Sachaufgaben zu linearen Gleichungen

Das Dreifache einer Zahl ist doppelt so groß wie die um $3$ verminderte Zahl. Wie lautet die Zahl?

Hans ist gerade 48 Jahre und sein Sohn Hänschen ist gerade 15 Jahre alt.

Nach wie vielen Jahren ist Hans doppelt so alt wie Hänschen dann ist? Und wie alt ist Hans dann?

Ein Auto fährt mit $100 \; \frac{km}{h}$ an einer Raststätte los. $10 \; min$ später startet ein Motorrad an derselben Raststätte mit $120 \; \frac{km}{h}$ . Wie viele Minuten nach Start des Motorrads überholt das Motorrad das Auto?

min

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Auto}=100\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\end{array}\end{array}

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Auto}=100\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\end{array}\end{array}

Nun musst du die zehn Minuten, die das Auto schon vor dem Motorrad gefahren ist, in Stunden umrechnen.

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Auto}=100\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\end{array}\end{array}

Aufstellung einer Gleichung

Du bezeichnest nun die Zeit, die das Motorrad benötigt, um das Auto zu überholen, als t.

Sowohl das Auto als auch das Motorrad sind bei dem Zeitpunkt der Überholung die selbe Strecke gefahren.

Du kannst also für beide Seiten deiner Gleichung eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit verwenden. Diese muss aber auf beiden Seiten nach der Strecke umgeformt werden, die sowohl das Motorrad, als auch das Auto seit dem Zeitpunkt der Überholung gefahren sind. Auf einer Seite deiner Gleichung verwendest du die Werte zur Geschwindigkeitsberechnung des Autos, auf der anderen Seite die für die Geschwindigkeitsberechnung des Motorrades.

Strecke mit Formel für das Auto

Du kannst mit der umgeformten Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Autos anfangen.Sie wird dann die eine Seite der Gleichung besetzen.

$\displaystyle v_{Auto}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{Strecke}{\dfrac{1}{6}h+t}$
$\displaystyle 100\ \frac{km}{h}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{Strecke}{\dfrac{1}{6}h+t}$	$\displaystyle \cdot\left(\frac{1}{6}h+t\right)$
$\displaystyle Strecke$	$=$	$\displaystyle 100\ \dfrac{km}{h}\cdot\ \left(\dfrac{1}{6}h+t\right)$

Strecke mit Formel für das Motorrad

Jetzt kannst du die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Motorrades nach der Strecke umformen. Sie besetzt dann die andere Seite deiner Gleichung.

$\displaystyle v_{Motorrad}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{Strecke}{t}$
$\displaystyle 120\ \frac{km}{h}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{Strecke}{t}$	$\displaystyle \cdot t$
$\displaystyle Strecke$	$=$	$\displaystyle 120\ \dfrac{km}{h}\cdot t$

Gleichung "Strecke Motorrad = Strecke Auto"

Nun kannst du die Gleichung aufstellen:

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Auto}=100\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\end{array}\end{array}

Auflösen der Gleichung

Die erhaltene Gleichung muss du jetzt nach der Zeit t auflösen:

$\displaystyle 120\ \dfrac{km}{h}\cdot t$	$=$	$\displaystyle 100\ \dfrac{km}{h}\cdot\left(\dfrac{1}{6}h+t\right)$
	↓	Multipliziere auf der rechten Seite die Klammern aus.
$\displaystyle 120\ \dfrac{km}{h}\cdot t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{100}{6}km\ +\ 100\ \dfrac{km}{h}\cdot t$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten
$\displaystyle 20\ \dfrac{km}{h}\cdot t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{100}{6}km$
	↓	Dividiere beide Seiten der Gleichung durch
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{100}{120}h$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{6}h$

Umrechnung von t in Minuten

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Auto}=100\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\end{array}\end{array}

Antwort:

50 Minuten nach dem Start überholt das Motorrad das Auto.

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In einem Verein mit 25 Mitgliedern haben 12 Mitglieder jeweils 2000€ eingezahlt. 12 weitere Mitglieder haben jeweils 1500€ beigesteuert. Auf dem Vereinskonto befinden sich 17000€. Wie ist das zu erklären? Führe eine Rechnung mit einem x-Ansatz durch!

