Aufgaben zur Diskussion von Polynomfunktionen

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Welcher Funktionsterm gehört zum Graph?
1. $f (x) = x^{3} - 1$
  $f (x) = - x^{3} - 1$
  $f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} + 5$
  $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$
2. $f (x) = x^{4} + x^{2}$
  $f (x) = x^{2}$
  $f (x) = x^{5} - x^{2} + 1$
  $f (x) = - x^{4}$
3. $f (x) = x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - 2 x$
  $f (x) = - x^{3} + 2 x^{2}$
  $f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{2} + 4$
  $f (x) = - 3 x$
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Untersuche den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f$ mit $f (x) = - 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5$ soweit, sodass du ihn zeichnen kannst.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ohne Wertetabelle ist es immer geschickt, sich über den Verlauf des Graphens Gedanken zu machen. Hilfreich hierbei sind vor allem erst einmal Nullstellen. Danach schaust du dir das Verhalten der Funktion im Unendlichen an.Um die Nullstellen herauszufinden gibt es zwei Möglichkeiten. Einmal kann man sie bei Polynomen mit einem Grad größer als zwei mit der Polynomdivision herausfinden oder bei dem Grad vier bietet sich auch die Substitution an.
Lösung 1: mit Polynomdivision
1. Schritt: Nullstellen raten
Schaue dir beim raten von Nullstellen die letzte Ziffer ohne ein $x$ an, wie kannst du die $5$ in ein Produkt aufteilen? Zum Beispiel in $1$ und $5$ . Probiere es mit $1$ : Super, eine Nullstelle gefunden!
2. Schritt: Polynomdivision um weitere Nullstellen zu finden
$(- 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5) : (x - 1) = - 3 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x - 5$
$(- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x - 5) : (x + 1) = - 3 x^{2} - 5$
$- 3 x^{2} - 5 = 0$
$- 3 x^{2} = 5$
$x^{2} = \frac{5}{- 3}$
Jetzt sollte man die Wurzel ziehen um auf das $x$ zu kommen. Dann würde aber etwas negatives unter der Wurzel stehen, dies ist nicht erlaubt. Also gibt es keine weitere Nullstelle.
3. Schritt: Verhalten im Unendlichen
Setze jetzt überall da wo in der Funktion ein $x$ steht ein $\infty$ bzw. $- \infty$ ein und schaue was raus kommt. Allerdings darfst du das nur in Anführungszeichen schreiben, da dies eigentlich keine mathematische Ausdrucksweise ist und somit nur eine inoffizielle Lösung aber eine gute Hilfe um sich das besser vorstellen zu können.
$" f (\infty) = - 3 \cdot \infty^{4} - 2 \cdot \infty^{2} + 5 "$
Schaue dir jetzt das Vorzeichen vor dem höchsten Exponenten/Grad an: hier steht ein Minus. Also kommt insgesamt Minus Unendlich raus.
$\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$
$" f (- \infty) = - 3 \cdot (- \infty)^{4} - 2 \cdot (- \infty)^{2} + 5 "$
Bei geraden Exponenten wird das Minus in der Klammer wieder zu einem Plus und du kommst auf das selbe Ergebnis.
$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$
Der Verlauf ist also "von unten nach unten".
4. Schritt: Symmetrie
Es können drei Fälle eintreten: Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, keine Symmetrie. Ersetze dafür jedes $x$ mit einem $- x$ .
$f (- x) = - 3 \cdot (- x)^{4} - 2 \cdot (- x)^{2} + 5$
Jetzt musst du dir die Exponenten/Potenzen anschauen, hier sind das nur gerade, also fallen unsere Minuszeichen vor den $x$ weg. Damit bist du wieder bei der Funktion gelandet.
$f (- x) = f (x)$
Welche Symmetrie war das? Richtig, die Achsensymmetrie.
5. Schritt: y-Achsen Abschnitt
Um den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
6. Schritt: Graphen zeichnen
Lösung 2: durch Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $z$ ) ersetzt.
$f (x) = - 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5$
Ersetze nun jedes $x^{2}$ mit $z$ .
