Aufgaben zum Rechnen mit e und ln

Die Umkehrfunktion der $\mathrm{e}\backslash mathrm\; e$-Funktion ist der natürliche Logarithmus. Deswegen:

$\ln ({\mathrm{e}}^7)=7\backslash ln(\backslash mathrm\; e^7)=7$

Möglicher Lösungsweg mit den Potenzgesetzen:

${\mathrm{e}}^{3\cdot \ln (5)}=({\mathrm{e}}^{\ln (5)}{)}^3\backslash mathrm\; e^\{3\backslash cdot\backslash ln(5)\}=(\backslash mathrm\; e^\{\backslash ln(5)\})^3$

Möglicher Lösungsweg mit den Logarithmus-Rechenregeln:

Möglicher Lösungsweg mit den Logarithmus-Rechenregeln:

Möglicher Lösungsweg mit den Potenzgesetzen:

Da bei dieser Gleichung die gesuchte Variable $xx$ im Exponenten vorkommt, handelt es sich bei der Gleichung um eine Exponentialgleichung.

Allgemeine Erklärungen und Hilfe zum Lösen von Exponentialgleichungen findest du im Serlo-Artikel zur Exponentialgleichung.

$\mathbb{L}=\{\ln (\mathrm{9,5})\}\backslash mathbb\{L\}\; =\backslash \{\; \backslash ln\; (9\{,\}5)\; \backslash \}$

$e^{2x}=-3e^\{2x\}\; =\; -3$

Wenn du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwendest, erhältst du:

$2x=\ln (-3)2x\; =\; \backslash ln(-3)$

Da die Zahl -3 aber nicht in der Definitionsmenge ${\mathbb{R}}^{+}\backslash mathbb\{R\}⁺$ des Logarithmus enthalten ist, gibt es keine Lösung für diese Gleichung.

Die Lösungsmenge ist also die leere Menge: $\mathbb{L}=\{\}\backslash mathbb\{L\}\; =\; \backslash \{\backslash \}$

$3e^{\mathrm{0,1}x+2}=18\phantom{Abstand}\mathrm{\mid }:33e^\{0\{,\}1x+2\}=18\; \backslash phantom\{Abstand\}|\; :3$

$e^{\mathrm{0,1}x+2}=6\phantom{Abstandiii}\mathrm{\mid }\ln (\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})e^\{0\{,\}1x+2\}\; =\; 6\; \backslash phantom\{Abstandiii\}\; |\; \backslash ln(...)$

Zuerst teilst du beide Seiten durch $33$, so dass der Term mit dem $xx$ alleine links steht. Danach wendest du den natürlichen Logarithmus auf die Gleichung an. Da er die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, verschwindet diese.

$\mathrm{0,1}x+2=\ln (6)\phantom{Abstand}\mathrm{\mid }\ln (6)\approx \mathrm{1,79}0\{,\}1x+2=\backslash ln(6)\; \backslash phantom\{Abstand\}\; |\backslash ln(6)\; \backslash approx\; 1\{,\}79$

$\mathrm{0,1}x+2\approx \mathrm{1,79}\phantom{Abstandi}\mathrm{\mid }-20\{,\}1x\; +\; 2\; \backslash approx\; 1\{,\}79\; \backslash phantom\{Abstandi\}|\; -2$

$\mathrm{0,1}x=\mathrm{1,79}-20\{,\}1x\; =\; 1\{,\}79\; -\; 2$

$\mathrm{0,1}x=-\mathrm{0,21}\phantom{Abstandiiii}\mathrm{\mid }:\mathrm{0,1}0\{,\}1x=\; -0\{,\}21\; \backslash phantom\{Abstandiiii\}\; |\; :0\{,\}1$

$x=-\mathrm{2,1}x\; =\; -2\{,\}1$

Anschließend stellst du die Gleichung um, in dem du die $22$ abziehst und anschließend durch $\mathrm{0,1}0\{,\}1$ teilst.

Als Lösungsmenge erhältst du:

$\mathbb{L}=\{-\mathrm{2,1}\}\backslash mathbb\{L\}\; =\; \backslash \{-2\{,\}1\backslash \}$

In dieser Aufgabe geht es um das Lösen einer Gleichung mit einem Logarithmus.

$2\ln x=18\phantom{Abstand}\mathrm{\mid }:22\backslash ln\; x\; =\; 18\; \backslash phantom\{Abstand\}\; |\; :2$

$\ln x=9\phantom{Abstandnn}\mathrm{\mid }{e}^{(\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})}\backslash ln\; x\; =\; 9\; \backslash phantom\{Abstandnn\}\; |e^\{(...)\}$

$x=e^{9}x\; =\; e^9$

Zuerst teilst du durch $22$, damit nichts mehr vor dem "$\ln \backslash ln$" steht. Danach wendest du die Exponentialfunktion auf beide Seiten an, so dass das $xx$ alleine steht. Dann erhältst du die Lösung:

$\mathbb{L}=\{e^9\}\backslash mathbb\{L\}\; =\; \backslash \{e^9\backslash \}$

Alternativ kannst du natürlich auch den Wert von $e^{9}e⁹\backslash$noch berechnen und erhältst:

$x\approx 8103x\backslash \; \backslash approx\backslash \; 8103$.

