Aufgaben zu Integral- und Stammfunktionen

Berechne

$\int_0^xt\mathrm{d}t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^xt\mathrm{d}t$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{2}t^2\right]_0^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}0^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$

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$\int_1^xt\mathrm{d}t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_1^xt\mathrm{d}t$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{2}t^2\right]_1^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\cdot1$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$

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$\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2-t\right]_0^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-x\right)-\left(\frac{1}{3}0^3-\frac{1}{2}0^2-0\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-x$

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$\int_0^x\sin t\ \mathrm{d}t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^x\sin t\ \mathrm{d}t$	$=$	$\displaystyle [-\cos t]_0^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(-\cos x\right)-\left(-\cos0\right)$
	↓	$\cos 0 =1$
	$=$	$\displaystyle -\cos x+1$

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$\int_{1054}^xt^2\ \mathrm{d}t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_{1054}^xt^2\ \mathrm{d}t$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}t^3\right]_{1054}^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der rechte Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot x^3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot1054^3\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot x^3-\frac{1054^3}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot x^3-\frac{1.170.905.464}{3}$

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$\int_1^2\frac{1+x}x\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

Zerlege zuerst den Bruch in 2 Brüche.

$\displaystyle \int_1^2\frac{1+x}{x}\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \int_1^2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x}\right)\ \mathrm{d}x$
	↓	Bruch mit $x$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle \int_1^2\left(\frac{1}{x}+1\right)\ \mathrm{d}x$
	↓	Integrieren. Die Stammfunktion von $\frac1x$ ist $\ln x$ .
	$=$	$\displaystyle \left[\ln x+x\right]_1^2$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\ln2+2\right)-\left(\ln1+1\right)$
	↓	$\ln1=0$
	$=$	$\displaystyle \ln2+2-1$
	$=$	$\displaystyle \ln2+1$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}6931$

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$\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

Zerlege den Bruch in drei Brüche.

$\displaystyle \int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \int_1^e\left(\frac{x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac{3}{2x}\right)\ \mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle \int_1^e\left(\frac{1}{2}x+1+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x}\right)\ \mathrm{d}x$
	↓	Integriere. Die Stammfunktion von $\frac1x$ ist $\ln x$ .
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{2\cdot2}x^2+x+\frac{3}{2}\ln x\right]_1^e$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $(e)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{4}e^2+e+\frac{3}{2}\ln e\right)-\left(\frac{1}{4}1^2+1+\frac{3}{2}\ln1\right)$
	↓	Löse die Klammern auf. Dabei ist $\ln e=1$ und $\ln1=0$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{e^2}{4}+e+\frac{3}{2}-\frac{1}{4}-1$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{e^2}{4}+e+\frac{1}{4}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 4{,}8155$

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$\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}\cdot v^3\right]_{-2}^{+2}$
	↓	In die Klammer wird für $v$ der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot2^3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3\right)$
	↓	Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}+\frac{8}{3}$
	↓	Brüche addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{3}$

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$\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_2^3t^2\ \mathrm{d}t$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}t^3\right]_2^3$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot3^3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot2^3\right)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\displaystyle \frac{27}{3}-\frac{8}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{19}{3}$

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$\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_2^3x^2\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}x^3\right]_2^3$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot3^3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot2^3\right)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\displaystyle \frac{27}{3}-\frac{8}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{19}{3}$

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$\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\cdot1^2-\frac{1}{3}\cdot1^3\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot0^2-\frac{1}{3}\cdot0^3\right)$
	↓	Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{6}-\frac{2}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}$

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$\int_0^2x\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^2x\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{2}-0$
	$=$	$\displaystyle 2$

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$\int_1^3x\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_1^3x\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^3$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2}$
	↓	Zähler berechnen.
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{2}$
	$=$	$\displaystyle 4$

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$\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^0$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{0^2}{2}\right)-\left(-\frac{(-2)^2}{2}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{2}$
	$=$	$\displaystyle 2$

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$\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1^3}{3}+\frac{1^2}{2}\right)-\left(\frac{0^3}{3}+\frac{0^2}{2}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$
	↓	Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{6}+\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}$

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$\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_1^2x^2\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^2$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot2^3-\frac{1}{3}\cdot1^3$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}-\frac{1}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{3}$

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$\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^{-1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)^3-\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3$
	↓	Potenzen berechen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}+\frac{8}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{3}$

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$\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^2$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot2^3-\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3$
	↓	Potenzen berechen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}+\frac{8}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{3}$

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$\int_0^\frac{\pi}2\sin x\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[-\cos x\right]_0^{\frac{\mathrm{\pi}}{2}}$
	↓	In die Klammer wird für x der rechte Wert $\left(\frac{\mathrm\pi}2\right)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle -\cos\frac{\mathrm{\pi}}{2}+\cos0$
	↓	Kosinus im Bogenmaß berechnen.
	$=$	$\displaystyle 0+1$
	$=$	$\displaystyle 1$

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$\int_0^\frac{\pi}2\cos x\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\sin x\right]_0^{\frac{\mathrm{\pi}}{2}}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $\left(\frac{\pi}{2}\right)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \sin\frac{\mathrm{\pi}}{2}-\sin0$
	↓	Kosinus im Bogenmaß berechnen.
	$=$	$\displaystyle 1+0$
	$=$	$\displaystyle 1$

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$\int_{732}^{2000}1\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_{732}^{2000}1\mathrm{dx}$	$=$	$\displaystyle \left[x\right]_{732}^{2000}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle 2000-732$
	$=$	$\displaystyle 1268$

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$\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\right]_1^2$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3+\frac{1}{2}\cdot1^2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}+\frac{4}{2}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)$
	↓	Hauptnenner bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}+\frac{6}{3}-\left(\frac{2}{6}+\frac{3}{6}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{14}{3}-\frac{5}{6}$
	↓	Hauptnenner bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{28}{6}-\frac{5}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{23}{6}$

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$\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\right]_0^2$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot0^3+\frac{1}{2}\cdot0^2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}+\frac{4}{2}$
	↓	Hauptnenner bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{6}+\frac{12}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{28}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{14}{3}$

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$\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

$\displaystyle \int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \left[x^5-x^3-7x\right]_{-1}^1$
	$=$	$\displaystyle \left[1^5-1^3-7\cdot1-\left(\left(-1\right)^5-\left(-1\right)^3-7\cdot\left(-1\right)\right)\right]$
	$=$	$\displaystyle 1-1-7-\left(-1-\left(-1\right)+7\right)$
	$=$	$\displaystyle -7-\left(-1+1+7\right)$
	$=$	$\displaystyle -7-7$
	$=$	$\displaystyle -14$

Alternative Lösung

$f (x)$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da $f (x) = f (- x)$ :

$f(-x)=5\cdot\left(-x\right)^4-3\left(-x\right)^2-7=5x^4-3x^2-7=f(x)$ , weil der Exponent eine gerade Zahl ist

$\Rightarrow$ Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1

$\displaystyle \int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\int_0^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left[x^5-x^3-7x\right]_0^1$
	↓	0 und 1 einsetzen
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left[1^5-1^3-7\cdot1-\left(0^5-0^3-7\cdot0\right)\right]$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(1-1-7-0\right)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot(-7)$
	$=$	$\displaystyle -14$

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