Aufgaben

Ein Getränkeautomat ist defekt. Jemand wirft 1 € ein. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er ein Getränk erhält, ist 0,5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Apparat ein Getränk und den Euro wieder auswirft, ist %%\frac13%%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält, ist %%\frac16%%.

  1. Gib einen Ergebnisraum an.

  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk bekommt und es bezahlt hat?

  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man weder ein Getränk erhält, noch seinen Euro zurückbekommt?

  4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk bekommt und trotzdem seinen Euro zurückbekommt?

  5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man entweder ein Getränk erhält oder seinen Euro zurückbekommt?

Teilaufgabe 1

Berechne den Ergebnisraum:

Definiere die in der Aufgabe benannten Ereignisse:

G:= "Man erhält ein Getränk"

E:= "Man erhält den Euro wieder zurück"

Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, dafür, was passieren kann:

  • Der Automat gibt ein Getränk und den Euro wieder aus.
  • Der Automat gibt kein Getrank, aber den Euro aus.
  • Der Automat gibt ein Getränk, aber den Euro nicht aus.
  • Der Automat gibt weder das Getränk noch den Euro aus.

In einem Ergebnisraum %%\Omega%% dargestellt ergibt dies: %%\Omega=\left\{\begin{pmatrix}E&G\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}\overline{G}&E\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}G&\overline{E}\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}\overline{G}&\overline{E}\end{pmatrix}\right\}%%

Alternative Lösung:

%%\Omega=\left\{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\right\}%%  

Eine 1 bzw 0 an erster Stelle bedeutet, dass der Verbraucher das Getränk erhält bzw. nicht erhält.

Eine 1 bzw 0 an zweiter Stelle steht für den Betrag den der Verbraucher zahlen muss.

%%\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}%% bedeutet also z.B., dass der Verbraucher ein Getränk erhält und der Automat den Euro wieder auswirft.

Teilaufgabe 2

Schreibe die Wahrscheinlickeiten aus der Angabe auf:

%%P(G)=\frac12%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk erhält.

%%P(G\cap E)=\frac13%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man das Getränk und auch wieder den Euro bekommt.

%%P(\overline G\cap E)=\frac16%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält.

Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P(G\cap\overline E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk bekommt und dafür bezahlen muss, man das Geld also nicht wieder zurückbekommt.

Stelle die Vierfeldertafel auf:

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\overline E%%

%%\frac12%%

%%1%%

Vervollständige die Vierfeldertafel:

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\frac12%%

%%\overline E%%

%%\frac16%%

%%\frac13%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%1%%

Lese die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab:

%%P(G\cap\overline E)=\frac16%%

Teilaufgabe 3

Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P(\overline G\cap\overline E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man kein Getränk bekommt und der Automat den Euro behält.

Betrachte die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2 und lese den gesuchten Wert ab.

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\frac12%%

%%\overline E%%

%%\frac16%%

%%\frac13%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%1%%

%%P(\overline G\cap\overline E)=\frac13%%

Teilaufgabe 4

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P(G\cap E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränkt bekommt und den Euro zurückerhält.

Dieses Ergebnis ist bereits in der Angabe enthalten (siehe Teilaufgabe 2):

%%P(G\cap E)=\frac13%%

Teilaufgabe 5

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P\left[( G\cap\overline E)\cup ( \overline G\cap E )\right]%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk erhält und dafür gezahlt hat oder kein Getränk erhält und man den Euro wieder bekommt.

Formuliere die Wahrscheinlichkeit um:

%%P\left[( G\cap\overline E)\cup ( \overline G\cap E )\right]=%%

%%=P( G\cap\overline E)+ P( \overline G\cap E )%%

Dies ist so möglich, weil die Mengen %%( G\cap\overline E)%% und %%( \overline G\cap E )%% disjunkt sind.

Betrachte die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2 und lese die gesuchten Werte ab.

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\frac12%%

%%\overline E%%

%%\frac16%%

%%\frac13%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%1%%

%%P\left[( G\cap\overline E)\cup ( \overline G\cap E )\right]=P( G\cap\overline E)+ P( \overline G\cap E )=\frac16 + \frac16 = \frac26 = \frac13%%

Ein Betreiber eines Eisenbahnunternehmens hat eine Umfrage unter seinen Fahrgästen durchgeführt, die ergab, dass 10% der Fahrgäste in der ersten Klasse reisen. Außerdem wurde in der Umfrage abgefragt, wie zufrieden die Fahrgäste mit dem Service des Unternehmens sind. Hoch erfreut stellt das Unternehmen fest, dass %%\frac56%% der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden sind. Alarmierend dagegen sind die Zufridenheitszahlen der ersten Klasse: 70% der Fahrgäste erster Klasse sind unzufrieden. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

E: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1.Klasse-Fahrer"

Z: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden"

  1. Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

  2. Als dem Geschäftsführer die Zufriedenheitszahlen der 1.Klasse mitgeteilt werden, ist dieser schockiert. Resigniert erklärt er, dass das Unternehmen es nicht geschafft habe, den Zufriedenheitswert von 77% der Fahrgäste aus dem Vorjahr zu verbessern. Hat er Recht?

