Flächeninhalt und bestimmtes Integral
Bestimmtes Integral, Integralfunktion
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Berechnung von Flächeninhalten
Aufgaben zu Integral- und Stammfunktionen
Aufgaben zur Flächenberechnung mittels Integral
Aufgaben zur näherungsweisen Bestimmung von Integralen und Flächen
Aufgaben zu Integral und Flächenbilanz
- 1
Berechne die zwischen Gf und der x-Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen f:
f(x)=2−x−x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x)=2−x−x2
Mit der x-Achse (y=0) gleichsetzen.
−x2−x+2 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x1,2 = 2⋅(−1)1±(−1)2−4⋅(−1)⋅2 ↓ = −21±1+8 ↓ = −21±3 x1=−21+3=−2
x2=−21−3=1
Flächenberechnung
Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral.
A = ∫−21(−x2−x+2)dx ↓ Bestimme die Stammfunktion.
= [−3x3−2x2+2x]−21 ↓ In die Klammer wird für x der rechte Schnittpunkt (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (-2) gerechnet.
= (−313−212+2⋅1)−(−3(−2)3−2(−2)2+2⋅(−2)) ↓ Zähler berechnen.
= (−31−21+2)−(−3−8−24−4) ↓ Klammern auflösen.
= −31−21+2−38+24+4 ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= −39+23+6 = 29 = 4,5 Hast du eine Frage oder Feedback?
f:x↦x2⋅(x+2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x)=x2⋅(x+2)
Zur Ermittlung der Nullstellen der Funktion, betrachte die beiden Faktoren getrennt voneinander, d.h. setze beide Faktoren gleich Null.
x2 = 0 x1,2 = 0 An der Stelle x=0 ist also eine zweifache Nullstelle.
x+2 = 0 −2 x3 = −2 An der Stelle x=−2 ist eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
Flächenberechnung
Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral. Multipliziere f zuerst aus, um die Intergration zu vereinfachen.
f(x) = x2⋅(x+2) ↓ Multipliziere die Faktoren der Funktion aus, um die Funktion leichter integrieren zu können.
= x3+2x2 Stelle das bestimmte Integral mit den Nullstellen -2 und 0 als Grenzen auf.
A = ∫−20(x3+2x2)dx ↓ Ermittle die Stammfunktion.
= [41x4+2⋅31x3]−20 ↓ In die Klammer wird für x die rechte Schnittstelle (0) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Schnittstelle (−2) gerechnet.
= 0−(41(−2)4+31⋅2(−2)3) = −(416−316) ↓ Bilde den Hauptnenner und löse die Klammer auf.
= −1248+1264 ↓ Addiere die Summanden.
= 1216 ↓ Kürze den Bruch.
= 34 Die eingeschlossene Fläche ist 34 Flächeneinheiten groß.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Begründe, warum es kein k∈R+ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:
∫0k(x2+1) dx=−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
Wir haben hier ein Integral, bei dem die obere Grenze größer als die untere ist. Damit dieses Integral in einem beliebigen Abschnitt negativ wird, muss die Funktion in diesem Bereich einen größeren Flächeninhalt unterhalb der x-Achse haben als oberhalb. Das kann nur geschehen, wenn es negative Funktionswerte gibt.
Da f(x)=x2+1 eine nach oben geöffnete Parabel ist, die sich vollständig oberhalb der x-Achse befindet, sind aber alle Funktionswerte positiv.
- 3
Sei die Funktion f:x↦(x+1)3−1 gegeben. Bestimme die Fläche, die von f und ihrer Umkehrfunktion f−1 eingeschlossen wird.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Lösung 1
Bestimme jetzt die Umkehrfunktion
Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion von f wirst du die Umkehrung der dritten Potenz brauchen. Daher gibt es schon mal eine Berechnung dazu.
Damit kennst du die Umkehrung der dritten Potenz: ist f(x)=x3, so ist
f−1(x)=3x=x1/3 für x≥0 und
f−1(x)=−3−x=−(−x)1/3 für x<0.
