werte in Bezug zu deiner Antwort auf Teilaufgabe 2. Erstelle dazu auch eine Vierfeldertafel für das Vorjahr.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Obwohl sich die Zufriedenheitswerte der Fahrgäste erster Klasse von $45\%$ im Vorjahr auf $30\%$ in diesem Jahr und der Fahrgäste zweiter Klasse von $85\%$ im Vorjahr auf $\frac56\approx83{,}3\%$ in diesem Jahr verschlechtert haben sind sie bei Betrachtung aller Fahrgäste von $77\%$ auf $78\%$ gestiegen. Wie ist dies möglich?

Stelle dazu eine Vierfeldertafel für das Vorjahr auf.

Gegeben sind folgende Werte:

$P(Z)=77\%=0{,}77$

$P_{\overline E}(Z)=85\%=0{,}85$

$P_E(Z)=45\%=0{,}45$

Bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrgast erster Klasse fährt mit $x\;(P(E)=x)$ . Dann gilt nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

$P(E\cap Z)=P(E)\cdot P_E(Z)=0{,}45\cdot x$

$P(\overline{E}\cap Z)=P(\overline{E})\cdot P_{\overline{E}}(Z)=0{,}85\cdot(1-x)$

Desweiteren gilt die Gleichung:

$\displaystyle P\left(Z\right)$	$=$	$\displaystyle P(E\cap Z)+P(\overline{E}\cap Z)$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle 0{,}77$	$=$	$\displaystyle 0{,}45\cdot x+0{,}85\cdot(1-x)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0{,}77$	$=$	$\displaystyle 0{,}45\cdot x-0{,}85\cdot x+0{,}85$
$\displaystyle 0{,}77$	$=$	$\displaystyle -0{,}4\cdot x+0{,}85$	$\displaystyle +0{,}4x\ -0{,}77$
$\displaystyle 0{,}4\cdot x$	$=$	$\displaystyle 0{,}08$	$\displaystyle :0{,}4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

Damit kannst du die Werte in die Vierfeldertafel einsetzen, indem du in die obigen Formeln das $x$ einsetzt.

$P(E\cap Z)=P(E)\cdot P_E(Z)=0{,}45\cdot 0{,}2=0{,}09$

$P(\overline{E}\cap Z)=P(\overline{E})\cdot P_{\overline{E}}(Z)=0{,}85\cdot (1-0{,}2)=0{,}68$

Setze nun in die Vierfeldertafel ein.

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}09$	$0{,}68$	$0{,}77$
$\overline Z$
	$0{,}2$	$0{,}8$	$1$

Nun kann man die restlichen Werte leicht bestimmen:

$P(E\cap\overline{Z})=P(E)-P(E\cap Z)=0{,}2-0{,}09=0{,}11$

$P(\overline{E}\cap\overline{Z})=P(\overline{E})-P(\overline{E}\cap Z)=0{,}8-0{,}68=0{,}12$

$P(\overline{Z})=1-P(Z)=1-0{,}77=0{,}23$

Erstelle nun die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel für das Vorjahr:

	$E$	$\overline E$
$Z$	$0{,}09$	$0{,}68$	$0{,}77$
$\overline Z$	$0{,}11$	$0{,}12$	$0{,}23$
	$0{,}2$	$0{,}8$	$1$

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196 deiner 440 Facebook-Freunde haben ihren Beziehungsstatus nicht angegeben. Da du aber alle persönlich kennst, weißt du, dass insgesamt 288 deiner Facebook-Freunde in einer Beziehung sind. 116 derer, die ihren Beziehungsstatus angegeben haben, sind single.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Vierfeldertafel, die du mit den Informationen aus dem Text ermitteln kannst. Übertrage diese dann in eine Vierfeldertafel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Erstellen einer Vierfeldertafel mit den Angaben aus der Aufgabe
Zuerst kann man die Angaben aus der Aufgabe in eine Vierfeldertafel für die Ergebnisse "ist in einer Beziehung" ( $B$ ), "ist nicht in einer Beziehung" ( $\overline{B}$ ), "hat den Beziehungsstatus angegeben" ( $S$ ) und "hat den Beziehungsstatus nicht angegeben" ( $\overline{S}$ ) eingeben.
Dann kann man durch Ausrechnen die restlichen Felder füllen:
Berechnen der Wahrscheinlichkeiten
Nun berechnet man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten, indem man die Zahl in einem Feld durch die Gesamtanzahl der Facebook-Freunde teilt:
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Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand in einer Beziehung ist und dies auch bei Facebook angibt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Vierfeldertafel nutzen
Um die zweite Teilaufgabe zu lösen, schaut man einfach in die Vierfeldertafel, die man in der ersten Teilaufgabe erstellt hat.
Wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass jemand sowohl in einer Beziehung ist ( $B$ ) und dies auch bei Facebook angibt ( $St$ ). Anders ausgedrückt suchen wir nach der Wahrscheinlichkeit für $B \, \cap \, St$ , also das Feld oben links in der Vierfeldertafel.
In diesem Feld steht eine Wahrscheinlichkeit von
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand in einer Beziehung ist und dies auch bei Facebook angibt, beträgt also ungefähr $29{,}03 \% \,$ .
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der Single ist, dies auch bei Facebook angibt?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\displaystyle \frac {P(\overline{B} \cap St)}{P(\overline{B})}$
	↓ Werte aus der Vierfeldertafel einsetzen
$=$	$\displaystyle {\frac{116}{440}} / {\frac{152}{440}}$
	↓ Division in Multiplikation umwandeln durch Bilden des Kehrbruchs des Divisors
$=$	$\displaystyle {\frac{116}{440}} \cdot {\frac{440}{152}}$
$=$	$\displaystyle \frac{116 \, \cdot \, 440}{440 \, \cdot \, 152}$
$=$	$\displaystyle \frac{116}{152}$
	↓ Kürze den Bruch
$=$	$\displaystyle \frac{29}{38}$
	↓ Rechne in einen Dezimalbruch um und runde
$≈$	$\displaystyle 0{,}7632$

Aufgaben zur Vierfeldertafel

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

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Berechne den Ergebnisraum:

Alternative Lösung:

$\Omega=\left\{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\right\}$

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Schreibe die Wahrscheinlickeiten aus der Angabe auf:

Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

Stelle die Vierfeldertafel auf:

Vervollständige die Vierfeldertafel:

Lese die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab:

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Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

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Erstellen einer Vierfeldertafel mit den Angaben aus der Aufgabe

Berechnen der Wahrscheinlichkeiten

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Vierfeldertafel nutzen

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Formel aufstellen

Werte aus der Vierfeldertafel einsetzen und Term berechnen

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Aufgaben zur Vierfeldertafel

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

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Berechne den Ergebnisraum:

Alternative Lösung:

Ω={(10); (11); (00); (01)}\Omega=\left\{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\right\}Ω={(1​0​);(1​1​);(0​0​);(0​1​)}

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Stelle die Vierfeldertafel auf:

Vervollständige die Vierfeldertafel:

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Vierfeldertafel nutzen

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Formel aufstellen

Werte aus der Vierfeldertafel einsetzen und Term berechnen

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$\Omega=\left\{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\right\}$