Gruppe A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Die Abbildung zeigt den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion $f$ , der aus dem Graphen der Funktion $x \mapsto \frac{1}{x}$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R} \backslash \{0\}$ durch Verschiebungen hervorgeht. Geben Sie einen passenden Funktionsterm für $f$ an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
Betrachte zunächst die in der Aufgabe angegebene Funktion: $x\mapsto \frac{1}{x}$
Vergleiche die Funktion mit der Abbildung. Offensichtlich wurde der Graph 2 LE nach unten verschoben.
Der Funktionsterm ändert sich also von $x\mapsto \frac{1}{x}$ zu $x\mapsto \frac{1}{x}-2$ .
Weiter wurde der Graph um 1 LE nach links verschoben.
Sodass sich der Funktionsterm von $x\mapsto \frac{1}{x}-2$ ändert zu $x\mapsto \frac{1}{x+1}-2$ Vorsicht
Im Nenner steht $x+1$ . Siehe hierzu den Artikel Funktionsgrahen verschieben.
Die gesuchte Funktion lautet demnach: $f(x)=\frac{1}{x+1}-2$
Die Lösung der Aufgabe ist $f=\frac{1}{x+1}-2$
2
Berechnen Sie jeweils alle Lösungen der Gleichung über der Grundmenge $\mathbb{R}$ , ohne die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zu verwenden. (je 1 BE)
a) $(x-2)^2=5$
b) $2x^2-6x=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung lösen
Tipp: Bedenke, dass du bei dieser Aufgabe weder die Mitternachtsformel, noch die pq-Formel verwenden darfst.
Teilaufgabe a)
$(x-2)^2=5$
Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Beachte, dass das Wurzelziehen zu zwei Lösungen führt.
$\sqrt{(x-2)^2}=\pm\sqrt{5}$
Vereinfache.
$x-2=\pm\sqrt{5}\quad\quad\quad|+2$
Stelle nach $x$ um.
$x_{1/2}=\pm\sqrt{5}+2$
Die Lösungen der Gleichung sind $x_{1}=2+\sqrt{5}$ und $x_{2}=2-\sqrt{5}$ .
Teilaufgabe b)
$2x^2-6x=0$
Hier kannst du $2x$ ausklammern.
$2x\cdot(x-3)=0$
Überlege dir für beide Faktoren, was du jeweils für $x$ einsetzen musst, damit dieser $0$ ergibt. Sobald mindestens ein Faktor $0$ ergibt, wird das gesamte Produkt $0$ und man erhält die Lösungen der Gleichung.
Die Lösungen der Gleichung sind $x_{1}=0$ und $x_{2}=3$ .
3
Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Aussage 1
Jedes Parallelogramm ist achsensymmetrisch.
Diese Aussage ist falsch.
Begründung: siehe Skizze
Aussage 2
Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
Diese Aussage ist wahr.
Begründung:
Ein Parallelogramm stellt ein punktsymmetrisches Viereck dar. Der Symmetriepunkt ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen.
Aussage 3
In jedem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.
Diese Aussage ist wahr.
Wie du in der Skizze siehst, sind die beiden türkisen und lilanen Seiten sind jeweils gleich lang (Wenn z.B. die einen Seiten nicht gleich läng wären, könnten die anderen nicht mehr parallel sein).
Aussage 4
In jedem Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.
Diese Aussage ist wahr
Du kannst dir das mit dieser Skizze veranschaulichen.
Warum die gegenüberliegenden Winkel in einem Parallelogramm gleichgroß sind, siehst du am besten, wenn du Wechselwinkel und Stufenwinkel betrachtest.
Aussage 5
In jedem Parallelogramm stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.
Diese Aussage ist falsch.
Gegenbeispiel:
Aussage 6
In jedem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.
Diese Aussage ist wahr.
Veranschaulichung: siehe Skizze
Das ganze zu begründen ist schon schwieriger. Der Grund ist nämlich, dass ein Parallelogram punktsymmtrisch ist, wobei der Symmetriepunkt der Mittelpunkt der Diagonalen ist.
