Aufgaben zur Flächenberechnung mittels Integral

Im Bereich $x=0$ bis $x=1$ hat die Funktion $f(x)=x^3$ keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.

$f(x)=x^3$ , $a=0$ , $b=1$

Integral aufstellen.

$\int_0^1x^3\mathrm{d}x=\left[\frac{x^4}4\right]_0^1$

In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

$=\left(\frac{1^4}4\right)-\left(\frac{0^4}4\right)$

Zähler berechnen.

$=\frac14$

Die Fläche zwischen der $x$-Achse und $G_f$ beträgt $A=\dfrac{1}{4}\; \text{FE}$.

Im Bereich $x=1$ bis $x=2$ ist die Funktion $f(x)=x^3$ positiv und hat keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.

$f(x)=x^3$ , $a=1$ , $b=2$

Integral aufstellen.

$\int_1^2 x^3\mathrm{d}x=\left[\frac14x^4\right]_1^2$

Integrieren.

In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

$=\frac142^4-\frac141^4$

Potenzen berechen.

$=\frac{16}4-\frac14$

$=\frac{15}4=3{,}75$

Die Fläche zwischen der x-Achse und $G_f​$ beträgt $A=3{,}75\;\text{FE}$.

Im Bereich $x=-1$ bis $x=0$ hat die Funktion $f(x)=-x^2+x$ nur die Nullstelle $x=0$.

Für die linke Integralgrenze gilt: $f(-1)=-2$. Die gesuchte Fläche liegt somit unterhalb der x-Achse.

$f(x)=-x^2+x$ , $a=-1$ , $b=0$

Integral aufstellen und integrieren:

$\displaystyle\int_{-1}^0-x^2+x\ \mathrm{d}x=\left[-\frac13x^3+\frac12x^2\right]_{-1}^0$

In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-1) gerechnet.

$=\left(-\frac{1}{3}\cdot0^3+\frac{1}{2}\cdot0^2\right)-\left(-\frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)^3+\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)^2\right)$

Die erste Klammer ist gleich $"0"$ diese bleibt und auch das Vorzeichen ( - ) vor der zweiten Klammer.

$=0-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)$

Hauptnenner (6) bilden und beide Brüche auf diesen erweitern.

$=0-\left(\frac{2}{6}+\frac{3}{6}\right)=-\frac{5}{6}$

Die Fläche zwischen der x-Achse und $G_f​$ beträgt $A=\vert-\frac{5}{6}\vert=\frac{5}{6}\;\text{FE}$.