Aufgaben zur Kugel

$V=\frac43\cdot(5\cm)^3\cdot\pi\\\approx523{,}6\cm^3$

$V=\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{5\mathrm{cm}^2}{2\mathrm{\pi}}}\right)^3\cdot\mathrm{\pi}\\=\frac{5\cdot\sqrt{\frac{10}{\pi }}}{3}\cm^3\\\approx2{,}974\cm^3$

$\approx12{,}566\,cm^2$

$\approx314{,}16\,cm^2$

$\approx28{,}274\,cm^2$

$\approx22{,}446\,cm^2$

$\approx15{,}597\,\mathrm{cm^2}$

Umfang berechnen

Tipp: $1\mu m=0{,}000001m=1\cdot 10^-6m$

Umrechnung der Einheiten in Meter

Damit du in den späteren Teilaufgaben einfacher weiterrechnen kannst, rechnest du am Besten zuerst die Einheiten von $\mu m$ in $m$ um.

$d_{leer} = 50 \mu m = 0{,}000050m$

$d_{voll}=250\;\mu m=0{,}000250\;m$

Berechne nun die Radien eines Lungenbläschens.

Berechnung der Oberfläche und des Volumens

• $\displaystyle{r_{leer} = d_{leer}:2 = 0{,}000025m}$

• $r_{voll} = d_{voll}:2= 0{,}000125m$

Stelle die Formeln für die Oberflächeninhalte und die Volumen auf.

• $\displaystyle{O_{leer} = 4 \pi \cdot r_{leer}^2}$

• $\displaystyle{O_{voll} = 4 \pi \cdot r_{voll}^2}$

• $\displaystyle{V_{leer} = \frac{4}{3} \pi \cdot r_{leer}^3}$

• $\displaystyle{V_{voll} = \frac{4}{3} \pi \cdot r_{voll}^3}$

Setze die Werte ein und multipliziere aus!

$O_{leer}=4\pi\cdot r_{leer}^2=4\pi\cdot(0{,}000025\;m)^2\;\approx\;7{,}85\cdot10^{-9}\;m^2$

$O_{voll}=4\pi\cdot r_{voll}^2=4\pi\cdot(0{,}000125m)^2\approx\;1{,}96\cdot10^{-7}\;m^2$

$V_{leer}=\frac43\pi\cdot r_{leer}^3=\frac43\pi\cdot(0{,}000025m)^3\;\approx\;6{,}54\cdot10^{-14}\;m^3$

$V_{voll}=\frac43\pi\cdot r_{voll}^3=\frac43\pi\cdot(0{,}000125m)^3\approx\;8{,}18\cdot10^{-12}m^3$

Für das leere Lungenbläschen beim Ausatmen ergibt sich in etwa eine Oberfläche von $7{,}85 \cdot 10^{-9}\;m^2$ und ein Volumen von $6{,}54 \cdot 10^{-14}\;m^3$.

Für das volle Lungenbläschen beim Einatmen ergibt sich eine Oberfläche von circa $1{,}96\cdot 10^{-7}\;m^2$ und ein Volumen von $8{,}18 \cdot 10^{-12}\;m^3$.

Du hast das Volumen und den Oberflächeninhalt eines einzelnen Bläschens beim Ein- und Ausatmen bereits in der Teilaufgabe a) berechnet. Die Anzahl der Lungenbläschen in der Lunge ist gegeben. Damit kannst du die Formel für das gesamte Volumen und den gesamten Oberflächeninhalt aufstellen.

Du kannst die gesamte Oberfläche mit $O_{ges,leer}$ und $O_{ges,voll}$ bezeichnen. Das gesamte Volumen kannst du mit $V_{ges, leer}$ und $V_{ges, voll}$ bezeichnen.

Durch das Einsetzen der Werte erhältst du:

• $O_{ges,leer}\approx300.000.000\cdot7{,}85\cdot10^{-9}\;m^2\approx 2{,}36\;m^2$

• $O_{ges,voll}\approx300.000.000\cdot1{,}96\cdot10^{-7}\;m^2\approx 58{,}8\;m^2$

• $V_{ges,leer}\approx300.000.000\cdot6{,}54\cdot10^{-14}\;m^3 \approx1{,}96\cdot10^{-5}\;m^3=0{,}0196l=19{,}6ml$

• $V_{ges,voll}\approx300.000.000\cdot8{,}18\cdot10^{-12}\;m^3\approx2{,}45\cdot10^{-3}\;m^3=2{,}45\;l$

Der gesamte Oberflächeninhalte aller Lungenbläschen beträgt beim Ausatmen circa $2{,}36m^2$ und beim Einatmen $58{,}8 \;m^2$.