Somit sind die erste und die vorletzte Aussage falsch, die übrigen sind wahr.
Zur Veranschaulichung ist es hilfreich, wenn du zuerst ein Parallelogramm zeichnest.
4
An der Bliggspitze (3354m) in den Ötztaler Alpen besteht die Gefahr, dass ungefähr vier Millionen Kubikmeter Gestein in Richtung Tal abrutschen. Diese Gesteinsmenge lässt sich durch einen Würfel gleichen Volumens veranschaulichen. Kreuzen Sie denjenigen Wert an, der der Kantenlänge dieses Würfels am nächsten kommt. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass 4 Millionen Kubikmeter Gestein ins Tal zu rutschen drohen. Nun willst du einen Würfels finden, in den die ganze Menge an Gestein passt. In der Aufgabe wird danach gefragt, welche angegeben Kantenlängen der Kantenlänge dieses Würfels am nächsten kommt.
Als erstes schreibst du 4 Millionen Kubikmeter als Zahl:
Suche die Formel für das Volumen eines Würfels und stelle sie nach der Kantenlänge ( $=a$ ) um:
Jetzt versuchst du, einen Bereich zu finden, in dem der Wert der Wurzel liegt.
Dafür vereinfachst du am besten die Wurzel, indem du sie aufteilst: Jetzt kannst du den zweiten Teil berechnen: Beim Wurzelziehen ändert sich hier die Einheit von $m^3$ zu $m$ .
Daraus folgt: Versuche nun den Wert von $\sqrt[3]{4}$ zu schätzen bzw. zu überschlagen. Überlege dir dafür Zahlen, deren dritte Wurzel du kennst und von denen eine größer als $\sqrt[3]{4}$ ist und eine kleiner $\sqrt[3]{4}$ ist.
Du weißt, dass $\sqrt[3]{1}=1$ und $\sqrt[3]{8}=2$ und dass $\sqrt[3]{4}$ zwischen diesen Werten liegt. Daher gilt: Wenn du dies jetzt mit den $100 \;m$ multiplizierst, folgt:
Da in der Aufgabe der Wert, der der Kantenlänge am nächsten kommt, gesucht wird, erkennst du jetzt, dass nur die Werte $100 \;m$ und $150 \;m$ mögliche Ergebnisse sein können.
Jetzt rechnest du das Volumen der Würfel mit diesen Kantenlängen, mithilfe der schriftlichen Multiplikation aus, und findest so die Kantenlänge, dessen Würfelvolumen näher an $4\;000\;000 \;m^3$ liegt.
Jetzt siehst du, dass der zweite Wert $3\;375\;000\;m^3$ näher an $4\;000\;000 \;m^3$ liegt. Daher weißt du, dass dieser Wert der Kantenlänge dieses Würfels am nächsten kommt. Die richtige Lösung ist also $150 \;m$ .
5
Bestimmen Sie für $\tan(20°)$ mithilfe einer beschrifteten Zeichnung sowie geeigneter Messungen einen möglichst genauen Näherungswert. Geben Sie Ihren Näherungswert in dezimaler Schreibweise mit zwei Nachkommastellen an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangens
Zeichnen des rechtwinkligen Dreiecks
Der Tangens gilt in rechtwinkligen Dreiecken. Daher ist es sinnvoll, ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $20°$ zu zeichnen.
Hierzu benötigst du dein Geodreieck.
Zeichne also eine Seite mit einer Länge deiner Wahl ( $10cm$ eignen sich sehr gut, weil man damit sehr gut rechnen kann!). Diese Seite soll eine Kathete werden und wir nennen sie $a$ .
An dieser Seite soll der $20°$ Winkel anliegen.
Zeichne damit das rechtwinklige Dreieck fertig. Du solltest folgende Situation erhalten:
Bestimmen von $\tan{20°}$
Verwende die Definition des Tangens in diesem rechtwinkligen Dreieck. Du erhältst
$\tan20°=\frac{\text{Gegenkathete von }20°}{\text{Ankathete von }20°}=\frac{b}{a}=\frac{b}{10cm}$ .
Miss also noch $b$ mithilfe deines Geodreiecks.
Du solltest ca. $3{,}6cm$ erhalten.
Damit erhältst du $\tan20°=\frac{3{,}6cm}{10cm}=0{,}36$ .
Der $\tan20°$ beträgt auf zwei Nachkommastellen genau $\tan20°=0{,}36$ .