In dieser Aufgabe geht es darum eine Gleichung mit einem Logarithmus zu lösen.

Als Erstes wendest du die Rechenregeln des Logarithmus an, um die linke Seite der Gleichung umzustellen.

$\ln \left(3x\right)-\ln \left(\mathrm{1,5}\right)=2\backslash ln\backslash left(3x\backslash right)\backslash \; -\backslash \; \backslash ln\backslash left(1\{,\}5\backslash right)\backslash \; =\backslash \; 2$

$\ln \left({\displaystyle \frac{3x}{\mathrm{1,5}}}\right)=2\phantom{Abstand}\mathrm{\mid }{\displaystyle \frac{3x}{\mathrm{1,5}}}=2x\backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{3x\}\{1\{,\}5\}\backslash right)\; =\; 2\; \backslash phantom\{Abstand\}\; |\; \backslash dfrac\{3x\}\{1\{,\}5\}\; =2x$

$\ln (2x)=2\phantom{Abstandaii}\mathrm{\mid }{e}^{(\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})}\backslash ln(2x)\; =\; 2\; \backslash phantom\{Abstandaii\}\; |e^\{(...)\}$

Nun wendest du auf beide Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion an. Und teilst anschließend durch $22$.

$2x=e^2\phantom{Abstandmana}\mathrm{\mid }:22x\; =\; e²\backslash phantom\{Abstandmana\}\; |:2$

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2}x\; =\; \backslash dfrac12\; e^2$

$\mathbb{L}=\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^2\right\}\backslash mathbb\{L\}\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash dfrac12\; e^2\backslash right\backslash \}$

Rechnen mit e und ln

In dieser Aufgabe geht es darum, eine Gleichung mit einer e-Funktion zu lösen. Der Definitionsbereich für diese Gleichung ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash mathbb\{D\}=\backslash mathbb\{R\}$.

1) Schreibe die Gleichung um

$e^{x^2}-5\cdot e^x=0e^\{x^2\}-5\; \backslash cdot\; e^x\; =0$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $5\cdot e^{x}5\; \backslash cdot\; e^x$

$e^{x^2}=5\cdot e^{x}e^\{x^2\}=5\; \backslash cdot\; e^x$

2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.

$ln(e^{x^2})=ln(5\cdot e^x)ln(e^\{x^2\})=\; ln(5\; \backslash cdot\; e^x)$

Betrachte zunächst die linke Seite der Gleichung und verwende die Potenz zu Produkt Regel an.

Wende auf der rechten Seite der Gleichung die Produkt zu Summe Regel und anschließend die Potenz zu Produkt Regel an.

$x^2\cdot ln(e)=ln(5)+ln(e^x)x^2\; \backslash cdot\; ln(e)=\; ln(5)\; +\; ln(e^x)$

Beachte auf beiden Seiten, dass $ln(e)=1ln(e)\; =\; 1$ ist.

$x^2=ln(5)+xx^2\; =\; ln(5)\; +x$

3) Löse die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel.

Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung $xx$ und $ln(5)ln(5)$.

$x^2-x-ln(5)=0x^2-x-ln(5)=0$

Du hast nun eine quadratische Gleichung erhalten.

Löse die quadratische Gleichung mit der p-q- Formel.

$x_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+ln(5)}=\mathrm{0,5}\pm \sqrt{(\mathrm{0,25}+ln(5)}x\_\{1/2\}=\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{(\backslash dfrac\{1\}\{2\})^2+ln(5)\}=0\{,\}5\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{(0\{,\}25+ln(5)\}$

$x_{1\mathrm{/}2}\in \mathbb{D}x\_\{1/2\}\backslash in\; \backslash mathbb\{D\}$, also ist die Lösungsmenge:

$\mathbb{L}=\{\mathrm{0,5}-\sqrt{(\mathrm{0,25}+ln(5)};\mathrm{0,5}+\sqrt{(\mathrm{0,25}+ln(5)}\}\backslash mathbb\{L\}=\; \backslash left\backslash \{0\{,\}5\; -\; \backslash sqrt\{(0\{,\}25+ln(5)\};0\{,\}5\; +\; \backslash sqrt\{(0\{,\}25+ln(5)\}\backslash right\backslash \}$

Hier geht es hauptsächlich um den natürlichen Logarithmus und die Rechenregeln für Logarithmen.