Berechne jeweils die Winkel.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel an der Hypotenuse um 32° kleiner als der andere. Berechne den gesuchten Winkel.

Grad

In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der beiden spitzen Winkel halb so groß wie der andere.

In einem Dreieck ist $\alpha$ um 20° kleiner als $\beta$ und $\gamma$ doppelt so groß wie $\alpha$ .

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Berechne wie viel Geld Marco, Sabine, Volker und Lena haben.

Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Schreibe dir die Informationen aus der Angabe übersichtlich auf. Setze s als Variable für den Geldbetrag, den Sabine besitzt, denn in Bezug zu Sabine sind viele Angaben in der Aufgabenstellung gemacht worden.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s-2€$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2s$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2\cdot(s-2€)$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$s+(s-2€)+2s+2(s-2€)=66€$

Berechne mit dem Gesamtansatz nun $s$ .

$\displaystyle s+\left(s-2€\right)+2s+2\left(s-2€\right)$	$=$	$\displaystyle 66€$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle s+s-2€+2s+2s-4€$	$=$	$\displaystyle 66€$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6s-6€$	$=$	$\displaystyle 66€$	$\displaystyle +6€$
$\displaystyle 6s$	$=$	$\displaystyle 72€$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 12€$

Nachdem du $s=12€$ nun berechnet hast, kannst du berechnen, wie viel Geld die anderen Kinder haben.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s=12€$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s-2€=12€-2€=10€$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2s=2\cdot 12€=24€$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2(s-2€)=2\cdot 10€=20€$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$12€+10€+24€+20€=66€\;\checkmark$

Sabine hat also $12€$ , Marco hat $10€$ , Volker hat $24€$ und Lena hat $20€$ .

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Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

8
Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um $1\;\mathrm{cm}^2$ größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen und Lösen von Gleichungen
Variable einführen
a = Seite des Quadrats
Gleichung aufstellen
Drücke die Angaben mithilfe von a aus:
$a$ : Seite des Quadrats
$a+3$ : lange Seite des Rechtecks
$a-2$ : kurze Seite des Rechtecks
$a^2+1$ : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat
$(a+3)(a-2)$ : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten
Gleichung aufstellen:
"Quadrat + 1 = Rechteckfläche (Länge mal Breite)"
$a^2+1=\left(a+3\right)\left(a-2\right)$
Gleichung lösen
Gleichung umformen und Klammern ausmultiplizieren .
$a^2+1=a^2-2a+3a-6 \hspace{2cm}|-a^2$
$\hspace{0.75cm} 1 =\ a-6 \hspace{3.64cm}|+6$
$\hspace{0.75cm} 7 = a$
Lösung überprüfen:
Wenn die Quadratseite $7\ cm$ ist, dann wäre die Fläche des Quadrats $a^2=49\ cm^2$ und die Fläche vom Rechteck: $10\ cm\cdot5\ cm=50\ cm^2$ und damit $1\ cm^2$ größer als die Fläche des Quadrats.
Die Lösung stimmt also!
Antwortsatz
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.

Alex hat eine ungewöhnliche Abmachung mit seinen Eltern: Er erhält für jede Drei im Zeugnis einen bestimmten Geldbetrag von seinen Eltern, für eine Zwei bekommt er das Doppelte und für eine Eins sogar das Dreifache dieses Betrages. Für eine Vier bekommt er nichts, während für eine Fünf das Doppelte des Betrages für eine Zwei abgezogen werden und für eine Sechs das Vierfache des Betrages für eine Eins abgezogen werden. Im Zwischenzeugnis hat Alex folgende Noten: 1 mal Eins, 1 mal Zwei, 4 mal Drei, 2 mal Vier, 1 mal Fünf und 1 mal Sechs. Nachdem Alex in diesem Halbjahr so wenig erfolgreich war, werden ihm 42€ vom Taschengeld abgezogen. Berechne mit Hilfe eines x-Ansatzes, wieviel für jede Note berechnet wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung aufstellen

Alex bekommt einen "bestimmten Geldbetrag" für die Note 3. Abhängig von diesem Betrag werden alle anderen Geldbeträge berechnet. Wähle also:

$x$ = Geld für die Note 3.

Für die Note 2 bekommt Alex das Doppelte, also $2\cdot x$ .