Hannah schreibt eine Folge von Gleichungen auf:

Stellen Sie unter Verwendung einer Variablen $n$ eine möglichst einfache Gleichung auf, die für n=1, n=2 und n=3 die angegebenen Gleichungen (1), (2) bzw. (3) liefert.Untersuchen Sie, ob die von Ihnen aufgestellte Gleichung für jede beliebige natürliche Zahl n (n = 1, 2, 3, 4, 5, …) richtig ist. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Variablen

Aufstellen einer Gleichung mit Variable n

Die Aufgabe ist, eine Formel mit der Variablen $n$ aufzustellen, die die Gleichungen $(1)$ bis $(3)$ verallgemeinert. Deshalb solltest du erst einmal die drei Gleichungen untersuchen. Versuche dabei herauszufinden, welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede die Gleichungen haben.

Als erstes fällt dir vermutlich auf, dass alle drei Formeln die gleiche Form haben. Am Ende sollte also auch die allgemeine Formel diese Form haben.

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

$\Rightarrow$ allgemeine Formel:

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

Als nächstes siehst du wahrscheinlich, dass die Zähler aller Brüche in den Formeln den Wert $1$ haben.

Da die Zähler also unveränderlich sind, sollten auch die Zähler der Brüche in der allgemeinen Formel gleich $1$ sein.

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

$\Rightarrow$ allgemeine Formel:

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

Betrachte nun die Nenner in den Brüchen der drei Formeln. Du siehst, dass der Nenner des Minuenden immer gleich der ersten Zahl im Nenner rechts ist.

Veränderst du also eine der beiden Zahlen, musst du automatisch auch die andere verändern um die Form (und auch die Richtigkeit) der Formel beizubehalten.

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

$\Rightarrow$ allgemeine Formel:

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

Bleiben nun also noch die letzten beiden Zahlen der drei Formeln (also der Nenner des Subtrahenden und die zweite Zahl im Nenner der rechten Seite) zu betrachten.

Du kannst sehen, dass sie jeweils um $1$ größer sind als die Zahlen, die wir eben durch $n$ ersetzt haben. Folgerichtig ersetzen wir sie durch $(n+1)$

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

$\Rightarrow$ allgemeine Formel:

\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}

Nachweis für die Zahlen aus $(1)$ - $(3)$

$\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}$
	↓	Prüfe ob die gefundene Formel für $(2)$ (mit $n=2$ ) gültig ist.
$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot\left(2+1\right)}$
	↓	Wenn du $2+1$ verrechnest, ist die Gleichung wie gewünscht.
$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}$
	↓	Auch für $(3)$ (mit $n=3$ ) muss die Formel gültig sein.
$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3\cdot\left(3+1\right)}$
	↓	Wenn du $3+1$ verrechnest, ist die Gleichung wie gewünscht.
$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3\cdot4}$

Korrektheit für eine beliebige natürliche Zahl

$\displaystyle \frac{1}{n}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n+1}$
	↓	Beim Subtrahieren von Brüchen ist der Nenner entscheidend. Erweitere deswegen den Zähler und Nenner jedes Bruchs mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs.
	$=$	$\displaystyle \frac{n+1}{n\cdot\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\cdot\left(n+1\right)}$
	↓	Wir erhalten einen gemeinsamen Nenner. Schreibe nun beide Zähler auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{n+1-n}{n\cdot\left(n+1\right)}$
	↓	Verrechne den Zähler und du erhältst den gewünschten Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}$

