Aufgaben zum Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen

…

Berechne

$6\frac45-3\cdot\frac12+2\cdot\frac13$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Wenn man gemischte Brüche addieren und subtrahieren will, so muss man diese erst in unechte Brüche umwandeln.

$\displaystyle 6\frac{4}{5}-3\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle \frac{34}{5}-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{34}{5}-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}$
	↓	Bilde den Hauptnenner. Erweitere dafür auf 30.
	$=$	$\displaystyle \frac{34\cdot6}{5\cdot6}-\frac{3\cdot15}{2\cdot15}+\frac{2\cdot10}{3\cdot10}$
	$=$	$\displaystyle \frac{204}{30}-\frac{45}{30}+\frac{20}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{204-45+20}{30}$
	$=$	$\displaystyle \frac{179}{30}$
	$=$	$\displaystyle 5\frac{29}{30}$

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$\frac58:\frac12+1\frac57\cdot\frac74-\frac9{14}:\frac37$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Bei der Division von Brüchen wird mit dem Kehrwert multipliziert.

$\displaystyle \frac{5}{8}:\frac{1}{2}+1\frac{5}{7}\cdot\frac{7}{4}-\frac{9}{14}:\frac{3}{7}$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{8}\cdot\frac{2}{1}+\frac{12}{7}\cdot\frac{7}{4}-\frac{9}{14}\cdot\frac{7}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot2}{8\cdot1}+\frac{12\cdot7}{7\cdot4}-\frac{9\cdot7}{14\cdot3}$
	↓	Die Brüche werden gekürzt . Der erste Bruch mit 2. Der zweite Bruch mit 7 und 2. Der dritte Bruch mit 7 und 3.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}+\frac{6}{2}-\frac{3}{2}$
	↓	Bilde den Hauptnenner. Erweitere auf 4.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}+\frac{6\cdot2}{2\cdot2}-\frac{3\cdot2}{2\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}+\frac{12}{4}-\frac{6}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5+12-6}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{11}{4}$
	$=$	$\displaystyle 2\frac{3}{4}$

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$-19+\left(0{,}5+1{,}75\right)\cdot4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Als erstes wird das innere der Klammer berechnet.

$\displaystyle -19+\left(0{,}5+1{,}75\right)\cdot4$	$=$	$\displaystyle -19+2{,}25\cdot4$
	↓	Wegen "Punkt vor Strich" als nächstes die Multiplikation berechnen.
	$=$	$\displaystyle -19+9$
	$=$	$\displaystyle -10$

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$\left(1,\overline3\cdot3-\frac12\right):7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Um die Zahlen in der Klammer multiplizieren zu können, müssen diese erst in Brüche umgewandelt werden.

$\displaystyle \left(1,\overline{3}\cdot3-\frac{1}{2}\right):7$	$=$	$\displaystyle \left(1\frac{1}{3}\cdot3-\frac{1}{2}\right):7$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{1}-\frac{1}{2}\right):7$
	↓	Der Bruch in der Klammer kann mit 3 gekürzt werden.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{4}{1}-\frac{1}{2}\right):7$
	↓	Bilde den Hauptnenner. Erweitere auf 2.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{4\cdot2}{1\cdot2}-\frac{1}{2}\right):7$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{8}{2}-\frac{1}{2}\right):7$
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{2}:7$
	↓	Wenn man einen Bruch durch eine Ganze Zahl dividieren will, so muss man erst diese in einen Bruch umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{2}:\frac{7}{1}$
	↓	Bei der Division von Brüchen wird mit dem Kehrwert multipliziert .
	$=$	$\displaystyle \frac{7\cdot1}{2\cdot7}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

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$\left(2,\overline6-\frac13\right):\left(-1\frac13+0,\overline3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Um die Zahlen in den Klammern addieren bzw subtrahieren zu können, müssen diese erst in Brüche umgewandelt werden.

$\displaystyle \left(2,\overline{6}-\frac{1}{3}\right):\left(-1\frac{1}{3}+0,\overline{3}\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right):\left(-1\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)$
	↓	Zur Berechnung reichen gemischte Brüche nicht aus, man braucht unechte Brüche.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right):\left(-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\right)$
	↓	In den beiden Klammern die Brüche addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{3}:\left(-\frac{3}{3}\right)$
	↓	Bei der Division von Brüchen wird mit dem Kehrwert multipliziert.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{3}\cdot\left(-\frac{3}{3}\right)$
	↓	Der Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des andernen multipliziert und der Zähler des einen Bruchs dem anderen Zähler.
	$=$	$\displaystyle -\frac{7\cdot3}{3\cdot3}$
	↓	Der Bruch lässt sich mit 3 kürzen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{7}{3}$
	$=$	$\displaystyle -2\frac{1}{3}$

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$12\cdot\frac13+12\cdot\frac14-7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Wenn man eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizieren will, so muss man erst diese in einen Bruch umwandeln.