Berechnung der Umkehrfunktion von f
Unterscheide die Fälle x+1≥0⇔x≥−1 und x<−1.
Für x≥−1 hast du
y = (x+1)3−1 +1 y+1 = (x+1)3 3 3y+1 = x+1 −1 3y+1−1 = x f−1(x) = 3x+1−1 = (x+1)1/3−1 Für x<−1 ist entsprechend
y = (x+1)3−1 +1 y+1 = (x+1)3 ↓ Umkehren wie oben
−3−(y+1) = x+1 −1 −3−(y+1)−1 = x f−1(x) = −3−(x+1)−1 = −(−(x+1))1/3−1 Flächenberechnung
Bestimme die Schnittpunkte. Weil (3x+1)3=(−3−(x+1))3=x+1 ist, reicht eine Rechnung ab der dritten Zeile:
(x+1)3−1 = 3x+1−1 +1 (x+1)3 = 3x+1 3 ↓ Sei x=−1.
(x+1)9 = x+1 :(x+1) (x+1)8 = 1 8 x+1 = ±1 −1 x1 = 0 x2 = −2 ↓ Betrachte den Fall x=−1.
(−1+1)3−1 = 3−1+1−1 x3 = −1 Berechne jetzt die Fläche A zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zunächst für x≥−1. Für −1≤x≤0 ist f(x)≤f−1(x).
A1 = ∫−10f(x)−f−1(x)dx = ∫−10(3x+1−1−(x+1)3+1)dx = ∫−10((x+1)1/3−(x+1)3)dx = [1+311(x+1)31+1−41(x+1)4]−10 = 43(0+1)4/3−41(0+1)4−43(−1+1)4/3+41(−1+1)4 = 43−41 = 21 Im Bereich −2≤x≤−1 ist f−1(x)≤f(x). Wie du sofort durch Ableiten bestätigst, ist 43(−(x−1))4/3 eine Stammfunktion zu f−1(x).
A2 = ∫−2−1f(x)−f−1(x)dx = ∫−2−1(x+1)3−1−(−3−(x+1)−1)dx = ∫−2−1((x+1)3+(−(x+1))1/3)dx = [41(x+1)4−43(−(x+1))4/3]−2−1 = 41(−1+1)4−43(−1+1)4/3−41(−2+1)4+43(−2+1)4/3 = −41+43 = 21 Die Gesamtfläche A ist also A=A1+A2=21+21=1.
In der Skizze erkennt man den Verlauf der Graphen von f und f−1.
Lösung 2
Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auseinander hervor. Daher müssen ihre Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden y=x liegen und können durch den Schnitt des Graphen von f mit der Geraden y=x berechnet werden. Da die Graphen von f und f−1 die Winkelhalbierende als Symmetrieachse besitzen, ist die Fläche zwischen Ihnen genau doppelt so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von f und der Winkelhalbierenden.
Berechnung der Schnittpunkte
f(x) = x ↓ Ausmultiplizieren
x3+3x2+3x+1−1 = x −x ↓ Ordnen
x3+3x2+2x = 0 ↓ x ausklammern
x(x2+3x+2) = 0 ↓ p-q-Formel oder raten
x(x+1)(x+2) = 0 Die Schnittpunkte sind also (−2;−2), (−1;−1) und (0;0).
Flächenberechnung
Die Berechnung der Fläche wird wieder in zwei Schritten vorgenommen.
A1 ↓ wegen der Symmetrie wird das Integral verdoppelt
= 2∫−2−1((x+1)3−1−x)dx = 2[41(x+1)4−x−21x2]−2−1 = 241(−1+1)4−(−1)−21(−1)2−41(−2+1)4+(−2)+21(−2)2 = 21−21−41−2+2 = 2⋅41 = 21 A2 ↓ wie oben
= 2∫−10((x+1)3−1−x)dx = 2[41(x+1)4−x−21x2]−10 = 241(0+1)4−0−2102−41(−1+1)4−1+21(−1)2 = 241−1+21 = 2−41 = 21 Die Gesamtfläche ist wieder A=A1+A2=1.
