Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Aufgaben zu Integral- und Stammfunktionen

Aufgaben zur Flächenberechnung mittels Integral

Aufgaben zur näherungsweisen Bestimmung von Integralen und Flächen

Aufgaben zu Integral und Flächenbilanz

1. 1
   Berechne die zwischen $G_f$ und der $x$-Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen $f$:

   1. $f\left(x\right)=2-x-x^2$

      Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

      Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse

      $f\left(x\right)=2-x-x^2$

      Mit der x-Achse ($y=0$) gleichsetzen.

      $\displaystyle -x^2-x+2$	$=$	$\displaystyle 0$
      	↓	Mitternachtsformel anwenden.
      $\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot2}}{2\cdot\left(-1\right)}$
      	↓	Ausmultiplizieren.
      	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1+8}}{-2}$
      	↓	Wurzel ziehen.
      	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm3}{-2}$

      $x_1=\frac{1+3}{-2}=-2$

      $x_2=\frac{1-3}{-2}=1$

      Flächenberechnung

      Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral.

      $\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^1\left(-x^2-x+2\right)\mathrm{dx}$
      	↓	Bestimme die Stammfunktion.
      	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x​\right]_{-2}^1$
      	↓	In die Klammer wird für $x$ der rechte Schnittpunkt (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (-2) gerechnet.
      	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{1^3}{3}-\frac{1^2}{2}+2\cdot1\right)-\left(-\frac{\left(-2\right)^3}{3}-\frac{\left(-2\right)^2}{2}+2\cdot\left(-2\right)\right)$
      	↓	Zähler berechnen.
      	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right)-\left(-\frac{-8}{3}-\frac{4}{2}-4\right)$
      	↓	Klammern auflösen.
      	$=$	$\displaystyle -\frac13-\frac12+2-\frac83+\frac42+4$
      	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
      	$=$	$\displaystyle -\frac93+\frac32+6$
      	$=$	$\displaystyle \frac92$
      	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

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   2. $f:\;x\mapsto x^2\cdot(x+2)$

      Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale

      Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse

      $f\left(x\right)=x^2\cdot\left(x+2\right)$

      Zur Ermittlung der Nullstellen der Funktion, betrachte die beiden Faktoren getrennt voneinander, d.h. setze beide Faktoren gleich Null.

      $\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
      $\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$

      An der Stelle $x=0$ ist also eine zweifache Nullstelle.

      $\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
      $\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -2$

      An der Stelle $x=-2$ ist eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

      Flächenberechnung

      Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral. Multipliziere f zuerst aus, um die Intergration zu vereinfachen.

      $\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(x+2\right)$
      	↓	Multipliziere die Faktoren der Funktion aus, um die Funktion leichter integrieren zu können.
      	$=$	$\displaystyle x^3+2x^2$

      Stelle das bestimmte Integral mit den Nullstellen -2 und 0 als Grenzen auf.

      $\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^0\left(x^3+2x^2\right)\operatorname{d}x$
      	↓	Ermittle die Stammfunktion.
      	$=$	$\displaystyle \displaystyle\left[\frac14x^4+2\cdot\frac13x^3\right]_{-2}^0$
      	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Schnittstelle ($0$) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Schnittstelle ($-2$) gerechnet.
      	$=$	$\displaystyle \displaystyle0-\left(\frac14\left(-2\right)^4+\frac13\cdot2\left(-2\right)^3\right)$
      	$=$	$\displaystyle -\left(\dfrac{16}4-\dfrac{16}3\right)$
      	↓	Bilde den Hauptnenner und löse die Klammer auf.
      	$=$	$\displaystyle -\frac{48}{12}+\frac{64}{12}$
      	↓	Addiere die Summanden.
      	$=$	$\displaystyle \frac{16}{12}$
      	↓	Kürze den Bruch.
      	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$

      Die eingeschlossene Fläche ist $\frac{4}{3}$ Flächeneinheiten groß.

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2. 2
   Begründe, warum es kein $\mathrm k\in \mathbb{R}^+$ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:

   $\displaystyle\int_0^\mathrm k (x^2+1)\ \mathrm{d}x=-1$

   Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral

   Wir haben hier ein Integral, bei dem die obere Grenze größer als die untere ist. Damit dieses Integral in einem beliebigen Abschnitt negativ wird, muss die Funktion in diesem Bereich einen größeren Flächeninhalt unterhalb der $x$-Achse haben als oberhalb. Das kann nur geschehen, wenn es negative Funktionswerte gibt.

   Da $f(x)=x^2+1$ eine nach oben geöffnete Parabel ist, die sich vollständig oberhalb der $x$-Achse befindet, sind aber alle Funktionswerte positiv.

   
3. 3
   Sei die Funktion $f: x\mapsto (x+1)^3-1$ gegeben. Bestimme die Fläche, die von $f$ und ihrer Umkehrfunktion $f^{-1}$ eingeschlossen wird.

   Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion

   Lösung 1

   ▸ Warum ist f umkehrbar?

   Bestimme jetzt die Umkehrfunktion

   Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion von $f$ wirst du die Umkehrung der dritten Potenz brauchen. Daher gibt es schon mal eine Berechnung dazu.

   ▸ Die Umkehrfunktion der dritten Potenz

   Damit kennst du die Umkehrung der dritten Potenz: ist $f(x)=x^3$, so ist

   $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ für $x\ge 0$ und

   $f^{-1}(x)=-\sqrt[3]{-x}=-(-x)^{1/3}$ für $x< 0$.

   Berechnung der Umkehrfunktion von $f$

   Unterscheide die Fälle $x+1\ge 0 \Leftrightarrow x\ge-1$ und $x<-1$.

   Für $x\ge-1$ hast du

   $\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$\displaystyle +1$
   $\displaystyle y+1$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
   $\displaystyle \sqrt[3]{y+1}$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
   $\displaystyle \sqrt[3]{y+1}-1$	$=$	$\displaystyle x$
   $\displaystyle f^{-1}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}-1$
   	$=$	$\displaystyle (x+1)^{1/3}-1$

   Für $x<-1$ ist entsprechend

   $\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$\displaystyle +1$
   $\displaystyle y+1$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3$
   	↓	Umkehren wie oben
   $\displaystyle -\sqrt[3]{-(y+1)}$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
   $\displaystyle -\sqrt[3]{-(y+1)}-1$	$=$	$\displaystyle x$
   $\displaystyle f^{-1}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{-(x+1)}-1$
   	$=$	$\displaystyle -(-(x+1))^{1/3}-1$

   Flächenberechnung

   Bestimme die Schnittpunkte. Weil $\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^3=\left(-\sqrt[3]{-(x+1)}\right)^3=x+1$ ist, reicht eine Rechnung ab der dritten Zeile:

   $\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}-1$	$\displaystyle +1$
   $\displaystyle \left(x+1\right)^3$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}$	$\displaystyle \ ^3$
   	↓	Sei $x \neq -1$.
   $\displaystyle \left(x+1\right)^9$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle :\left(x+1\right)$
   $\displaystyle \left(x+1\right)^8$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt[8]{}$
   $\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle \pm1$	$\displaystyle -1$
   $\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
   $\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -2$
   	↓	Betrachte den Fall $x=-1$.
   $\displaystyle \left(-1+1\right)^3-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{-1+1}-1$
   $\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -1$

   Berechne jetzt die Fläche $A$ zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zunächst für $x\ge-1$. Für $-1\le x\le0$ ist $f(x)\le f^{-1}(x)$.