  3. Tatsächlich stellt er fest, dass im Vorjahr 85% der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden waren und immerhin 45% der Fahrgäste erster Klasse. Damit haben sich beide Werte in diesem Jahr verschlechtert. Stelle diese Werte in Bezug zu deiner Antwort auf Teilaufgabe 2. Erstelle dazu auch eine Vierfeldertafel für das Vorjahr.

Vierfeldertafel

Teilaufgabe 1

Gegeben sind die Ereignisse:

%%E%%: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1.Klasse-Fahrer"

%%Z%%: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Serivice des Unternehmnes zufrieden"

Gegeben sind die folgenden Werte:

%%P(E)=10\%=0,1%%

%%P_{\overline E}(Z)=\frac{5}{6}%%

%%P_{E}(\overline Z)=70\%=0,7%%

Damit kannst du mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit folgende Werte errechnen:

%%P(E \cap \overline Z) = P(E)\cdot P_{E}(\overline Z)=0,1\cdot 0,7\% = 0,07%%

%%P(\overline E)=1-P(E)=1-0,1=0,9%%

%%P(\overline E \cap Z) = P(\overline E)\cdot P_{\overline E}(Z)=0,9\cdot \frac56 = 0,75%%

Schreibe diese Werte in eine Vierfeldertafel.

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,75%%

%%\overline Z%%

%%0,07%%

%%0,1%%

%%0,9%%

%%1%%

Nun kannst du weitere Werte berechnen:

%%P(E \cap Z) = P(E)-P(E \cap \overline Z)=0,1-0,07=0,03%%

%%P(\overline E \cap \overline Z)=P(\overline E)-P(\overline E \cap Z)=0,9-0,75=0,15%%

Füge diese in die Vierfeldertafel ein:

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,03%%

%%0,75%%

%%\overline Z%%

%%0,07%%

%%0,15%%

%%0,1%%

%%0,9%%

%%1%%

Damit kannst du die restlichen Werte berechnen:

%%P(Z)=(Z \cap E) + P(Z \cap \overline E)=0,03 + 0,75 = 0,78%%

%%P(\overline Z)=P(\overline Z)+P(\overline Z \cap \overline E) = 0,07+0,15 = 0,22%%

Damit ergibt sich die vollständige ausgefüllte Vierfeldertafel als:

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,03%%

%%0,75%%

%%0,78%%

%%\overline Z%%

%%0,07%%

%%0,15%%

%%0,22%%

%%0,1%%

%%0,9%%

%%1%%

Teilaufgabe 2

Wie aus der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 1 ersichtlich wird gilt %%P(Z)=0,78=78\% %%. Damit hat sich der Zufriedenheitswert gegenüber dem Vorjahr um 1 Prozentpunkt verbessert. Der Geschäftsführer hat somit Unrecht.

Teilaufgabe 3

Obwohl sich die Zufriedenheitswerte der Fahrgäste erster Klasse von 45% im Vorjahr auf 30% in diesem Jahr und der Fahrgäste zweiter Klasse von 85% im Vorjahr auf %%\frac56\approx83,3\% %% in diesem Jahr verschlechtert haben sind sie bei Betrachtung aller Fahrgäste von 77% auf 78% gestiegen. Wie ist dies möglich? Stelle dazu eine Vierfeldertafel für das Vorjahr auf.

Gegeben sind folgende Werte:

%%P(Z)=77\%=0,77%%

%%P_{\overline E}(Z)=85\%=0,85%%

%%P_{E}(Z)=45\%=0,45%%

Bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrgast erster Klasse fährt mit %%x\;(P(E)=x)%%. Dann gilt nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

%%P(E \cap Z)=P(E) \cdot P_{E}(Z)=0,45 \cdot x%%

%%P(\overline E \cap Z)=P(\overline E) \cdot P_{\overline E}(Z)=0,85 \cdot (1-x)%%

Desweiteren gilt die Gleichung:

%%P(Z)=P(E \cap Z) + P(\overline E \cap Z)%%

Setze die Werte ein.