Für die Note 1 bekommt Alex das Dreifache, also $3\cdot x$ .

Wenn Alex eine Note 4 im Zeugnis hat, bekommt er kein Geld. Es wird ihm aber auch nichts abgezogen, also $0€$ .

Für eine Note 5 muss Alex von seinem Taschengeld das Doppelte vom Betrag für eine Note 2 abziehen, also $-2\cdot\underbrace{(2\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 2}}=-4\cdot x$

Bei einer Note 6 wird Alex das Vierfache des Betrags für eine Note 1 abgezogen, also: $-4\cdot\underbrace{(3\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 1}}=-12\cdot x$

Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass Alex am Ende $42 €$ von seinem Taschengeld abgezogen werden. Im Zeugnis hat er:

eine Note 1
eine Note 2
viermal die Note 3
zweimal eine Note 4
eine Note 5
eine Note 6

Stelle damit einen Ansatz für die Berechnung von $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 1\cdot3x+1\cdot2x+4\cdot x+2\cdot 0€+1\cdot (-1\cdot2\cdot2x)+1\cdot (-1\cdot4\cdot3x)&=&-42€&\\ 3x+2x+4x-4x-12x&=&-42€&\\ -7x&=&-42€&|:(-7)\\x&=&6€&\end{array}$

Note	Betrag
1	$3\cdot 6€=18€$
2	$2\cdot 6€=12€$
3	$6€$
4	$0€$
5	$-2\cdot 2\cdot 6€=-24€$
6	$-4\cdot 3\cdot 6€=-72€$

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10
Entscheide jeweils, welche Größe der Sachaufgabe du als " $x$ " bezeichnen würdest.
1. Das dreifache einer Zahl ist um $7$ größer als die Zahl selbst. Wie groß ist die gesuchte Zahl?
  $x$ = gesuchte Zahl
  $x$ = das Dreifache
  $x=7$
  
  In so einem Zahlenrätsel ist es immer sinnvoll, die gesuchte Zahl als Variable zu nutzen.
  "Das Dreifache" oder "x=7" macht hier zum Lösen der Gleichung keinen Sinn.
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2. Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen $66$ €. Marco hat $2$ € weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Wie viel Geld haben Marco, Sabine, Volker und Lena?
  $x$ = Geld, das Sabine hat
  $x$ = Geld, das Marco hat
  $x$ = Geld, das Volker hat
  $x$ = Geld, das alle zusammen haben
  
  Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten:
  Man nimmt einen Geldbetrag, den einer der Personen besitzt. Von welcher Person der Geldbetrag x ist, ist egal.
  Je nach Bedeutung der Variable ändert sich die aufgestellte Gleichung. Die Lösung der Aufgabe bleibt aber gleich.
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3. Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils $3\ \mathrm{cm}$ und verkürzt die anderen Seiten um jeweils $2\ \mathrm{cm}$ , so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um $1\ \mathrm{cm}^2$ größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?
  $x$ = Seitenlänge des Quadrats
  $x$ = Flächeninhalt des Rechtecks
  $x$ = Flächeninhalt des Quadrats
  
  Am besten man nimmt hier x für die Seitenlänge des Quadrats. So hat man beim Lösen der Gleichung direkt die Lösung der Aufgabe. Die anderen Möglichkeiten erschweren die Aufgabe unnötig.
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Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl $17$ , so erhält man die Summe aus $75$ und dieser Zahl.
Stelle passend zum Zahlenrätsel eine lineare Gleichung auf.
(Du brauchst sie nicht lösen)

Variable einführen
Es geht um eine gesuchte Zahl. Am besten, du nutzt die gesuchte Zahl als Variable $x$ .
$x$ = gesuchte Zahl
Gleichung aufstellen
Markiere wichtige Aussagen im Text:
Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl 17, so erhält man die Summe aus 75 und dieser Zahl.
Schreibe eine Gleichung aus Worten auf:
Fünffache einer Zahl - 17 = 75 + diese Zahl
Schreibe die Gleichung in mathematischen Ausdrücken, indem du $x$ für die gesuchte Zahl einsetzt:
$5\ \cdot x\ -17\ =\ 75+x$
Führe zunächst für eine Größe die Variable $x$ ein.
Markiere anschließend die wichtigen Aussagen im Text, um die Gleichung aufzustellen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3\cdot x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x-3\right)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2x-2\cdot3$
	↓	Vereinfache den Term.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2x-6$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 3x-2x$	$=$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -6$