   $\displaystyle A_1$	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left|f\left(x\right)-f^{-1}\left(x\right)\right|\,dx$
   	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left(\sqrt[3]{x+1}-1-\left(x+1\right)^3+1\right)\, dx$
   	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left(({x+1})^{1/3}-\left(x+1\right)^3\right)\, dx$
   	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{1+\frac{1}{3}}\left(x+1\right)^{\frac{1}{3}+1}-\frac{1}{4}\left(x+1\right)^4\right]_{-1}^0$
   	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\left(0+1\right)^{4/3}-\frac{1}{4}\left(0+1\right)^4-\frac{3}{4}\left(-1+1\right)^{4/3}+\frac{1}{4}\left(-1+1\right)^4$
   	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}$
   	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

   Im Bereich $-2\le x\le-1$ ist $f^{-1}(x)\le f(x)$. Wie du sofort durch Ableiten bestätigst, ist $\displaystyle\frac{3}{4}(-(x-1))^{4/3}$ eine Stammfunktion zu $f^{-1}(x).$

   $\displaystyle A_2$	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left|f\left(x\right)-f^{-1}\left(x\right)\right|\,dx$
   	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left(x+1\right)^3-1-\left(-\sqrt[3]{-(x+1)}-1\right)\, dx$
   	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left((x+1)^3+\left(-(x+1)\right)^{1/3}\right)\, dx$
   	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{4}-\frac{3}{4}\left(-(x+1)\right)^{4/3}\right]_{-2}^{-1}$
   	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\left(-1+1\right)^{4}-\frac{3}{4}\left(-1+1\right)^{4/3}-\frac{1}{4}\left(-2+1\right)^{4}+\frac{3}{4}\left(-2+1\right)^{4/3}$
   	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}$
   	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

   Die Gesamtfläche $A$ ist also $\displaystyle A=A_1+A_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

   In der Skizze erkennt man den Verlauf der Graphen von $f$ und $f^{-1}$.

   

   Lösung 2

   Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auseinander hervor. Daher müssen ihre Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden $y=x$ liegen und können durch den Schnitt des Graphen von $f$ mit der Geraden $y=x$ berechnet werden. Da die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ die Winkelhalbierende als Symmetrieachse besitzen, ist die Fläche zwischen Ihnen genau doppelt so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der Winkelhalbierenden.

   Berechnung der Schnittpunkte

   $\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x$
   	↓	Ausmultiplizieren
   $\displaystyle x^3+3x^2+3x+1-1$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x$
   	↓	Ordnen
   $\displaystyle x^3+3x^2+2x$	$=$	$\displaystyle 0$
   	↓	x ausklammern
   $\displaystyle x(x^2+3x+2)$	$=$	$\displaystyle 0$
   	↓	p-q-Formel oder raten
   $\displaystyle x(x+1)(x+2)$	$=$	$\displaystyle 0$

   Die Schnittpunkte sind also $(-2;-2)$, $(-1;-1)$ und $(0;0)$.

   Flächenberechnung

   Die Berechnung der Fläche wird wieder in zwei Schritten vorgenommen.

   	$\displaystyle A_1$
   	↓ wegen der Symmetrie wird das Integral verdoppelt
   $=$	$\displaystyle 2\left|\int_{-2}^{-1}\left((x+1)^3-1-x\right)\, dx\right|$
   $=$	$\displaystyle 2\left|\left[\frac{1}{4}(x+1)^4-x-\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{-1}\right|$
   $=$	$\displaystyle 2\left|\frac{1}{4}(-1+1)^4-(-1)-\frac{1}{2}(-1)^2-\frac{1}{4}(-2+1)^4+(-2)+\frac{1}{2}(-2)^2\right|$
   $=$	$\displaystyle 2\left|1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-2+2\right|$
   $=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{4}$
   $=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}$

   	$\displaystyle A_2$
   	↓ wie oben
   $=$	$\displaystyle 2\left|\int_{-1}^0\left((x+1)^3-1-x\right) \,dx\right|$
   $=$	$\displaystyle 2\left| \left[\frac{1}{4}(x+1)^4-x-\frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0 \right|$
   $=$	$\displaystyle 2\left| \frac{1}{4}(0+1)^4-0-\frac{1}{2}0^2-\frac{1}{4}(-1+1)^4-1+\frac{1}{2}(-1)^2 \right|$
   $=$	$\displaystyle 2\left| \frac{1}{4}-1 +\frac{1}{2} \right|$
   $=$	$\displaystyle 2\left| -\frac{1}{4} \right|$
   $=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}$

   Die Gesamtfläche ist wieder $A=A_1+A_2=1$.

   Lösung 3

   Die Funktion $f$ geht aus $g(x)=x^3$ dadurch hervor, dass der Graph um je eine Einheit in $x$- und $y$-Richtung verschoben wird. Dieselbe Verschiebung ändert die Winkelhalbierende nicht. Daher ist die Fläche $A$ genauso groß wie die zwischen dem Graphen von $g$ und Ihrer Umkehrfunktion.

   Dieselbe Überlegung wie bei Lösung 2 zeigt, dass die Fläche $A$ doppelt so groß ist wie die Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der Winkelhalbierenden.

   $g$ ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung, daher ist die Gesamtfläche viermal so groß wie die Fläche zwischen $g$ und $y=x$ im ersten Quadranten.

   Die Schnittpunkte sind $(0;0)$ und $(1;1).$

   Der Flächeninhalt unter der Winkelhalbierenden ist $\frac{1}{2}$.

   Der Flächeninhalt unter dem Graphen von $g$ ist $\int_0^1 x^3\, dx=\frac{1}{4}x^4\Big|_0^1=\frac{1}{4}$.

   Die Fläche dazwischen hat den Inhalt $\frac{1}{4}$, und weil das ein Viertel der Gesamtfläche ist, ist $A=4\cdot\frac{1}{4}=1$.