%%0,77=0,45 \cdot x + 0,85 \cdot (1-x)%%

Löse nach %%x%% auf.

%%0,77=0,45 \cdot x -0,85 \cdot x + 0,85%%

%%0,77=-0,4\cdot x + 0,85%%

%%\mid +0,4 \cdot x \mid-0,77%%

%%0,4 \cdot x = 0,08%%

%%\mid :0,4%%

%%x=0,2%%

Damit kannst du die Werte in die Vierfeldertafel einsetzen, indem du in die obigen Formeln das %%x%% einsetzt.

%%P(E \cap Z)=P(E) \cdot P_{E}(Z)=0,45 \cdot 0,2=0,09%%

%%P(\overline E \cap Z)=P(\overline E) \cdot P_{\overline E}(Z)=0,85 \cdot (1-0,2)=0,68%%

Setze nun in die Vierfeldertafel ein.

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,09%%

%%0,68%%

%%0,77%%

%%\overline Z%%

%%0,2%%

%%0,8%%

%%1%%

Nun kann man die restlichen Werte leicht bestimmen:

%%P(E \cap \overline Z)= P(E) - P(E \cap Z) = 0,2 - 0,09 = 0,11%%

%%P(\overline E \cap \overline Z)= P(\overline E) - P(\overline E \cap Z) = 0,8 - 0,68 = 0,12%%

%%P(\overline Z) = 1 - P(Z) = 1 - 0,77 = 0,23%%

Erstelle nun die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel für das Vorjahr:

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,09%%

%%0,68%%

%%0,77%%

%%\overline Z%%

%%0,11%%

%%0,12%%

%%0,23%%

%%0,2%%

%%0,8%%

%%1%%

Der Umstand, dass sich trotz der Verschlechterung der Zufriedenheitswerte bei den Fahrgästen erster und zweiter Klasse insgesamt eine Verbesserung der Zufriedenheitswerte ergibt, ist also der Tatsache geschuldet, dass sich das Fahrgastverhalten dahingehend geändert hat, dass deutlich mehr Fahrgäste zweiter Klasse fahren als im Vorjahr und dort die Zufriedenheitswerte im Vergleich zur ersten Klasse nur sehr leicht gesunken sind.

In der Serlo-Schule benutzen 81% der Jugendlichen der Altersklasse 12-18 Jahre Serlo, um sich auf ihre Mathearbeiten vorzubereiten. 42% der Schüler zwischen 15 und 18 Jahren sind Serlo-Nutzer. Sie versuchen im Zuge ihrerer Tutorenarbeit Schüler im Alter von 12-14 Jahren, dazu zu überreden Serlo auch zu nutzen. Denn 11% der Schüler im Alter von 12-14 Jahren sind noch keine Serlo-User.

Erstelle hierzu eine Vierfeldertafel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Um deine Vierfeldertafel beschriften zu können, musst du zuerst festlegen, wie du Serlo-Nutzer und Nicht-Serlo-Nutzer bezeichnen willst.
SS = Serlo-Nutzer
S\overline S = Kein Serlo-Nutzer
Lese alle Informationen aus dem Text heraus:
In der Altersgruppe von 12-18 Jahren sind 81% Serlo-Nutzer: S = 81%
In der Altersgruppe von 15-18 Jahre sind 42% Serlo-Nutzer: S = 42%
In der Altersgruppe von 12-14 Jahre sind 11% keine Serlo-Nutzer: S\overline S = 11%
1.Schritt: Trage alle bisher bekannten Informationen ein.

Altersklasse in Jahren

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

12-14

11%

15-18

42%

Gesamt (also 12-18)

81%

100%

2. Schritt: Füge alle errechenbare Werte ein.

100% - 81% = 19%
81% - 42% = 39%

Altersklasse in Jahren

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

12-14

39%

11%

15-18

42%

Gesamt (also 12-18)

81%

19%

100%

3. Schritt: Füge alle errechenbare Werte ein.

39% + 11% = 50%
19% - 11% = 8%

Altersklasse in Jahren

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

12-14

39%

11%

50%

15-18

42%

8%

Gesamt (also 12-18)

81%

19%

100%

4. Schritt: Füge den letzten errechenbaren Wert ein.

100% - 50% = 50%

Altersklasse in Jahren

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

12-14

39%

11%

50%

15-18

42%

8%

50%

Gesamt (also 12-18)

81%

19%

100%

Fertig!