$\displaystyle 48\ +\ x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(15+x)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$\displaystyle 48\ +\ x$	$=$	$\displaystyle 30\ +\ 2\cdot x$	$\displaystyle -x-30$
$\displaystyle 18$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 48\ +\ x$
	$=$	$\displaystyle 48\ +\ 18$
	$=$	$\displaystyle 66$

$\displaystyle 12\cdot2000+12\cdot1500+x$	$=$	$\displaystyle 17000$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 24000+18000+x$	$=$	$\displaystyle 17000$
$\displaystyle 42000+x$	$=$	$\displaystyle 17000$	$\displaystyle -42000$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -25000$

$\displaystyle 90°$	$=$	$\displaystyle x-32°+x$	$\displaystyle +32°$
$\displaystyle 122°$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 61°$

Sachaufgaben zu linearen Gleichungen

Aufstellen der Gleichung

Lösen der Gleichung

Aufstellung einer Gleichung zur Berechnung von $x$

Lösung der Gleichung zur Berechnung von $x$

Aufstellen einer Gleichung zur Berechnung von $y$

Einsetzen von $x$ in die Gleichung zur Berechnung von $y$

Antwort:

Aufstellung einer Gleichung

Strecke mit Formel für das Auto

Strecke mit Formel für das Motorrad

Gleichung "Strecke Motorrad = Strecke Auto"

Auflösen der Gleichung

Umrechnung von t in Minuten

Antwort:

Dreieck

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Winkelsummen im Dreieck

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Variable einführen

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Lösung überprüfen:

Antwortsatz

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Variable einführen

Gleichung aufstellen

$\displaystyle \alpha+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -90°$
$\displaystyle \alpha+\beta$	$=$	$\displaystyle 90°$

$\displaystyle α$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\beta$
	↓	Gleichung in $α+β = 90°$ einsetzen
$\displaystyle \dfrac{1}{2}\ \beta+\beta$	$=$	$\displaystyle 90°$
	↓	$β$ zusammenzählen
$\displaystyle \dfrac{3}{2}\ \beta$	$=$	$\displaystyle 90°$	$\displaystyle :\dfrac{3}{2}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 60°$
$\displaystyle α$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}β=30°$

$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \beta-20°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 2\left(\beta-20°\right)$
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma$
$\displaystyle 180$	$=$	$\displaystyle \beta-20°+\beta+2\left(\beta-20°\right)$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle \beta-20°+\beta+2\beta-40°$
$\displaystyle 180°$	$=$	$\displaystyle 4\beta-60°$	$\displaystyle +60°$
$\displaystyle 240°$	$=$	$\displaystyle 4\beta$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 60°$
	↓	In Terme für $\alpha$ bzw. $\beta$ einsetzen und ausrechnen

$\displaystyle 3{,}22\ \mathrm{cm}+x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}$	$\displaystyle - 3{,}22\ \mathrm{cm}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}-3{,}22\ \mathrm{cm}$
	↓	Rechne die rechte Seite aus.
$\displaystyle x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 10{,}99\ \mathrm{cm}$

Sachaufgaben zu linearen Gleichungen

Aufstellen der Gleichung

Lösen der Gleichung

Aufstellung einer Gleichung zur Berechnung von xxx

Lösung der Gleichung zur Berechnung von xxx

Aufstellen einer Gleichung zur Berechnung von yyy

Einsetzen von xxx in die Gleichung zur Berechnung von yyy

Antwort:

Aufstellung einer Gleichung

Strecke mit Formel für das Auto

Strecke mit Formel für das Motorrad

Gleichung "Strecke Motorrad = Strecke Auto"

Auflösen der Gleichung

Umrechnung von t in Minuten

Antwort:

Dreieck

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Winkelsummen im Dreieck

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Variable einführen

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Lösung überprüfen:

Antwortsatz

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Variable einführen

Gleichung aufstellen

Aufstellung einer Gleichung zur Berechnung von $x$

Lösung der Gleichung zur Berechnung von $x$

Aufstellen einer Gleichung zur Berechnung von $y$

Einsetzen von $x$ in die Gleichung zur Berechnung von $y$