Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich.
a8a8=\displaystyle\frac{a^8}{a^{-8}}=
(Verwende ^ für Potenzen)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

a8a8\frac{a^8}{a^{-8}}
Beachte die Potenzgesetze, dadurch das der Quotient gezogen wird, werden die Exponenten von einander subtrahiert.
=a8a(8)=a16= a^8 - a^{(-8)} = a^{16}
(a)8={(a⁸)}^{-8}=
(Verwende ^ für Potenzen)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

(a)8=a8(8)=a64(a⁸)^{-8}=a^{8\cdot\left(-8\right)}=a^{-64}
Bodenfläche Bayerns
Die Bodenfläche Bayerns beträgt insgesamt etwas 70 000 km². Das Diagramm zeigt wie diese genutztwird (Stand: 31.12.2015).
Wie viele km2\text{km}^2 der Bodenfläche Bayerns sind weder Wald- noch Landwirtschaftsfläche.
etwa 84000 km284000\ \text{km}^2
etwa 12000 km212000\ \text{km}^2
etwa 25000 km225000\ \text{km}^2
etwa 58000km258000 \text{km}^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz

Die Gesamtbodenfläche Bayerns liegt bei 70000km270000 \text{km}^2. Das heißt 70000km270000 \text{km}^2 entsprechen 100%100 \% der Gesamtbodenfläche Bayerns.
Gesucht wird, wie viel Fläche Bayerns weder Wald- noch Landwirtschaftsfläche ist.
Die Waldfläche macht 36%36 \% der Bodenfläche Bayerns aus und die Landwirtschaftsfläche 47%47 \%. Somit sind 100%47%36%=17%100\% - 47\% - 36\% = 17\% der Bodenfläche Bayerns weder Landwirtschaftsfäche noch Waldfläche.
Alternativ kannst du auch die Siedlungs- und Verkehrsfläche und die sonstigen Flächen addieren. Die sonstigen Flächen machen 5%5\% der Gesamtbodenfläche aus und die Siedlungs- und Verkehrsflächen leigen bei 12%12\%. Insgesamt sind somit 5%+12%=17%5\%+12\% = 17\% weder Wald- noch Landwirtschaftsfläche.
Die Lösung der Aufgabe kannst du nun exakt berechnen oder über eine Überschlagsrechnung bestimmen. Du wählst aus, was für dich leichter ist.

1) Lösung durch Überschlagsrechnung


Dafür runden wir den Prozentsatz der Siedlungs- und Verkehrsfläche ein wenig ab auf 15 %15\ \% und erhöhen die Geamtbodenfläche Bayerns auf 100.000 km2100.000\ \text{km}^2. So ergibt sich:

0,1770.000km20,15100.000km2=15.000km2 12.000 km2 0,17\cdot70.000\text{km}^2\approx0,15\cdot100.000\text{km}^2=15.000\text{km}^2\ \approx12.000\ \text{km}^2\ 

Wenn du die Antwortoptionen mit deinem Ergebnis der Überschlagsrechnung vergleichst, kann man sehen, dass nur 12.000km212.000 \text{km}^2 die passende Größenordnung besitzt. Und somit ist 12.000km212.000 \text{km}^2die Lösung.
Die zusammengesetzte Summe aus den Sonstigen Flächen zusammengefügt mit der Siedlungs- und Verkehrsfläche beträgt 17%17\% der Gesamtbodenfläche Bayerns 70000km270000 \text{km}^2. Nun kannst du entweder die Lösung exakt berechnen oder versuchst die ungefähre Lösung zu überschlagen. Da die Antwortmöglichkeiten für die Aufgabenstellung weit auseinander liegen, können wir so die Lösung bestimmen.

Dafür runden wir den Prozentsatz der Siedlungs- und Verkehrsfläche ein wenig ab auf 15 %15\ \% und erhöhen die Geamtbodenfläche Bayerns auf 100.000 km2100.000\ \text{km}^2. So ergibt sich:

0,1770.000km20,15100.000km2=15.000km2 12.000 km2 0,17\cdot70.000\text{km}^2\approx0,15\cdot100.000\text{km}^2=15.000\text{km}^2\ \approx12.000\ \text{km}^2\ 

Wenn du die Antwortoptionen mit deinem Ergebnis der Überschlagsrechnung vergleichst, kann man sehen, dass nur 12.000km212.000 \text{km}^2 die passende Größenordnung besitzt.