Lösung 3
Die Funktion f geht aus g(x)=x3 dadurch hervor, dass der Graph um je eine Einheit in x- und y-Richtung verschoben wird. Dieselbe Verschiebung ändert die Winkelhalbierende nicht. Daher ist die Fläche A genauso groß wie die zwischen dem Graphen von g und Ihrer Umkehrfunktion.
Dieselbe Überlegung wie bei Lösung 2 zeigt, dass die Fläche A doppelt so groß ist wie die Fläche zwischen dem Graphen von g und der Winkelhalbierenden.
g ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung, daher ist die Gesamtfläche viermal so groß wie die Fläche zwischen g und y=x im ersten Quadranten.
Die Schnittpunkte sind (0;0) und (1;1).
Der Flächeninhalt unter der Winkelhalbierenden ist 21.
Der Flächeninhalt unter dem Graphen von g ist ∫01x3dx=41x401=41.
Die Fläche dazwischen hat den Inhalt 41, und weil das ein Viertel der Gesamtfläche ist, ist A=4⋅41=1.
Hier findet man drei Lösungswege dieser Aufgabe: zunächst relativ stur durchgerechnet, dann einfacher unter Ausnutzung von Symmetrien und dann noch einfacher unter Ausnutzung von noch mehr Symmetrien.
- 4
a(x)=6−241x2,Da=R
Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen Ga und der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zwischen Graphen
Nullstellen berechnen
Berechne zuerst die Nullstellen.
Flächenstück bestimmen
Bestimme nun den Flächeninhalt des Flächenstücks.
a(x)=6−241x2
Flächenstück wird durch die Schnittpunkte begrenzt.Ansatz für die Fläche A.
A(x) = ∫−1212(6−241x2)dx ↓ = [6x−24⋅31x3]−1212 ↓ In die Klammer wird für x die rechte Grenze (12) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (-12) gerechnet.
= (6⋅12−24⋅31⋅123)−(6⋅(−12)−24⋅31⋅(−12)3) ↓ Ausmultiplizieren.
= 72−721728+72−721728 ↓ = 72−24+72−24 = 96 ⇒ Das Flächenstück beinhaltet 96 FE.
- 5
Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.
f:x↦x2−4x+1 ;
g:x↦−x2+6x−7 ; Df=Dg=R
Schnittpunkte berechnen
f(x)=x2−4x+1
g(x)=−x2+6x−7 ; Df=Dg=R
Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln.
f(x) = g(x) x2−4x+1 = −x2+6x−7 ↓ Umformen.
2x2−10x+8 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x1/2 = 2⋅210±(−10)2−4⋅2⋅8 = 410±36 = 410±6 x1=4x2=1
x1 und x2 sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die man dann nachher in das Integral einsetzt.
Fläche berechnen
A = ∫14((−x2+6x−7)−(x2−4x+1))dx = ∫14(−x2+6x−7−x2+4x−1)dx ↓ Löse auf und fasse zusammen.
= ∫14(−2x2+10x−8)dx ↓ Integriere
= [−32x3+210x2−8x]14 = (−32⋅(4)3+210⋅(4)2−8⋅(4))−(−32⋅(1)3+210⋅(1)2−8⋅(1)) = (−32⋅64+210⋅16−32)−(−32⋅1+210⋅1−8) = −3128+48+32+3 = 9 ⇒ Die ermittelte Fläche zwischen den Graphen beträgt 9 FE.
- 6
Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.
Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt HOP=(0∣1) und dem Tiefpunkt TIP=(2∣−3) .
Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.
Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Berechne nun A.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Funktionsterme bestimmen
Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades f(x) mit dem Hochpunkt HP(0∣1) (hier ist f′(x)=0) und dem Tiefpunkt TP(2∣−3) (hier ist f′(x)=0). Trage diese Informationen in eine Tabelle ein.
x
f(x)
f'(x)
(I)
0
1
(II)
0
0
(III)
2
-3
(IV)
2
0
Die allgemeine Funktion 3. Grades lautet:
f(x)=ax3+bx2+cx+d und die erste Ableitung ist dann:
f′(x)=3ax2+2bx+c
Nach der Tabelle ergibt die Gleichung (I):
1=a⋅0+b⋅0+c⋅0+d⇒d=1
Gleichung (II) ergibt: 0=3a⋅0+2b⋅0+c⇒c=0
Gleichung (III) ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
−3=a⋅23+b⋅22+0⋅2+1⇒−3=8a+4b+1⇒−4=8a+4b⇒−1=2a+b⇒b=−1−2a
Gleichung (IV) ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
0=3a⋅22+2b⋅2+0⇒0=12a+4b⇒0=3a+b
Das Ergebnis aus Gleichung (III) b=−1−2a in (IV) 0=3a+b eingesetzt ergibt:
0=3a+(−1−2a)=3a−1−2a=a−1⇒a=1
Mit a=1 folgt in (III): b=−1−2⋅1=−3
Antwort: Die Funktion 3. Grades lautet: f(x)=x3−3x2+1
Zum "blauen Graphen" gehört eine lineare Funktion g(x). Aus der Abbildung kannst du die Steigung m=1 und den y-Achsenabschnitt t=−2 ablesen: ⇒g(x)=x−2
Antwort: Die Gleichung der linearen Funktion lautet: g(x)=x−2
Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen
"Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen". Deshalb können die Schnittpunkte aus der Abbildung abgelesen werden.
Antwort: Die Schnittpunkte haben folgende Koordinaten: S1(−1∣−3);S2(1∣−1);S3(3∣1)
Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Flächeninhalt:
A=A1+A2=∫−11(f(x)−g(x))dx+∫13(g(x)−f(x))dx
Berechnung von A:
f(x)−g(x)=x3−3x2+1−(x−2)=x3−3x2−x+3
g(x)−f(x)=−(f(x)−g(x))=−(x3−3x2−x+3)=−x3+3x2+x−3
A1=∫−11(x3−3x2−x+3)dx=[41⋅x4−x3−21⋅x2+3x]−11
=(41−1−21+3)−(41−(−1)−21+3⋅(−1))=1,75−(−2,25)=4
A2=∫13(−x3+3x2+x−3)dx=[−41⋅x4+x3+21⋅x2−3x]13
=(−41⋅34+33+21⋅32−3⋅3)−(−41+1+21−3)=2,25−(−1,75)=4
Agesamt=A1+A2=4+4=8
Antwort: Der von den beiden Graphen eingeschlossene Flächeninhalt beträgt 8FE.
- 7
Die Parabel mit dem Scheitel S=(−2∣−3) und der Graph der Funktion f mit f(x)=1+0,5⋅x3 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.
Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.
Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms
Gegeben ist der Scheitel S(−2∣−3) der Parabel. Benutze die Scheitelpunktsform.
g(x)=a⋅(x+2)2−3
Setze den aus der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt mit der y-Achse Sy(0∣−1) ein.
g(0)=−1
⇒g(0)=a⋅(0+2)2−3=4a−3=−1⇒4a=2⇒a=21
g(x)=21⋅(x+2)2−3=21⋅(x2+4x+4)−3=21⋅x2+2x−1
Antwort: Die Parabel hat die Funktionsgleichung g(x)=21⋅x2+2x−1
Berechnung aller Schnittpunkte
Setze f(x)=g(x).
1+21⋅x3 = 21⋅x2+2x−1 −21⋅x2−2x+1 ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
21⋅x3−21⋅x2−2x+2 = 0 ⋅2 x3−x2−4x+4 = 0 Du hast eine Gleichung 3. Grades erhalten. Die Lösung erfolgt durch Polynomdivision.
Eine Lösung ist leicht zu finden (probieren):
Setze x=1 in die Gleichung ein⇒13−12−4⋅1+4=0✓
Teile nun (x3−x2−4x+4) durch den Linearfaktor (x−1):
(x3−x2−4x+4):(x−1)=x2−4−(x3−x2)0+0−4x+4(x3−(−4x+4)(x3−x2−40+0
Die verbleibende Gleichung x2−4=0 hat die beiden Lösungen x2,3=±2.