   Hier findet man drei Lösungswege dieser Aufgabe: zunächst relativ stur durchgerechnet, dann einfacher unter Ausnutzung von Symmetrien und dann noch einfacher unter Ausnutzung von noch mehr Symmetrien.

4. 4
   $a(x)=6-\frac1{24}x^2,\;D_a=\mathbb{R}$

   Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen $G_a$ und der x-Achse.

   Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zwischen Graphen

   Nullstellen berechnen

   Berechne zuerst die Nullstellen.

   $\displaystyle a(x)$	$=$	$\displaystyle 6-\frac{1}{24}x^2$
   	↓	Setze die Funktion $a$ mit 0 gleich.
   $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 6-\frac{1}{24}x^2$	$\displaystyle +\frac1{24}x^2$
   $\displaystyle \frac1{24}x^2$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle \cdot24$
   $\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 144$
   	↓	Ziehe die Wurzel.
   $\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm12$

   Flächenstück bestimmen

   Bestimme nun den Flächeninhalt des Flächenstücks.

   $a(x)=6-\frac1{24}x^2$

   Flächenstück wird durch die Schnittpunkte begrenzt.Ansatz für die Fläche $A$.

   $\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle \int_{-12}^{12}\left(6-\frac{1}{24}x^2\right)dx$
   	↓	Integriere.
   	$=$	$\displaystyle \left[6x-\frac{1}{24\cdot 3}x^3\right]_{-12}^{12}$
   	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze (12) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (-12) gerechnet.
   	$=$	$\displaystyle \left(6\cdot 12-\frac{1}{24\cdot 3}\cdot 12^3\right)-\left(6\cdot \left(-12\right)-\frac{1}{24\cdot 3}\cdot \left(-12\right)^3\right)$
   	↓	Ausmultiplizieren.
   	$=$	$\displaystyle 72-\frac{1728}{72}+72-\frac{1728}{72}$
   	↓	Der Bruch lässt sich mit 72 kürzen.
   	$=$	$\displaystyle 72-24+72-24$
   	$=$	$\displaystyle 96$

   $\Rightarrow$ Das Flächenstück beinhaltet 96 FE.
5. 5
   Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

    

   $f:\;x\mapsto x^2-4x+1$ ;

   $g:\;x\mapsto-x^2+6x-7$ ;    $D_f=D_g=\mathbb{R}$

   Schnittpunkte berechnen

   $f\left(x\right)=x^2-4x+1$

   $g\left(x\right)=-x^2+6x-7$ ;    $D_f=D_g=ℝ$

   Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln.

   $\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g(x)$
   $\displaystyle x^2-4x+1$	$=$	$\displaystyle -x^2+6x-7$
   	↓	Umformen.
   $\displaystyle 2x^2-10x+8$	$=$	$\displaystyle 0$
   	↓	Mitternachtsformel anwenden.
   $\displaystyle x_{1/ 2}$	$=$	$\displaystyle \frac{10\pm\sqrt{\left(-10\right)^2-4\cdot2\cdot8}}{2\cdot2}$
   	$=$	$\displaystyle \frac{10\pm\sqrt{36}}4$
   	$=$	$\displaystyle \frac{10\pm6}4$

   $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1=4\\x_2=1\end{array}$

   $x_1$ und $x_2$ sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die man dann nachher in das Integral einsetzt.

   Fläche berechnen

   Artikel zum Thema

   $\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_1^4\left(\left(-x^2+6x-7\right)-\left(x^2-4x+1\right)\right)dx$
   	$=$	$\displaystyle \int_1^4\left(-x^2+6x-7-x^2+4x-1\right)dx$
   	↓	Löse auf und fasse zusammen.
   	$=$	$\displaystyle \int_1^4\left(-2x^2+10x-8\right)dx$
   	↓	Integriere
   	$=$	$\displaystyle \left[-\frac23x^3+\frac{10}2x^2-8x\right]_1^4$
   	$=$	$\displaystyle \left(-\frac23\cdot\left(4\right)^3+\frac{10}2\cdot\left(4\right)^2-8\cdot\left(4\right)\right)-\left(-\frac23\cdot\left(1\right)^3+\frac{10}2\cdot\left(1\right)^2-8\cdot\left(1\right)\right)$
   	$=$	$\displaystyle \left(-\frac23\cdot64+\frac{10}2\cdot16-32\right)-\left(-\frac23\cdot1+\frac{10}2\cdot1-8\right)$
   	$=$	$\displaystyle -\frac{128}3+48+\frac23+3$
   	$=$	$\displaystyle 9$

   $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die ermittelte Fläche zwischen den Graphen beträgt 9 FE.
6. 6
   raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

   

   Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

       

   Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt $\mathrm{HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right)$ und dem Tiefpunkt $\mathrm{TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right)$ .

   Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

      

   Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

   Berechne nun A.

   Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe

   Funktionsterme bestimmen

   Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades $f(x)$ mit dem Hochpunkt $\mathrm{HP}\left(0|1\right)$ (hier ist $f'(x)=0$) und dem Tiefpunkt $\mathrm{TP}\left(2|-3\right)$ (hier ist $f'(x)=0$). Trage diese Informationen in eine Tabelle ein.

   	x	f(x)	f'(x)
   (I)	0	1
   (II)	0		0
   (III)	2	-3
   (IV)	2		0

   Die allgemeine Funktion $3.$ Grades lautet:

   $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und die erste Ableitung ist dann:

   $f'(x)=3ax^2+2bx+c$

   Nach der Tabelle ergibt die Gleichung $\mathrm{(I)}$:

   $1=a\cdot 0+b\cdot 0+c \cdot 0+d\;\Rightarrow\;d=1$

   Gleichung $\mathrm{(II)}$ ergibt: $0=3a\cdot 0+2b\cdot 0+c\;\Rightarrow\;c=0$

   Gleichung $\mathrm{(III)}$ ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:

   $-3=a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+0\cdot 2+1$$\;\Rightarrow\;-3=8a+4b+1\;\Rightarrow\;-4=8a+4b$$\;\Rightarrow\;-1=2a+b\;\Rightarrow\;b=-1-2a$

   Gleichung $\mathrm{(IV)}$ ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:

   $0=3a\cdot 2^2+2b\cdot2+0\;\Rightarrow\;0=12a+4b\;\Rightarrow\;0=3a+b$

   Das Ergebnis aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ $b=-1-2a$ in $\mathrm{(IV)}$ $0=3a+b$ eingesetzt ergibt:

   $0=3a+(-1-2a)=3a-1-2a=a-1\;\Rightarrow\;a=1$

   Mit $a=1$ folgt in $\mathrm{(III)}:$ $b=-1-2\cdot1=-3$

   Antwort: Die Funktion $3.$ Grades lautet: $f(x)=x^3-3x^2+1$

   Zum "blauen Graphen" gehört eine lineare Funktion $g(x)$. Aus der Abbildung kannst du die Steigung $m=1$ und den $y$-Achsenabschnitt $t=-2$ ablesen: $\;\Rightarrow\;g(x)=x-2$

   Antwort: Die Gleichung der linearen Funktion lautet: $g(x)=x-2$

   Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen

   "Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen". Deshalb können die Schnittpunkte aus der Abbildung abgelesen werden.