Und somit ist 12.000km212.000 \text{km}^2die Lösung.



2) Exakte Lösung

Man kann mit dem Dreisatz berechnen, wie viel 17%17\% der Gesamtbodenfläche sind.
Schritt 1: 100%100\% herauslesen
Wie oben schon entsprechen 100%100\% der Gesamtbodenfläche Bayerns genau 70000km270 000 \text{km}^2.

100%=^70000km2\displaystyle \Rightarrow100\%\hat{=}70000\text{km}_{ }^2
Schritt 2: 1%1\% berechnen
1%1\% ist ein Hundertstel der Gesamtbodenfläche von 70000km270000 \text{km}^2

1%=^70000km2100=700km2\displaystyle \Rightarrow 1\% \hat= \dfrac{70000 \text{km}^2} {100}=700\text{km}^2



Schritt 3: 17%17\% bestimmen
17%17\% ist das 17-fache von 1%1\% der Gesamtbodenfläche.
17%=171%17\% = 17 \cdot 1\% und 1%=^700km21\% \hat = 700\text{km}^2.

17%=^17700km2=11900km2\displaystyle \Rightarrow 17\% \hat = 17\cdot 700\text{km}^2=11900\text{km}^2

Prozentsatz p

Fläche

%%100 \% %%

%%70000 \text{km}^2%%

%%1 \% %%

%%700 \text{km}^2%%

%%17 \% %%

%%11900 \text{km}^2%%

Somit sind 11.900km211.900\text{km}^2 Bayerns weder Landwirtschaftliche noch Waldfläche. Das sind in etwa 12000km212000 \text{km}^2 .
Du kannst dies auch schneller berechnen mit der Prozentrechnung mittels Formeln. Hier nutzt du die Formel W=pGW = p\cdot G, wobei WW der Prozentwert, pp der Prozentsatz und GG der Grundwert sind.
In der Aufgabenstellung sind 17%17\% von 70000m270000\text{m}^2 gesucht. 17%17\% sind also der Prozentsatz pp und 70000km270000 \text{km}^2 entsprechen dem Grundwert GG. Gesucht wird der Prozentwert WW.
W=pG=17%70000km2=0,1770000km2=1770000km2100=17700km2=11900km212000km2\Rightarrow W=p\cdot G = 17\% \cdot 70000 \text{km}^2 = 0,17 \cdot 70000\text {km}^2 = 17 \cdot \dfrac{70000 \text{km}^2}{100} = 17\cdot 700\text{km}^2= 11900 \text {km}^2 \approx 12000 \text{km}^2

40% der „Siedlungs- und Verkehrsfläche“ sind der Verkehrsfläche zuzuordnen. Geben Sie an, wie viel Prozent der Bodenfläche Bayerns demnach Verkehrsfläche sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz

Der prozentuale Anteil der Verkehrsfläche beträgt 40%40\%, der allgemeine Bereich der Siedlungs- und Verkehrsfläche 12%12\%. Wie viel Prozent der Bodenfläche Bayerns sind also Verkehrsfläche?.
Man nehme um den Anteil der Verkehrsfläche der Bodenfläche Bayerns herauszufinden die Gesamtfläche 12%12\% geteilt durch 100100 und multipliziert diese mal 4040Das Ergebnis ist also 4,8%4,8\%.
1210040%=4,8%\frac{12}{100}\cdot 40\% = 4,8\%
In Bayern wird täglich Bodenfläche in einer Größe von etwa zehn Fußballfeldern in „Siedlungs- und Verkehrsfläche“ umgewandelt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der Bodenfläche Bayerns demnach in einem Jahr in „Siedlungs- und Verkehrsfläche“ umgewandelt werden. Gehen Sie davon aus, dass ein Fußballfeld etwa zehntausend Quadratmeter groß ist