196 deiner 440 Facebook-Freunde haben ihren Beziehungsstatus nicht angegeben. Da du aber alle persönlich kennst, weißt du, dass insgesamt 288 deiner Facebook-Freunde in einer Beziehung sind. 116 derer, die ihren Beziehungsstatus angegeben haben, sind single.

  1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Vierfeldertafel, die du mit den Informationen aus dem Text ermitteln kannst.
  • Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.
  • Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand in einer Beziehung ist und dies auch bei Facebook angibt?
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der Single ist, dies auch bei Facebook angibt? (Achtung!)
Fülle mit den folgenden Informationen eine Vierfeldertafel aus!
P(A)=0,45;  P(AB)=0,2;  P(B)=0,7P(A)=0,45;\;P(A\cap\overline B)=0,2;\; P(\overline B)=0,7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

 AA BP(AB)P(AB)P(B)BP(AB)P(AB)P(B) P(A)P(A)1\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{P(A\cap B}) & \mathrm{P(\overline A\cap B}) & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{P(A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}
Schreibe die gegebenen Wahrscheinlichkeiten an die entsprechende Stelle.
 AA BB0,20,7 0,451\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & 0,2 & & 0,7 \\\hline\ & 0,45 & & 1 \\\end{array}
Rechne: 10,45=0,55=P(A)1-0,45=0,55=P(\overline A) 0,70,2=0,5=P(AB)0,7-0,2=0,5=P(\overline A\cap \overline B) 0,450,2=0,25=P(AB)0,45-0,2=0,25=P(A\cap B) 10,7=0,3=P(B)1-0,7=0,3=P(B) P(B)P(AB)=0,05=P(AB)P(B)-P(A\cap B)=0,05=P(\overline A\cap B)
Die fertige Vierfeldertafel sieht so aus.
 AA B0,250,050,3B0,20,50,7 0,450,551\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & 0,25& 0,05 & 0,3 \\\hline\mathrm{\overline B} & 0,2 & 0,5& 0,7 \\\hline\ & 0,45 & 0,55& 1 \\\end{array}
P(AB)=0,12;  P(A)=0,51;  P(B)=0,44P(A\cap B)=0,12;\; P(\overline A)=0,51;\; P(B)=0,44
Fülle mit den folgenden Informationen eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten aus!
In einer Schulklasse mit 29 Schüler*innen haben 10 Schüler*innen braune Haare und 7 Schüler*innen grüne Augen. 5 Schüler*innen haben grüne Augen und braune Haare.
Am Sportunterricht nehmen insgesamt 25 Kinder teil, wovon 15 weiblich sind. Genau 15 Kinder sind gut im Weitwurf. 10 Mädchen sind gut im Weitwurf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Lege zuerst fest, welche Eigenschaft in der Vierfeldertafel wie abgekürzt werden soll: M=M=Mädchen W=W=gut im Weitwurf
Schreibe die gegebenen Informationen in die entsprechenden Felder.
  • 25 Kinder sind in der Klasse, das ist das Feld Ω|\Omega| ganz rechts unten.
  • 15 Kinder der Klasse sind Mädchen, das entspricht dem Feld M|M| rechts oben.
  • 15 Kinder sind gut im Weitwurf, das entspricht dem Feld W|W| links unten.
  • 10 Mädchen sind gut im Weitwurf, das entspricht dem Feld MW|M\cap W|, das ist das Feld innen links oben.
 WW M1015M 1525\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{W} & \mathrm{\overline W} & \ \\\hline\mathrm{M} &10 & & 15 \\\hline\mathrm{\overline M} & & & \\\hline\ & 15 & & 25 \\\end{array}
Rechne:
  • W=ΩW=2515=10|\overline{W}|=|\Omega|-|W|=25-15=10
  • M=ΩM=2515=10|\overline{M}|=|\Omega|-|M|=25-15=10
  • MW=WMW=1510=5|\overline{M}\cap W|=|W|-|M\cap W|=15-10=5
  • MW=MMW=1510=5|M\cap \overline{W}|=|M|-|M\cap W|=15-10=5
  • MW=WMW=105=5|\overline M \cap \overline W| =|\overline W|-|M \cap \overline{W}|=10-5=5
 WW M10515M5510 151025\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{W} & \mathrm{\overline W} & \ \\\hline\mathrm{M} &10 & 5 & 15 \\\hline\mathrm{\overline M} & 5 & 5& 10 \\\hline\ & 15 &10 & 25 \\\end{array}
So sieht die fertige Vierfeldertafel aus.
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