   Antwort: Die Schnittpunkte haben folgende Koordinaten: $S_1(-1|-3); S_2(1|-1); S_3(3|1)$

   Wie kannst du den gesamten Inhalt $A$ der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

   Flächeninhalt:

   $A=A_1+A_2=\int_{-1}^{1}\left(f(x)-g(x)\right) \mathrm{d}x+\int_{1}^{3}\left(g(x)-f(x)\right) \mathrm{d}x$

   Berechnung von $A$:

   $f(x)-g(x)=x^3-3x^2+1-(x-2)=x^3-3x^2-x+3$

   $g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))=-(x^3-3x^2-x+3)=-x^3+3x^2+x-3$

   $A_1=\int_{-1}^{1}\left(x^3-3x^2-x+3\right) \mathrm{d}x=\left[\frac{1}{4}\cdot x^4-x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2+3x\right]_{-1}^{1}$

   $=\left(\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}+3\right)-\left(\frac{1}{4}-(-1)-\frac{1}{2}+3\cdot(-1)\right)=1{,}75-(-2{,}25)=4$

   $A_2=\int_{1}^{3}\left(-x^3+3x^2+x-3\right) \mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{4}\cdot x^4+x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2-3x\right]_{1}^{3}$

   $=\left(-\frac{1}{4}\cdot3^4+3^3+\frac{1}{2}\cdot3^2-3\cdot 3\right)-\left(-\frac{1}{4}+1+\frac{1}{2}-3\right)=2{,}25-(-1{,}75)=4$

   $A_{gesamt}=A_1+A_2=4+4=8$

   Antwort: Der von den beiden Graphen eingeschlossene Flächeninhalt beträgt $8\;\mathrm{FE}$.
7. 7
   raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

   

   Die Parabel mit dem Scheitel $\mathrm S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right)$ und der Graph der Funktion f mit $\mathrm f(\mathrm x)=1+0{,}5\cdot\mathrm x^3$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

                        

   Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

   Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

   Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

   Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms

   Gegeben ist der Scheitel $\mathrm S\left(-2\;\left|\;-3\right.\right)$ der Parabel. Benutze die Scheitelpunktsform.

   $g(x)=a\cdot(x+2)^2-3$

   Setze den aus der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|-1)$ ein.

   $g(0)=-1$

   $\Rightarrow\;g(0)=a\cdot(0+2)^2-3=4a-3=-1\;\Rightarrow\;4a=2\;\Rightarrow\;a=\frac{1}{2}$

   $g(x)=\frac{1}{2}\cdot(x+2)^2-3=\frac{1}{2}\cdot(x^2+4x+4)-3=\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$

   Antwort: Die Parabel hat die Funktionsgleichung $g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$

   Berechnung aller Schnittpunkte

   Setze $f(x)=g(x)$.

   $\displaystyle 1+\frac{1}{2}\cdot x^3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+1$
   	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
   $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot 2$
   $\displaystyle x^3- x^2-4x+4$	$=$	$\displaystyle 0$

   Du hast eine Gleichung $3.$ Grades erhalten. Die Lösung erfolgt durch Polynomdivision.

   Eine Lösung ist leicht zu finden (probieren):

   Setze $x=1$ in die Gleichung ein$\;\Rightarrow\;1^3- 1^2-4\cdot1+4=0\;\checkmark$

   Teile nun $(x^3- x^2-4x+4)$ durch den Linearfaktor $(x-1)$:

   $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^3- x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\-\underline{(x^3-x^2)}\\\;\;\;\;0\;+\;0-4x+4\\\phantom{(x^3}\;\;\;\;\;-\underline{(-4x+4)}\\\phantom{(x^3-x^2-4}0\;+\;0\end{array}$

   Die verbleibende Gleichung $x^2-4=0$ hat die beiden Lösungen $x_{2{,}3}=\pm2$.

   Berechne die Funktionswerte:

   $f(1)=1+\frac{1}{2}\cdot 1^3=1{,}5$

   $f(-2)=-3$ (siehe gegebenen Scheitelpunkt)

   $f(2)=1+\frac{1}{2}\cdot 2^3=5$

   Antwort: Die drei Schnittpunktskoordinaten lauten: $S_1(1|1{,}5); S_2(-2|-3); S_3(2|5)$

   Wie kannst du $A$ als bestimmtes Integral schreiben?

   Da drei Schnittpunkte existieren, gibt es zwei Flächen, die die beiden Graphen einschließen. (In der obigen Abbildung ist die zweite Fläche nicht sehr deutlich erkennbar.)

   $A=A_1+A_2=\int_{-2}^1\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x+\int_{1}^2\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$

   Berechnung von $A_1$

   Die $2.$ Zeile bei der Schnittpunktsberechnung ergibt:

   $f(x)-g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2$

   $A_1=\int_{-2}^1\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x$

   Setze $f(x)-g(x)$ ein:

   $A=\int_{-2}^1\left(\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{8}\cdot x^4-\frac{1}{6}\cdot x^3- x^2+2x\right]_{-2}^{1}$

   $=\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{6}-1+2\right)-\left(\frac{1}{8}\cdot (-2)^4-\frac{1}{6}\cdot(-2)^3-(-2)^2+2\cdot(-2)\right)$

   $=(-\frac{1}{24}+1)-(2+\frac{8}{6}-4-4)=-\frac{1}{24}+1-2-\frac{8}{6}+8=-\frac{8}{6}-\frac{1}{24}+7=7-\frac{33}{24}=\frac{45}{8}$

   Berechnung von $A_2$

   $A_2=\int_{1}^2\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$

   $g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x)=-(\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2)=-\frac{1}{2}\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-2$

   Setze $g(x)-f(x)$ ein:

   $A_2=\int_{1}^2\left(-\frac{1}{2}\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-2\right)\mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{8}\cdot x^4+\frac{1}{6}\cdot x^3+ x^2-2x\right]_{1}^{2}$

   $=\left(-2+\frac{8}{6}+4-4\right)-\left(-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}+1-2\right)$

   $=(-2+\frac{8}{6})-(-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-1)=-2+\frac{8}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{6}+1=-1+\frac{7}{6}+\frac{1}{8}=\frac{-24+28+3}{24}=\frac{7}{24}$

   $A=A_1+A_2=\frac{45}{8}+\frac{7}{24}=\frac{71}{12}\approx5{,}92$

   Antwort: Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A=\frac{71}{12}\approx5{,}92\; \mathrm{FE}$ ein.