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7
Verkehrsmittel stoßen weltweit eine große Menge von Treibhausgasen aus. Die Abbildung zeigt für verschiedene Verkehrsmittel, wie viele Kilogramm Treibhausgase durchschnittlich pro Benutzer und $100\ km$ zurückgelegter Wegstrecke ausgestoßen werden.
1. Ermitteln Sie für das Verkehrsmittel Auto auf der Grundlage der Abbildung, wie viele Kilogramm Treibhausgase pro Benutzer und $300\ km$ zurückgelegter Wegstrecke durchschnittlich ausgestoßen werden. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Säulendiagramm
  Im Diagramm kannst du ablesen, dass mit dem Verkehrsmittel Auto durchschnittlich $14\ kg$ Treibhausgase pro $100\ km$ pro Benutzer ausgestoßen werden.
  $300\ km$ ist die dreifache Wegstrecke: $3\cdot 100 = 300$ . Deshalb wird auch die dreifache Menge Treibhausgase ausgestoßen. Multipliziere also die Menge der Treibhausgase mit $3$ :
  $14 \text{ kg} \cdot 3= 42 \text{ kg}$
  Mit dem Auto werden in $300\ km$ durchschnittlich $42\ kg$ Treibhausgase pro Benutzer ausgestoßen.
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2. In der Abbildung ist für den Bus ein geringerer Wert angegeben als für das Auto. Machen Sie dies im Sachzusammenhang plausibel. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Säulendiagramm
  Die Angaben im Diagramm sind pro Benutzer. In einem Bus können deutlich mehr Menschen gleichzeitig fahren als in einem Auto. Damit werden beim Bus die gesamten Treibhausgase auf mehr Benutzer aufgeteilt als beim Auto, weswegen jeder einzelne Nutzer eine kleinere Treibhausgasmenge bekommt.
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3. Bei der Erstellung der Abbildung wurde für das Flugzeug angenommen, dass auf jedem Flug $75\ \%$ der verfügbaren Plätze besetzt sind. Bestimmen Sie den Zahlenwert, der in der Abbildung für das Flugzeug angegeben werden müsste, wenn man annehmen würde, dass auf jedem Flug nur $50\ \%$ der Plätze besetzt sind. (2 BE)
  
  Wenn man annimmt, dass $75\ \%$ eines Flugzeugs besetzt sind, ist der durchschnittliche Treibhausgasausstoß pro Person $24\ kg$ .
  Jetzt ermittelst du den durchschnittlichen Treibhausgasausstoß pro Person, wenn das Flugzeug zu $100 \;\%$ besetzt ist. Diesen berechnest du mit: $24 \text{ kg} \cdot 0{,}75 = 18 \text{ kg}$
  Wenn du den durchschnittlichen Treibhausgasausstoß pro Person berechnen willst, wenn $50\ \%$ des Flugzeuges besetzt sind, rechnest du: $18\text{ kg}:0{,}5=36\text{ kg}$
  Bei $50\ \%$ Besetzung müsste man in das Diagramm $36\ \text{kg}$ eintragen.
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8
Maximilian soll für ein Quadrat der Seitenlänge $s$ einen möglichst einfachen Term für die Länge $d$ der Diagonale des Quadrats bestimmen. Er rechnet:
Maximilians Mitschülerin Sophie erkennt, dass seine Rechnung einen Fehler enthält.
1. Ergänzen Sie sinnvoll, was Sophie zu Maximilian sagen könnte (2 BE) :
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
  Schau dir zunächst einmal eine Zeichnung von einem halben Quadrat an.
  Wie du siehst haben wir hier ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleich langen Seiten $s$ . Maximilian hatte hier einen korrekten Ansatz die Diagonale $d$ mit Hilfe des Satzes von Pythagoras zu bestimmen:
  Eine Lösung für die erste Lücke lautet also "den Satz des Pythagoras".
  Eine weitere mögliche Lösung für die erste Lücke könnten auch "die Wurzelgesetze" sein, da Maximilian offensichtlich versucht hat seine Gleichung mit Hilfe der Wurzelgesetze zu lösen.
  Um die zweite Lücke bestimmen zu können, ist es hilfreich die Zeichnung zu erweitern.
  Wenn Maximilians Berechnungen richtig wären, würde das bedeuten, dass $d$ doppelt so lang wie $s$ ist. In der Zeichung kannst du sehen, dass das nicht der Fall ist.
  In die Lücke kannst du also zum Beiespiel "nicht 2 mal so lang wie s ist" oder "nicht doppelt so lang wie s ist" eintragen.
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  Tipp: Verschaffe dir für diese Aufgabe eine bessere Übersicht, indem du eine Zeichnung von einem Quadrat anfertigst. Findest du noch andere geometrische Figuren in deiner Zeichnung?
2. Stellen Sie Maximilians Rechnung richtig, indem Sie den Term für $d$ korrekt umformen und so weit wie möglich vereinfachen (1 BE) :
  