Berechne die Funktionswerte:
f(1)=1+21⋅13=1,5
f(−2)=−3 (siehe gegebenen Scheitelpunkt)
f(2)=1+21⋅23=5
Antwort: Die drei Schnittpunktskoordinaten lauten: S1(1∣1,5);S2(−2∣−3);S3(2∣5)
Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben?
Da drei Schnittpunkte existieren, gibt es zwei Flächen, die die beiden Graphen einschließen. (In der obigen Abbildung ist die zweite Fläche nicht sehr deutlich erkennbar.)
A=A1+A2=∫−21(f(x)−g(x))dx+∫12(g(x)−f(x))dx
Berechnung von A1
Die 2. Zeile bei der Schnittpunktsberechnung ergibt:
f(x)−g(x)=21⋅x3−21⋅x2−2x+2
A1=∫−21(f(x)−g(x))dx
Setze f(x)−g(x) ein:
A=∫−21(21⋅x3−21⋅x2−2x+2)dx=[81⋅x4−61⋅x3−x2+2x]−21
=(81−61−1+2)−(81⋅(−2)4−61⋅(−2)3−(−2)2+2⋅(−2))
=(−241+1)−(2+68−4−4)=−241+1−2−68+8=−68−241+7=7−2433=845
Berechnung von A2
A2=∫12(g(x)−f(x))dx
g(x)−f(x)=−(f(x)−g(x)=−(21⋅x3−21⋅x2−2x+2)=−21⋅x3+21⋅x2+2x−2
Setze g(x)−f(x) ein:
A2=∫12(−21⋅x3+21⋅x2+2x−2)dx=[−81⋅x4+61⋅x3+x2−2x]12
=(−2+68+4−4)−(−81+61+1−2)
=(−2+68)−(−81+61−1)=−2+68+81−61+1=−1+67+81=24−24+28+3=247
A=A1+A2=845+247=1271≈5,92
Antwort: Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt A=1271≈5,92FE ein.
Zur Veranschaulichung eine Abbildung, in der die beiden Flächen deutlich erkennbar sind.
- 8
Die abgebildete Parabel f und Gerade g schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.
Schraffiere diese Fläche.
Bestimme die Funktionsterme von f und g und die beiden Schnittpunkte S1 und S2 der Graphen.
Gib A als bestimmtes Integral an und berechne dann A.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Schraffiere diese Fläche
Funktionsterme von f und g
Berechnung des zur Parabel f gehörenden Funktionsterms:
Der Scheitel der Parabel kann abgelesen werden: S(0∣3)
Benutze die Scheitelpunktsform:
f(x)=a(x−0)2+3=ax2+3
Weiterhin kann der Punkt (−2∣−1) abgelesen werden.
Setze den Punkt (−2∣−1) in f(x)=ax2+3 ein:
−1 = a⋅(−2)2+3 −3 ↓ Löse nach a auf.
−4 = 4a :4 −1 = a Die Parabel hat die Funktionsgleichung f(x)=−x2+3
Die Geradengleichung kann direkt abgelesen werden:
(Steigung m=1 und der y-Achsenabschnitt t=1):
g(x)=x+1
Berechnung der beiden Schnittpunkte S1 und S2 der Graphen
Setze f(x)=g(x).
−x2+3 = x+1 +x2 ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
3 = x2+x+1 −3 0 = x2+x−2 Die Lösung dieser quadratischen Gleichung erfolgt mit der pq-Formel (oder auch mit der Mitternachtsformel).
Lies p und q ab:
p=1 und q=−2
x1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=1 und q=−2 ein.
= −21±(21)2+2 = −21±2,25 = −0,5±1,5 Damit ist x1=−2 und x2=1.
Setze beide Werte z.B. in g(x) ein, um die Funktionswerte der beiden Schnittpunkte zu erhalten:
g(−2)=−2+1=−1⇒S1(−2∣−1)
g(1)=1+1=2⇒S2(1∣2)
Die beiden Schnittpunkte S1 und S2 der Graphen sind