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen

Die neu zugebaute Fläche Bayerns 10000m2\text10000 {m}^2multipliziert man mit 1010 und 365365. Die 1010 wegen der Größe von etwa zehn Fußballfeldern und die 365365, weil wir von dem Anteil der Fläche im Jahr ausgehen.
10000m210365=36500000m210000 \text{m}^2 \cdot 10 \cdot 365 = 36500000 \text{m}^2
Weil das Produkt dieser Multiplikation 36500000003650000000 in m2\text {m}^2 ist und die Bodenfläche Bayerns laut Angabe 70000km270000\text {km}^2 beträgt, muss man im nächsten Schritt die m2\text{m}^2 in km2\text{km}^2 umrechnen.
36500000m2=^36,5km236500000 \text{m}^2 \widehat {=} 36,5 \text{km}^2
 Im letzten Schritt werden die 36,5km236,5 \text{km}^2 durch die Bodenfläche Bayerns 70000km270000 \text{km}^2geteilt. Dies gibt uns schlussendlich das Ergebnis zur Aufgabe.
36,5700000,05%\frac{36,5}{70000} \approx 0,05\%
Die neuzugebaute Fläche pro Jahr in Bayern beträgt also %%0,05\% %% der Gesamtfläche von Bayern.
Dreieck 4
Betrachtet wird das nebenstehende Dreieck ABC.
Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung den Wert von tan(α)\tan\left(\alpha\right).
tan(α)=35\tan(\alpha)=\frac{3}{5}
Begründen Sie mithilfe einer geeigneten Erweiterung der Abbildung, dass die Beziehung
tan(2α)=2tan(α)\tan\left(2\alpha\right)=2\cdot\tan\left(\alpha\right) im Allgemeinen nicht gilt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangens

Du verlängerst die Strecke [BC][BC] nach oben bis zu einem Punkt DD, so dass der Winkel BAD\angle BAD den Wert 2α2\alpha hat.
Damit die in der Aufgabenstellung genannte Beziehung gilt, müsste hier in diesem Fall gelten:
tan(2α)=2tan(α)=65\displaystyle \tan \left(2\alpha\right) = 2\cdot\tan\left(\alpha\right) = \dfrac65
Anhand der Zeichnung kannst du jetzt aber erkennen, dass gilt:
tan(2α)=9,37565\displaystyle \tan \left(2\alpha\right) = \dfrac{9{,}37}{5} \neq \dfrac65
Damit hast du jetzt gezeigt, dass die Aussage allgemein nicht gilt.
Beim Spiel „Mäxchen“ werden zwei Laplace-Würfel geworfen. Die beiden geworfenen Augenzahlen werden als Ziffern einer zweistelligen Zahl so angeordnet, dass diese möglichst groß ist. Für die Ergebnisse ist die folgende Rangfolge festgelegt (aufsteigend geordnet):
Mäxchen
Begründen Sie: Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Zahl 22 zu erhalten, beträgt 136\frac1{36}, und die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Mäxchen zu erhalten, ist doppelt so groß.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten beim Würfel zweier Laplace Würfel

Wenn wir die Reihenfolge der Würfe beachten gibt es insgesamt 3636 mögliche Ergebnisse des Wurfs mit zwei Würfeln. Die Ergebnisse stellen wir so da (Augenzahl des ersten Würfels, Augenzahl des zweiten Würfels) und erhalten die Ergebnisse:
Ωmit Reihenfolge=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2), ... ,(6,4),(6,5),(6,6)\Omega_{\text{mit Reihenfolge}}=\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(1,5\right),\left(1,6\right),\ \left(2,1\right),\left(2,2\right),\ ...\ ,\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)

Im Spiel Mäxchen wird jedoch die Reihenfolge nicht beachtet und das Ergebnis stets so angeordnet, dass die erste Ziffer größer oder gleich der zweiten Ziffer ist. So vermindert sich der Ergebnisraum auf ΩMa¨xchen={11,21,31,41,51,61, ... , 66}\Omega_{\text{Mäxchen}}=\left\{11,21,31,41,51,61,\ ...\ ,\ 66\right\}.