   Zur Veranschaulichung eine Abbildung, in der die beiden Flächen deutlich erkennbar sind.

   
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   raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

   

   Die abgebildete Parabel $f$ und Gerade $g$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A$ ein.

   Schraffiere diese Fläche.

      

   Bestimme die Funktionsterme von $f$ und $g$ und die beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen.

   Gib $A$ als bestimmtes Integral an und berechne dann $A$.

   Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

   Schraffiere diese Fläche

   

   Funktionsterme von f und g

   Berechnung des zur Parabel $f$ gehörenden Funktionsterms:

   Der Scheitel der Parabel kann abgelesen werden: $S(0∣3)$

   Benutze die Scheitelpunktsform:

   $f(x)=a(x-0)^2+3=ax^2+3$

   Weiterhin kann der Punkt $(-2|-1)$ abgelesen werden.

   Setze den Punkt $(-2|-1)$ in $f(x)=ax^2+3$ ein:

   $\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle a\cdot(-2)^2+3$	$\displaystyle -3$
   	↓	Löse nach $a$ auf.
   $\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle 4a^{ }$	$\displaystyle :4$
   $\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle a$

   Die Parabel hat die Funktionsgleichung $f(x)=-x^2+3$

   Die Geradengleichung kann direkt abgelesen werden:

   (Steigung $m=1$ und der y-Achsenabschnitt $t=1$):

   $g(x)=x+1$

   Berechnung der beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen

   Setze $f(x)=g(x)$.

   $\displaystyle -x^2+3$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle +x^2$
   	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
   $\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x^2+x+1$	$\displaystyle -3$
   $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+x-2$

   Die Lösung dieser quadratischen Gleichung erfolgt mit der pq-Formel (oder auch mit der Mitternachtsformel).

   Lies $p$ und $q$ ab:

   $p=1$ und $q=-2$

   $\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
   	↓	Setze $p=1$ und $q=-2$ ein.
   	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2}$
   	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\pm\sqrt{2{,}25}$
   	$=$	$\displaystyle -0{,}5\pm1{,}5$

   Damit ist $x_1=-2$ und $x_2=1.$

   Setze beide Werte z.B. in $g(x)$ ein, um die Funktionswerte der beiden Schnittpunkte zu erhalten:

   $g(-2)=-2+1=-1 \;\Rightarrow\;S_1(-2|-1)$

   $g(1)=1+1=2 \;\Rightarrow\;S_2(1|2)$

   Die beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen sind $S_1(-2|-1)$ und $S_2(1|2)$.

   Gib A als bestimmtes Integral an

   $\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(f(x)-g(x)\right) \mathrm{d}x$
   	↓	Setze $f(x)$ und $g(x)$ ein.
   	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(-x^2+3-(x+1)\right) \mathrm{d}x$
   	↓	Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
   	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(-x^2-x+2)\right) \mathrm{d}x$
   	$=$	$\displaystyle \left[-\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}$
   	$=$	$\displaystyle \left(-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3-\dfrac{1}{2}\cdot1^2+2\cdot 1\right)-\left(-\dfrac{1}{3}\cdot(-2)^3-\dfrac{1}{2}\cdot(-2)^2+2\cdot (-2)\right)$
   	↓	Löse die Klammern auf
   	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\dfrac{8}{3}+2+4$
   	↓	Fasse zusammen.
   	$=$	$\displaystyle 8-\dfrac{9}{3}-0{,}5$
   	$=$	$\displaystyle 8-3-0{,}5$
   	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

   Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A= 4{,}5\;\text{FE }$ein.
9. 9
   raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

   

   Die Graphen der Funktionen $\mathrm f(\mathrm x)=2-\mathrm x^2$ und $\mathrm g(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+0{,}5$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

         

     

   Schraffiere diese Fläche und berechne A.

   Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen

   Schraffiere diese Fläche

   

   Schnittpunkte berechnen

   $f(x)=2-x^2$

   $g(x)=0{,}5x^2+0{,}5$

   Setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.

   $\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
   	↓	Gleichung umformen.
   $\displaystyle 2-x^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x^2+0{,}5$	$\displaystyle -0{,}5x^2$
   $\displaystyle 2-1{,}5x^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle -2$
   $\displaystyle -1{,}5x^2$	$=$	$\displaystyle -1{,}5$	$\displaystyle :\left(-1{,}5\right)$
   $\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1$

   $x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm1$

   Die Schnittstellen sind also $x=\pm 1.$

   Flächenbestimmung

   Aus der Skizze ersieht man, dass $f$ die obere Funktion ist.

   $\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^1(f(x)-g(x))\mathrm{d}x$
   	↓	Bestimme die Fläche, indem über die Differenzfunktion integriert wird. Setze $f(x)-g(x)=1{,}5-1{,}5x^2$ ein.
   	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^1(1{,}5-1{,}5x^2)\mathrm{d}x$
   	$=$	$\displaystyle \displaystyle\left[1{,}5x-0{,}5x^3\right]_{-1}^{1}$
   	↓	Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
   	$=$	$\displaystyle \left(1{,}5\cdot 1-0{,}5\cdot 1^3\right)-\left(1{,}5\cdot(-1)-0{,}5\cdot(-1)^3\right)$
   	↓	Vereinfache.
   	$=$	$\displaystyle 1{,}5-0{,}5-(-1{,}5+0{,}5)$
   	↓	Fasse zusammen.
   	$=$	$\displaystyle 1-(-1)$
   	$=$	$\displaystyle 2$

   Die eingeschlossene Fläche $A$ zwischen den beiden Funktionen beträgt also $2\;\text{FE}$.
10. 10
    $f(x)=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2,D_f=\mathbb{R}$

    Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das $G_f$ und die x-Achse einschließen.

    Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: uneigentliches Integral

    Nullstellen berechnen

    Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $f(x)=\frac{1}{9}x^4-\frac{8}{9}x^3+2x^2$.

    $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$
    $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{9}x^4-\frac{8}{9}x^3+2x^2$
    	↓	$x^2$ ausklammern.
    $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(\frac{1}{9}x^2-\frac{8}{9}x^1+2\right)$

    Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x=0$.

    Im Weiteren wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

    $0=\frac{1}{9}x^2-\frac{8}{9}x^1+2$

    Um zu testen, ob weitere Nullstellen existieren, bestimmst du z.B. die Diskriminante. Wenn die Diskriminate negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen.