$f (z) = - 3 z^{2} - 2 z + 5$
Aus dieser quadratischen Funktion kannst du jetzt die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel ausrechnen.
$z_{1} = - \frac{5}{3}$ und $z_{2} = 1$
Nun musst du rücksubstituieren.
$z_{1} = (x_{1})^{2}$
$z_{2} = (x_{2})^{2}$
Um auf $x_{1}$ und $x_{2}$ zu kommen musst du also die Wurzel aus $z_{1}$ und $z_{2}$ ziehen. Das funktioniert allerdings nur bei $z_{2}$ , da $z_{1}$ negativ ist. Aber Achtung: Nur die Wurzel ziehen ist keine Äquivalenzumformung, deshalb musst du die $\pm \sqrt{z}$ ziehen.
$x_{1} = 1$
$x_{2} = - 1$
So bist du wieder bei den Nullstellen von oben angekommen und kannst bei Schritt 3: Verhalten im Unendlichen weiter machen.
Überlege dir, was du alles benötigst, um den Graphen zeichnen zu können:
Nullstellen
Verhalten im Unendlichen
Symmetrie
y-Achsen Abschnitt
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen:
1. $f (x) = - 3 x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Überlege dir, was macht das Minus vor dem x und was macht die 3 da. Das Minus öffnet die Parabel nach unten und die 3 macht die Parabel schmaler. Wenn du jetzt noch zwei x-Werte einsetzt kannst du die Funktion gut zeichnen.
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2. $f (x) = \frac{1}{3} x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Der Faktor $\frac{1}{3}$ ist kleiner als 1 und macht die Parabel damit breiter.
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3. $f (x) = 4 x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
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4. $f (x) = x^{2} - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Überlege dir, was die 2 für Auswirkungen auf die Funktion hat. Richtig, in diesem Fall steht das $b$ in $a x^{2} + b$ für die Verschiebung entlang der y-Achse, hier in die negative Richtung wegen dem Minus. Ansonsten ist $x^{2}$ die Normalparabel.
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5. $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Hier steht nur vor dem $x^{2}$ noch der Faktor $\frac{1}{2}$ . Dieser öffnet die Parabel weiter.
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6. $f (x) = 2 x^{2} + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
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7. $f (x) = - x^{2} + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Überlege dir, was das Minus vor dem $x$ macht. Außerdem haben wir eine Verschiebung um plus $4$ in die y-Richtung.
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8. $f (x) = - x^{2} + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
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9. $f (x) = - \frac{1}{10} x^{2} + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Überlege dir, was die $\frac{1}{10}$ für Auswirkungen auf die Funktion hat.
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10. $f (x) = x^{2} + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
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Skizziere den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f$ mit $f (x) = - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5$ nur durch Überlegung und ohne Wertetabelle.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktion
Zuerst wird die Funktion in die einzelnen Terme aufgeteilt.

Betrachte $- 3 x^{4}$ . Das Vorzeichen sagt dir, dass eine nach unten geöffnete Polynomfunktion vierten Grades vorliegt. Diese ist durch den Faktor 3 relativ schmal. Da hier der höchste Exponent der Funktion vorliegt, sieht die Funktion nach außen betrachtet aus, wie eine Funktion vierten Grades.
Betrachte $+ 2 x^{2}$ . Das Vorzeichen sagt dir, dass eine nach oben geöffnete Parabel vorliegt, die durch den Faktor 2 ebenfalls etwas schmaler wird. Da hier der kleinste Exponent vorliegt, sieht die Funktion bei kleinen x-Werten, also in der Umgebung von Null, so aus wie eine Parabel.
Betrachte $+ 5$ .
Hier liegt keine Verknüpfung mit einem $x$ vor, deswegen ist die 5 die Verschiebung auf der y-Achse, und zwar in die positive Richtung.
Es liegen also nur gerade Exponenten vor. Dies sagt dir, dass der Graph symmetrisch ist.
Die Terme wieder zusammen in der Funktion ergibt dann das:
Überlege dir zuerst, was die Vorzeichen für Auswirkungen auf die Funktion haben. Wo hast du Potenzen, welchen Grad haben diese? Welcher y-Achsen-Abschnitt liegt vor?