$\displaystyle 12\cdot\frac{1}{3}+12\cdot\frac{1}{4}-7$	$=$	$\displaystyle \frac{12}{3}+\frac{12}{4}-7$
	↓	Die Brüche lassen sich mit 3 bzw. 4 kürzen.
	$=$	$\displaystyle 4+3-7$
	$=$	$\displaystyle 0$

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$\left(1,\overline3\cdot9-\frac93\right):3+\left(-\frac12+2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Um alle Zahlen addieren bzw. subtrahieren zu können, müssen diese erst in Brüche umgewandelt werden. 2 wird mit 2 auf $\frac42$ erweitert.

$\displaystyle \left(1,\overline{3}\cdot9-\frac{9}{3}\right):3+\left(-\frac{1}{2}+2\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{1}-\frac{9}{3}\right):\frac{3}{1}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{4}{2}\right)$
	↓	Der Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen multipliziert und der Zähler des einen Bruchs dem anderen Zähler.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{36}{3}-\frac{9}{3}\right):\frac{3}{1}+\frac{3}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{27}{3}:\frac{3}{1}+\frac{3}{2}$
	↓	Bei der Division von Brüchen wird mit dem Kehrwert multipliziert.
	$=$	$\displaystyle \frac{27}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{27\cdot1}{3\cdot3}+\frac{3}{2}$
	↓	Der erste Bruch lässt sich mit 9 $\left(3\cdot3\right)$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle 3+\frac{3}{2}$
	↓	3 muss mit 2 erweitert werden, damit man die Brüche addieren kann.
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{2}+\frac{3}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}$
	$=$	$\displaystyle 4\frac{1}{2}$

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$5\frac34+\frac15:\left(\frac{15}4-3\frac12\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Wandle alle gemischten Brüche in unechte Brüche um.

$\displaystyle 5\frac{3}{4}+\frac{1}{5}:\left(\frac{15}{4}-3\frac{1}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{23}{4}+\frac{1}{5}:\left(\frac{15}{4}-\frac{7}{2}\right)$
	↓	Den jeweiligen Hauptnenner bilden (hier 20 bzw. 4) und auf diesen erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{23\cdot5}{4\cdot5}+\frac{1\cdot4}{5\cdot4}:\left(\frac{15}{4}-\frac{7\cdot2}{2\cdot2}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{115}{20}+\frac{4}{20}:\left(\frac{15}{4}-\frac{14}{4}\right)$
	↓	Klammer ausrechnen.
	$=$	$\displaystyle \frac{115}{20}+\frac{4}{20}:\frac{1}{4}$
	↓	Erst dividieren, da Punkt vor Strich gilt. Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{115}{20}+\frac{4}{20}\cdot\frac{4}{1}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{115}{20}+\frac{16}{20}$
	↓	Addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{131}{20}$
	↓	In gemischten Bruch umwandeln.
	$=$	$\displaystyle 6\frac{11}{20}$

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$7-\frac9{20}-2\frac34$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Wandle gemischte Brüche in unechte Brüche um.

$\displaystyle 7-\frac{9}{20}-2\frac{3}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{140}{20}-\frac{9}{20}-\frac{11}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner (hier 20) aller Brüche bilden und erweitere auf diesen.
	$=$	$\displaystyle \frac{140}{20}-\frac{9}{20}-\frac{11\cdot5}{4\cdot5}$
	$=$	$\displaystyle \frac{140}{20}-\frac{9}{20}-\frac{55}{20}$
	$=$	$\displaystyle \frac{76}{20}$
	↓	Kürze mit 4.
	$=$	$\displaystyle \frac{19}{5}$
	↓	In gemischten Bruch umwandeln.
	$=$	$\displaystyle 3\frac{4}{5}$

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$8+2\cdot\frac7{20}+\frac3{20}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Erst multiplizieren, da Punkt vor Strich gilt.