Das gesamte Volumen aller Lungenbläschen beträgt beim Ausatmen in etwa $19{,}6\;ml$ und beim Einatmen $2{,}45\;l$.

Radius einer Kugel mit demselben Volumen

Du kennst das gesamte Volumen aller Bläschen aus der Teilaufgabe b). Versuche nun die Formel für das Kugelvolumen nach der gesuchten Größe $r$ umzustellen!

• $r_{v,ges,leer}=\sqrt[3]{\frac{3V_{ges,leer}}{4\pi}}\approx\sqrt[3]{\frac{3\cdot(1{,}96\cdot10^{-5}\ m^3)}{4\pi}}\approx0{,}0167\ m=1{,}67cm$

• $r_{v,ges,voll}=\sqrt[3]{\frac{3V_{ges,voll}}{4\pi}}\approx\sqrt[3]{\frac{3\cdot(2{,}45\cdot10^{-3}m^3)}{4\pi}}\approx0{,}0836m=8{,}36cm$

Die Kugeln beim Ein- und Ausatmen mit demselben Volumen wie alle Lungenbläschen zusammen hätten einen Radius von $r_{v,ges,leer} = 1{,}67cm$ und $r_{v,ges,voll} =8{,}36cm$.

Oberfläche dieser Kugel

Für den Oberflächeninhalt dieser Kugel musst du nun noch diese Radien in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzen und berechnen:

• $O_{v,ges,leer}=4\pi(r_{v,ges,leer})^2\approx4\pi\cdot(0{,}0167m)^2\approx3{,}50\cdot10^{-3}m^2$

• $O_{v,ges,voll}=4\pi(r_{v,ges,voll})^2\approx4\pi\cdot(0{,}0836m)^2\approx0{,}0878m^2=8{,}78\cdot10^{-2}m^2$

Eine Kugel mit dem Radius $r_{v,ges,leer}$ hätte eine Oberfläche mit $3{,}5 \cdot 10^{-3} m^2$ und eine Kugel mit dem Radius $r_{v,ges,voll}$ hätte die Oberfläche $8{,}78 \cdot 10^{-2} m^2$.

Analog zur Teilaufgabe c) stellst du die Formel für den Kugeloberflächeninhalt nach $r$ um.

$r_2$ ist für uns irrelevant, da der Radius nur positive Werte annehmen kann. Im Folgenden wird daher nur die Formel für $r_1$ benutzt.

• $r_{o,ges,leer}=\sqrt{\frac{O_{ges,leer}}{4\pi}}\approx\sqrt{\frac{2{,}36m^2}{4\pi}\approx0{,}433m=43{,}3cm}$

• $r_{o,ges,voll}=\sqrt{\frac{O_{ges,voll}}{4\pi}}\approx\sqrt{\frac{58{,}8m^2}{4\pi}}\approx2{,}16m$

Der Radius einer Kugel mit demselben Oberflächeninhalt wie alle Lungenbläschen zusammen hätte einen Radius von $43{,}3cm$ beim Einatmen und von $2{,}16m$ beim Ausatmen.

Es fällt auf, dass diese Radien viel größer sind als die Radien beim Ein- und Ausatmen in der Teilaufgabe c).

Der Sauerstoff wird über die Oberfläche der Lungenbläschen aufgenommen. Im Brustkorb ist nur ungefähr so viel Platz wie für ein Volumen von $V_{ges,voll}=2{,}45l$. Der Oberflächeninhalt wäre bei einer einzelnen Blase dann bei ca. $8{,}36cm$ (siehe Teilaufgabe c). Durch die vielen kleinen Blasen kann der Oberflächeninhalt, über den Sauerstoff aufgenommen wird, aber stark vergrößert werden.

Dadurch entsteht ein Oberflächeninhalt, der, wenn er von nur einer Blase geschaffen werden müsste, viel zu groß für den menschlichen Körper wäre (zum Vergleich: Der Durchmesser der Kugel $(4{,}32m)$ ist mehr als doppelt so groß wie ein erwachsener Mensch). Nur dadurch kann die Lunge so viel Sauerstoff aufnehmen, wie der Körper zum Leben benötigt!