    $\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{8}{9}\right)^2-4\cdot\frac{1}{9}\cdot2$
    	↓	Ausmultiplizieren
    	$=$	$\displaystyle \frac{64}{81}-\frac{8}{9}$
    	↓	Brüche subtrahieren.
    	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{81}$

    $\;\;\Rightarrow\;\;$ Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen

    $\;\;\Rightarrow\;\;$ Da es nur eine (doppelte) Nullstelle gibt, die Funktionswerte nicht-negativ sind und die Funktion $\displaystyle\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim f(x)}$ gegen +$\infty$ strebt, ist das Integral $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x$ und somit die Fläche zwischen Graph und x-Achse unendlich groß.

    zusätzlicher Graph der Funktion

    

    Die blaue Fläche zeigt, dass der Flächeninhalt, der vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, unendlich ist.
11. 11
    $f_t(x)=-\frac19(t-3)x^2+t,D_{f_t}=\mathbb{R},\;t\in\mathbb{R}$

    Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und $G_{f_t}$ liegt.

    Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

    $\displaystyle f_t(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac19(t-3)x^2+t$
    	↓	Setze die Funktion $f_t$ gleich 0.
    $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac19(t-3)x^2+t$
    	↓	Man löst die Klammer auf.
    $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{t\cdot x^2}9+\frac{3\cdot x^2}9+t$	$\displaystyle -t;\;\cdot9$
    $\displaystyle -9\cdot t$	$=$	$\displaystyle -t\cdot x^2+3\cdot x^2$
    	↓	$x^2$ ausklammern.
    $\displaystyle -9\cdot t$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(-t+3\right)$
    	↓	$\vert:(-t+3)$ für alle $t\neq3.$ Sonderfall: $t=3$ $\Rightarrow$ $f_{3}=3$ konstant ohne Nullstelle.
    $\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \frac{-9\cdot t}{-t+3}$
    	↓	Ziehe die Wurzel, um die Nullstellen zu bestimmen.
    $\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}$
    	↓	Die Wurzel ist nur für nicht negativen Radikanten definiert. Dieser ist positiv, wenn $t>3$ oder $t<0$ ist. Für diesen Fall existieren also zwei Nullstellen.

    Falls $t=0$ ist, gibt es lediglich eine Nullstelle.

    Eine Fläche wird also nur im Fall $t>3$ oder $t<0$ eingeschlossen. Diese wird dann mit einem bestimmten Integral bestimmt.

    $\displaystyle A'$	$=$	$\displaystyle \int\limits_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}\left(-\frac{t\cdot x^2}9+\frac{3\cdot x^2}9+t\right)\mathrm{d}x$
    	↓	Nun wird die gesuchte Fläche $A=|A'|$ mittels Integration bestimmt.
    	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{t\cdot x^3}{9\cdot3}+\frac{3\cdot x^3}{9\cdot3}+tx\right]_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}$
    	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{t\cdot x^3}{27}+\frac{x^3}9+tx\right]_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}$
    	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}\left(-\frac{t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3}{27}+\frac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3}9+t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)\\-\left(-\frac{t\cdot\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)^3}{27}+\frac{\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)^3}9+t\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)\right)\end{array}$
    	↓	In den nächsten Schritten werden Klammern aufgelöst, Hauptnenner (27) gebildet und alle Elemente auf diesen erweitert.
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{-t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+3\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+27\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}-t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+3\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+27\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}{27}$
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\cdot t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+6\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+54\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}{27}$
    	↓	Man fasst die Summanden, wenn möglich, zusammen.
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\cdot t\cdot\left(\dfrac{9\cdot t}{t-3}\right) \sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}+6\cdot\left(\dfrac{9\cdot t}{t-3}\right) \sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}+54\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}{27}$
    	↓	Klammere $\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}$ aus.
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(-2\cdot t\cdot\left(\dfrac{9\cdot t}{t-3}\right) +6\cdot\left(\dfrac{9\cdot t}{t-3}\right) +54\cdot t\right)}{27}$
    	↓	Fasse zusammen und erweitere den letzten Term.
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(\dfrac{-18\cdot t^2}{t-3} +\dfrac{54\cdot t}{t-3} +\dfrac{54\cdot t\cdot(t-3}{t-3}\right)}{27}$
    	↓	Fasse die Bruchterme zusammen.
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(\dfrac{-18\cdot t^2+54\cdot t+54\cdot t^2-162\cdot t}{t-3} \right)}{27}$
    	↓	Vereinfache.
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(\dfrac{36\cdot t^2-108\cdot t}{t-3} \right)}{27}$
    	↓	Klammere $36\cdot t$ aus.
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\cdot36\cdot t\left(\dfrac{ t-3}{t-3} \right)}{27}$
    	↓	Kürze.
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}$

    Die eingeschlossene Fläche beträgt $A(t)=\left|\dfrac{4}{3}\cdot t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right|\;\text{FE}$

    Diese eingeschlossene Fläche ist ein bestimmtes Integral, falls $t\in\mathbb{R}\backslash\lbrack0;3\rbrack$.

    Anschaulich schließen $f$und die x-Achse für $t\in\lbrack0;3\rbrack$ keine Fläche ein.

    Die folgenden zwei Abbildungen gehören nicht zur Aufgabenstellung, sie dienen nur zur Veranschaulichung.

    Eine Fläche wird nur im Fall $t>3$ oder $t<0$ eingeschlossen.

    Zum Beispiel erhält man für $t=4$ die Funktion $f_4(x)=-\frac19x^2+4$

    Die eingeschlossene Fläche liegt oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Die Fläche beträgt dann:

    $\displaystyle A(4)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot 4\cdot\sqrt{\frac{9\cdot 4}{4-3}}$
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{36}{1}}$
    	$=$	$\displaystyle \dfrac{16\cdot6}{3}$
    	$=$	$\displaystyle 32\;\text{FE}$

    

    Für $t=-2{,}4$ erhält man die Funktion

    $\displaystyle f_{-2{,}4}(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac19(-2{,}4-3)x^2-2{,}4$
    	$=$	$\displaystyle 0{,}6x^2-2{,}4$

    Die eingeschlossene Fläche liegt unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag verwendet. Die Fläche beträgt dann:

    $\displaystyle A(-2{,}4)$	$=$	$\displaystyle \left|\dfrac{4}{3}\cdot (-2{,}4)\cdot\sqrt{\frac{9\cdot(-2{,}4)}{-2{,}4-3}}\right|$
    	$=$	$\displaystyle \left|-3{,}2\cdot \sqrt{\dfrac{-21{,}6}{-5{,}4}}\right|$
    	↓	Berechne den Bruch.
    	$=$	$\displaystyle \left|-3{,}2\cdot \sqrt{4}\right|$
    	↓	Ziehe die Wurzel und fasse zusammen.
    	$=$	$\displaystyle |-6{,}4|$
    	$=$	$\displaystyle 6{,}4\;\text{FE}$