$\displaystyle 8+2\cdot\frac{7}{20}+\frac{3}{20}$	$=$	$\displaystyle 8+\frac{14}{20}+\frac{3}{20}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle 8+\frac{17}{20}$
	↓	Forme 8 in einen unechten Bruch um.
	$=$	$\displaystyle \frac{160}{20}+\frac{17}{20}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{177}{20}$
	↓	Forme in einen gemischten Bruch um.
	$=$	$\displaystyle 8\frac{17}{20}$

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\displaystyle \frac{\frac{7}{9}:3}{13:\frac{81}{7}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Brüchen

Brüche

$\displaystyle \frac{\frac{7}{9}:3}{13:\frac{81}{7}}$	$=$
	↓	Jeweils mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{9}\cdot\frac{1}{3}}{13\cdot\frac{7}{81}}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{27}}{\frac{91}{81}}$
	↓	Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{27}\cdot\frac{81}{91}$
	↓	Kürzen mit 7.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{27}\cdot\frac{81}{13}$
	↓	Kürzen mit 27.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1}\cdot\frac{3}{13}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{13}$

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$-\frac7{10}-\frac1{10}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche addieren und subtrahieren

Subtraktion von Brüchen

$\displaystyle -\frac{7}{10}-\frac{1}{10}$	$=$
	↓	Da die Brüche schon den gleichen Nenner besitzen, kann sofort subtrahiert werden.
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{10}$
	↓	Kürzen mit 2.
	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{5}$

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$\left(-\frac7{10}\right)\cdot\left(-\frac1{10}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
$\left(-\frac{7}{10}\right)\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)$
$=\frac7{100}$
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$-5\frac14-2\frac12\cdot\left(-1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Erst die Multiplikation berechnen, da Punkt vor Strich gilt.

$\displaystyle -5\frac{1}{4}-2\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle -5\frac{1}{4}+2\frac{1}{2}$
	↓	Wandle in unechte Brüche um.
	$=$	$\displaystyle -\frac{21}{4}+\frac{5}{2}$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden (hier 4) und auf diesen erweitern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{21}{4}+\frac{10}{4}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{11}{4}$
	↓	Wandle in einen gemischten Bruch um.
	$=$	$\displaystyle -2\frac{3}{4}$

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$\frac38\cdot17-\frac38\cdot7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Distributivgesetz anwenden. $\frac38$ ausklammern.

$\displaystyle \frac{3}{8}\cdot17-\frac{3}{8}\cdot7$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{8}\cdot\left(17-7\right)$
	↓	Klammer ausrechnen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{8}\cdot10$
	$=$	$\displaystyle \frac{30}{8}$
	↓	Kürze mit 2.
	$=$	$\displaystyle \frac{15}{4}$
	↓	Wandle in einen gemischten Bruch um.
	$=$	$\displaystyle 3\frac{3}{4}$

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$17-\left[\frac2{3^3}-\frac{2^3}3+\left(-\frac23\right)^3\right]\cdot\left(-\frac56\right)\cdot\left(-\frac65\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

Berechne zuerst Potenzen.

$\displaystyle 17-\left[\frac{2}{3^3}-\frac{2^3}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^3\right]\cdot\left(-\frac{5}{6}\right)\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 17-\left[\frac{2}{27}-\frac{8}{3}+\left(-\frac{8}{27}\right)\right]\cdot\left(-\frac{5}{6}\right)\cdot\left(\frac{36}{25}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren der Potenzen.
	$=$	$\displaystyle 17-\left[\frac{2}{27}-\frac{8}{3}+\left(-\frac{8}{27}\right)\right]\cdot\left(-\frac{180}{150}\right)$
	↓	Kürze mit 30.
	$=$	$\displaystyle 17-\left[\frac{2}{27}-\frac{8}{3}+\left(-\frac{8}{27}\right)\right]\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)$
	↓	Bilde den gemeinsamen Hauptnenner in der Klammer (hier 27) und auf diesen erweitere.
	$=$	$\displaystyle 17-\left[\frac{2}{27}-\frac{72}{27}-\frac{8}{27}\right]\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)$
	$=$	$\displaystyle 17-\left(-\frac{78}{27}\right)\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)$
	↓	Erst multiplizieren, da gilt: Punkt vor Strich. Minus und Minus wird zu Plus.
	$=$	$\displaystyle 17-\frac{468}{135}$
	↓	Kürze mit 9.
	$=$	$\displaystyle 17-\frac{52}{15}$
	↓	17 in einen unechten Bruch umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \frac{255}{15}-\frac{52}{15}$
	$=$	$\displaystyle \frac{203}{15}$
	↓	Umwandeln in einen gemischten Bruch.
	$=$	$\displaystyle 13\frac{8}{15}$

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