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Flächeninhalt und bestimmtes Integral

  • Bestimmtes Integral, Integralfunktion

  • Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  • Berechnung von Flächeninhalten

Aufgaben zu Integral- und Stammfunktionen

Aufgaben zur Flächenberechnung mittels Integral

Aufgaben zur näherungsweisen Bestimmung von Integralen und Flächen

Aufgaben zu Integral und Flächenbilanz

  1. 1

    Berechne die zwischen GfG_f und der xx-Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen ff:

    1. f(x)=2xx2f\left(x\right)=2-x-x^2

    2. f:  xx2(x+2)f:\;x\mapsto x^2\cdot(x+2)

  2. 2

    Begründe, warum es kein kR+\mathrm k\in \mathbb{R}^+ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:

    0k(x2+1) dx=1\displaystyle\int_0^\mathrm k (x^2+1)\ \mathrm{d}x=-1

  3. 3

    Sei die Funktion f:x(x+1)31f: x\mapsto (x+1)^3-1 gegeben. Bestimme die Fläche, die von ff und ihrer Umkehrfunktion f1f^{-1} eingeschlossen wird.

  4. 4

    a(x)=6124x2,  Da=Ra(x)=6-\frac1{24}x^2,\;D_a=\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen GaG_a und der x-Achse.

  5. 5

    Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

     

    f:  xx24x+1f:\;x\mapsto x^2-4x+1 ;

    g:  xx2+6x7g:\;x\mapsto-x^2+6x-7 ;    Df=Dg=RD_f=D_g=\mathbb{R}

  6. 6
    7369_ezi7vPbkTL.xml

    Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

        

    Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt HOP=(0    1)\mathrm{HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right) und dem Tiefpunkt TIP=(2    3)\mathrm{TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right) .

    Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

       

    Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

    Berechne nun A.

  7. 7
    7367_2BCuwd8DkJ.xml

    Die Parabel mit dem Scheitel S=(2    3)\mathrm S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right) und der Graph der Funktion f mit f(x)=1+0,5x3\mathrm f(\mathrm x)=1+0{,}5\cdot\mathrm x^3 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

                         

    Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

    Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

  8. 8
    Gerade g und Parabel f im Koordinatensystem

    Die abgebildete Parabel ff und Gerade gg schließen eine Fläche mit dem Inhalt AA ein.

    Schraffiere diese Fläche.

       

    Bestimme die Funktionsterme von ff und gg und die beiden Schnittpunkte S1{\mathrm S}_1 und S2{\mathrm S}_2 der Graphen.

    Gib AA als bestimmtes Integral an und berechne dann AA.