    
12. 12
    $f(x)=3+sin(x),\;D_f=\mathbb{R}$

    1. Berechne  $\int_0^1f(x)\mathrm{dx}$ ; $\int_0^{\pi}f(x)\mathrm{dx}$ ; $\int_\frac{\pi}3^{2{\pi}}f(x)\mathrm{dx}$

       Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren

       Integral von $0$ bis $1$

       $\displaystyle \int_0^1\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}$	$=$	$\displaystyle \left[3x-\cos x\right]_0^1$
       	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze (1) eingesetzt und die Klammer mit der linken Grenze (0) abgezogen.
       	$=$	$\displaystyle \left(3\cdot1-\cos1\right)-\left(3\cdot0-\cos0\right)$
       	↓	Klammern auflösen, $\cos(0)=1$
       	$=$	$\displaystyle 3-\cos1+1$
       	$=$	$\displaystyle 4-\cos1$
       	$≈$	$\displaystyle 3{,}4597$

       Integral von $0$ bis $\mathrm\pi$

       $\displaystyle \int_0^{\mathrm{\pi}}\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}$	$=$	$\displaystyle \left[3x-\cos x\right]_0^{\pi}$
       	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ($\mathrm\pi$) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
       	$=$	$\displaystyle \left(3\cdot\mathrm{\pi}-\cos\mathrm{\pi}\right)-\left(3\cdot0-\cos0\right)$
       	↓	Klammern auflösen, $\cos0=1;\;\cos\mathrm\pi=-1$.
       	$=$	$\displaystyle 3\cdot\mathrm{\pi}+1+1$
       	$=$	$\displaystyle 3\pi +2$
       	$≈$	$\displaystyle 11{,}4248$
       	$≈$

       Integral von $\frac{\mathrm{\pi}}{3}$bis $2\mathrm{\pi}$

       $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi}\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}$	$=$	$\displaystyle \left[3x-\cos x\right]_{\frac{\mathrm{\pi}}{3}}^{2\mathrm{\pi}}$
       	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $2\mathrm\pi$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze $\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)$ gerechnet.
       	$=$	$\displaystyle \left(3\cdot2\mathrm{\pi}-\cos\left(2\mathrm{\pi}\right)\right)-\left(3\cdot\frac{\mathrm{\pi}}{3}-\cos\frac{\mathrm{\pi}}{3}\right)$
       	↓	Klammern auflösen, $\cos\left(2\mathrm\pi\right)=1;\;\cos\frac{\mathrm\pi}3=0{,}5$ .
       	$=$	$\displaystyle 6\mathrm{\pi}-1-\mathrm{\pi}+0{,}5$
       	$=$	$\displaystyle 5\mathrm{\pi}-0{,}5$
       	$≈$	$\displaystyle 15{,}208$

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    2. Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen $G_f$ , der y-Achse und der Geraden $y=2\pi$ im Bereich von $0$ bis $\mathrm\pi$

       $f(x)=3+\mathrm{\sin x}$

       $g\left(x\right)=2\mathrm{\pi }$

       $\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_0^{\mathrm{\pi}}\left(2\mathrm{\pi}-\left(3+\sin x\right)\right)dx$
       	$=$	$\displaystyle \int_0^{\mathrm{\pi}}\left(2\mathrm{\pi}-3-\sin x\right)dx$
       	↓	Integrieren
       	$=$	$\displaystyle \left[2\mathrm{\pi x}-3x+\cos x\right]_0^{\mathrm{\pi}}$
       	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ($\mathrm\pi$) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
       	$=$	$\displaystyle \left(2\pi\cdot\mathrm{\pi}-3\cdot\mathrm{\pi}+\cos\mathrm{\pi}\right)-\left(2\pi\cdot0-3\cdot0+\cos0\right)$
       	↓	Klammern auflösen, $\cos\left(\mathrm\pi\right)=-1,\;\cos\left(0\right)=1$
       	$=$	$\displaystyle 2\mathrm{\pi}^2-3\mathrm{\pi}-1-1$
       	$=$	$\displaystyle 2\mathrm{\pi}^2-3\mathrm{\pi}-2$
       	$≈$	$\displaystyle 8{,}3144$

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13. 13
    $f(x)=\frac38x^3-\frac32x,\;D_f=\mathbb{R}$

    Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die $G_f$ im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von $G_f$ und der Geraden eingeschlossen ist.

    Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale

    Hochpunkt bestimmen

    Als erstes musst du den Hochpunkt bestimmen. Dafür benötigst du die erste und zweite Ableitung.

    Ableitungen bilden

    $f(x)=\frac38x^3-\frac32x$

    $f'(x)=\frac98x^2-\frac32$

    $f''(x)=\frac{18}8x=\frac94x$

    Extremwerte bestimmen

    Die Extremwerte von $f$ bestimmst du, indem du die erste Ableitung $f'(x)$ mit 0 gleichsetzt.

    $\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{8}x^2-\frac{3}{2}$
    $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{8}x^2-\frac{3}{2}$	$\displaystyle +\frac{3}{2}$
    $\displaystyle \frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{8}x^2$	$\displaystyle :\frac{9}{8}$
    $\displaystyle \frac{4}{3}$	$=$	$\displaystyle x^2$
    	↓	Ziehe die Wurzel.
    $\displaystyle \pm\sqrt{\frac{4}{3}}$	$=$	$\displaystyle x$
    	↓	$\sqrt{4}=2$ kannst du noch aus der Wurzel ziehen.
    $\displaystyle \pm2\sqrt{\frac{1}{3}}$	$=$	$\displaystyle x$

    Art der Extrema bestimmen

    Um die Art der Extrema zu bestimmen, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung, in die 2. Ableitung einsetzen.

    1. Extremstelle $x=2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}$

    $f''(x)=\frac94x$

    $\displaystyle f''\left(2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{4}\cdot2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}$
    	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}$
    	$>$	$\displaystyle 0$

    $f$ hat einen Tiefpunkt an der Stelle $x=2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}$, da die zweite Ableitung größer als $0$ ist.

    2. Extremstelle: $x=-2\cdot \sqrt{\frac 13}$

    $f''(x)=\frac94x$

    $\displaystyle f''\left(-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{4}\cdot\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}$
    	$=$	$\displaystyle -\frac{9}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}$
    	$<$	$\displaystyle 0$

    $f$ hat einen Hochpunkt an der Stelle $x=-2\cdot \sqrt{\frac 13}$, da die zweite Ableitung kleiner $0$ ist.

    y-Koordinaten bestimmen

    Um die y-Koordinate des Hochpunkts zu bestimmen, musst du $x=-2\cdot \sqrt{\frac 13}$ in $f(x)$ einsetzen.