  Die korrekte Lösung der Gleichung erhältst du, wenn du die beiden $s^2$ unter der Wurzel erst addierst, bevor du die Wurzel ziehst:
  $d=\sqrt{s^2\;+s^2}=\sqrt{2s^2}$
  Vorsicht beim Wurzelziehen. $\sqrt2$ kann nicht gezogen werden, ohne Dezimalschreibweise. Ziehe die Wurzel nur von $s^2$ .
  $d=\sqrt{2}s$
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9
Für ein WM-Endspiel finden in Berlin, Kapstadt und Tokio Public-Viewing-Veranstaltungen statt. Im Internet findet man folgende Vorhersage, die sich auf das Wetter während des Spiels bezieht:
Zum Beispiel bedeutet die Angabe „ $60\ \%$ “: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es während des Spiels in Berlin mindestens einmal regnet (z. B. in Form eines Schauers), beträgt $60\ \%$ .
1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es während des Spiels in Tokio nicht regnet. (1 BE)
  
  Du willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass es in Tokio während des Spiels nicht regnet. Also suchst du $P("In \;Tokio \;regnet \;es\; nicht")$ .
  Du weißt, dass dies das Gegenteil von "Es regnet in Tokio" ist. Somit ist "In Tokio regnet es nicht" das Gegenereignis von "Es regnet in Tokio". Außerdem kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es in Tokio regnet $10\ \%$ ist. Also: $P("Es \;regnet\; in\; Tokio")=10~\%=0{,}1$
  Jetzt kannst du die Formel für das Gegenereignis verwenden:
  In diese setzt du jetzt ein:
  Also ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es während des Spiels in Tokio nicht regnet $90\ \%$ .
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2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit (in Prozent) dafür, dass es während des Spiels in keiner dieser drei Städte regnet. (2 BE)
  
  Du willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass es während des Spiels in keiner der drei Städte regnet. Wie in Teilaufgabe a) berechnest du für jede Stadt die Wahrscheinlichkeit, dass es während des Spiels dort nicht regnet.
  Zeichne jetzt ein Baumdiagramm. Wähle dafür als Stufen Tokio, Berlin und Kapstadt. Als Ereignisse nimmst du jeweils "es regnet" und "es regnet nicht". Dadurch entsteht ein Baumdiagramm, in dem du die verschiedenen Wetterkombinationen der drei Städte sehen kannst. Das Baumdiagramm sieht dann wie folgt aus:
  Du möchtest jetzt die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass es in keiner der drei Städte regnet. Das ist der rot markierte Pfad im Baumdiagramm. Um diesen Pfad zu berechnen, benutzt du die 1. Pfadregel. Du musst also die einzelnen Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad multiplizieren:
  Die Wahrscheinlichkeit, dass es während des Spiels in keiner der drei Städte regnet ist $18\ \%$ .
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