    $f(x)=\frac38x^3-\frac32x$

    $\displaystyle f\left(-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{8}\cdot\left(-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^3-\frac{3}{2}\cdot\left(-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$
    	↓	Löse die Potenzen auf.
    	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}-\frac{3}{2}\cdot\left(-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$
    	↓	Ausmultiplizieren.
    	$=$	$\displaystyle -\sqrt{\frac{1}{3}}+3\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}$
    	$=$	$\displaystyle 2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}$
    	$≈$	$\displaystyle 1{,}155$

    Der Hochpunkt hat also die Koordinaten $H\left(-2\cdot \sqrt{\frac 13}|2\cdot \sqrt{\frac 13}\right)$

    Ursprungsgerade aufstellen

    Nun kannst du die Ursprungsgerade aufstellen. Dafür benötigst du die Steigung der Geraden.

    Steigung bestimmen

    Die Steigung der Ursprungsgeraden bestimmt sich als Quotient der y-Koordinate und x-Koordinate des Hochpunktes.

    $\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}}{-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}}$
    	↓	Mit $\sqrt{\frac{1}{3}}\ne0$ kürzen .
    	$=$	$\displaystyle -1$

    Gleichung aufstellen

    Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $t$ in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+t$ einsetzen.

    $m=-1$, $t=0$, da eine Ursprungsgerade betrachtet wird.

    $y(x)=-x$

    Schnittpunkte bestimmen

    Jetzt bestimmst du die Schnittpunkte der Ursprungsgerade mit dem Graphen von $f$.

    $f(x)=\frac38x^3-\frac32x$

    $y(x)=-x$

    Setze beide Funktionen werden gleich.

    $\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle y\left(x\right)$
    $\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{8}x^3-\frac{3}{2}x$	$\displaystyle +x$
    $\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{8}x^3-\frac{1}{2}x$
    	↓	x ausklammern.
    	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{3}{8}x^2-\frac{1}{2}\right)$
    	$=$	$\displaystyle x\cdot(x-2\sqrt{\frac{1}{3}})\cdot(x+2\sqrt{\frac{1}{3}})\cdot\frac{3}{8}$

    $\;\;\Rightarrow\;\;$ Ein Schnittpunkt liegt bei 0, die anderen beiden Schnittpunkte beim Hoch- bzw. Tiefpunkt der Funktion.

    Obere Funktionen ermitteln

    Es existieren also drei Schnittpunkte der beiden Funktionen. So betrachtet man also die beiden Intervalle $I_1=\rbrack-2\cdot\sqrt{\frac13};0\lbrack$ und $I_2=\rbrack0;2\cdot\sqrt{\frac13}\lbrack$ zwischen den Schnittpunkten.

    Ein Punkt, der zwischen den beiden Schnittpunkten liegt, wird in beide Funktionen eingesetzt. Um zu ermitteln, welche Funktion in den einzelnen Intervallen höhere oder gleich hohe Funktionswerte besitzt, wird ein Punkt, der zwischen je zwei benachbarten Schnittpunkten liegt, also ein Punkt aus $I_1$ bzw. $I_2$ in beide Funktionen eingesetzt.

    Bei dieser Aufgabe nutzt man die Punktsymmetrie von $f(x)-y(x)$, um sich die Bestimmung der oberen Funktion und eine schwierigere Integration zu sparen.

    Gewählt wird also beispielsweise der Punkt $x_0=-0{,}5\in I_1$ .

    $f(x)=\frac38x^3-\frac32x$

    $f(-0{,}5)=\frac38\cdot\left(-0{,}5\right)^3-\frac32\cdot\left(-0{,}5\right)\approx0{,}70$

    $y(x)=-x$

    $y(-0{,}5)=0{,}5$

    $\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f$ den höheren Funktionswert bei $x_0$ besitzt und sich $x_0$ zwischen zwei Schnittpunkten befindet, ist sie in ganz $I_1$ die obere Funktion.

    $\;\;\Rightarrow\;\;$ In $I_2$ ist $y$ aufgrund der Punktsymmetrie von $y$ und $f$ die obere Funktion.

    Fläche berechnen

    Zunächst wird das Integral aufgestellt, die Grenzen sind dabei ja zwei benachbarte Schnittpunkte.Hier sollen Flächen berechnet werden und dabei lassen sich Eigenschaften der punktsymmetrischen Funktionen nutzen.

    Für eine punktsymmetrische Funktion $g$ gilt, dass $\int_{-a}^ag(x)dx=0,\;mit\;a\in\mathbb{R}$.

    Also berechnet sich die Gesamtfläche $A$ als $2\cdot\vert\int_{-a}^0g(x)dx\vert,\;mit\;a\in\mathbb{R}$.

    Man kann hier, da vorher die obere Funktion bestimmt wurde, bei richtigem Ansatz auf die Betragsstriche verzichten.

    $\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\int_{-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}}^0\left(\left(\frac{3}{8}x^3-\frac{3}{2}x\right)-\left(-x\right)\right)\mathrm{dx}$
    	↓	Löse die inneren Klammern auf und fasse gleiche Elemente zusammen.
    	$=$	$\displaystyle 2\cdot\int_{-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}}^0\left(\frac{3}{8}x^3-\frac{1}{2}x\right)\mathrm{dx}$
    	↓	Integriere den Ausdruck.
    	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left[\frac{3}{8\cdot4}x^4-\frac{1}{2\cdot2}x^2\right]_{-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}}^0$
    	↓	Multipliziere aus.
    	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left[\frac{3}{32}x^4-\frac{1}{4}x^2\right]_{-2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}}^0$
    	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze $0$ eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze $-2\cdot\sqrt{\frac13}$ gerechnet.
    	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left[\left(\frac{3}{32}\left(0\right)^4-\frac{1}{4}\left(0\right)^2\right)-\left(\frac{3}{32}\left(\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^4-\frac{1}{4}\left(\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2\right)\right]$
    	↓	Innere Klammern ausmultiplizieren.
    	$=$	$\displaystyle -2\cdot\left(\frac{3}{32}\left(\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^4-\frac{1}{4}\left(\left(-2\right)\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2\right)$
    	↓	Potenzen ausmultiplizieren.
    	$=$	$\displaystyle -2\cdot\left(\frac{3}{32}\cdot\frac{16}{9}-\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}\right)$
    	$=$	$\displaystyle -2\cdot\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\right)$
    	$=$	$\displaystyle -2\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)$
    	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$

    $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gesamtfläche $A$ beträgt also $\frac13$ FE.