Wahrscheinlichkeit 2222 zu würfeln

Um das Ergebnis 2222 im Spiel zu erhalten, musst du sowohl mit dem ersten, als auch mit dem zweiten Würfel eine 22 würfeln. Das heißt für das Ergebnis 2222 ist nur eine von 3636 Möglichkeiten günstig und die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 2222 ist:
P(22)=136\text{P}\left(22\right)=\frac{1}{36}


Wahrscheinlichkeit eines Mäxchens

Um ein Mäxchen zu bekommen, kann man entweder mit dem ersten Würfel eine 22würfeln und mit dem zweiten Würfel eine 11 oder man wirft mit dem ersten Würfel eine 11 und mit dem zweiten Würfel eine 22. Somit hat man zwei von 3636 Möglichkeiten das Ergebnis 2121, also ein Mäxchen zu erhalten.
P(21)=236\text{P}\left(21\right)=\frac{2}{36}

Die Wahrscheinlichkeit ein Mäxchen zu würfeln ist also doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit für einen Zweier Pasch.
Lena hat die Zahl 54 erwürfelt und behauptet: „Wenn ich jetzt die beiden Würfel noch einmal werfe, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, ein besseres Ergebnis zu erhalten, genau 50%“. Begründen Sie, dass Lena recht hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten beim Würfel zweier Laplace Würfel

Da der Laplace Würfel insgesamt 666 \cdot 6 Möglichkeiten aufweist gibt es insgesamt 36 Möglichkeiten, wenn 22 unterschiedliche Zahlen gewürfelt werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit 236\frac {2} {36} dadurch fällt die Wahrscheinlichkeit eines Pasch auf 118\frac {1} {18}.
Zu beachten ist das die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pasche und der 6er6er Kombination ++ Mäxchen: 2+2+2+2+2+1+1+1+1+1+1+2=182+2+2+2+2+1+1+1+1+1+1+2 = 18 ist.
Da es insgesamt 3636 Möglichkeiten gibt und darunter 1818 Pasche, 6er6er Kombinationen und Mäxchen verbleiben, rechnet man diese im Quotienten zu einander und multipliziert Sie mal 100100.
1836100=50%\frac{18}{36}\cdot 100 =50\%
Die errechneten 50%50\% weisen darauf hin das Lisa vollkommen richtig liegt und das Sie bei Ihren nächsten Wurf Ihre Chancen auf Erfolg um 50%50\% steigert.
Alina möchte untersuchen, ob der Regenbogen auf ihrem Foto parabelförmig ist. Dazu hat sie in das Foto ein Koordinatensystem eingezeichnet, dessen x-Achse im Ursprung den höchsten Punkt des Regenbogens berührt.
Regenbogen
Sie möchte die Gleichung einer Parabel aufstellen, deren Scheitel im Ursprung liegt und die durch einen weiteren Punkt P verläuft, der auf dem Regenbogen liegt. Dazu verwendet sie einen der folgenden Ansätze, wobei r > 0 gilt.
(1) y=(xr)2y=-{(x-r)}^2
(2) y=x2+ry=-x^2+r
(3) y=rx2y=-rx^2
Begründen Sie, dass weder Ansatz (1) noch Ansatz (2) geeignet ist

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel in Scheitelpunktsform

Hier musst du wissen, was die einzelnen Parameter einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform bedeuten.
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform, lässt sich durch passende Wahl der Parameter aa, dd und ee immer so schreiben:
f(x)=a(xd)2+e\displaystyle f(x)=a(x-d)^2+e_{ }
In Ansatz (1) ist a=1a=-1. Daher beschreibt sie eine nach unten geöffnete Parabel. Der Regenbogen sieht auch wie eine nach unten geöffnete Parabel aus, also wäre das schon mal richtig.

In Ansatz (1) kommt aber noch der Parameter d=rd=r vor. Das bedeutet die Parabel ist nach links oder rechts vom Ursprung verschoben. (Da rr größer als Null ist, ist sie nach rechts verschoben.) Der Regenbogen soll jedoch wie im Bild in der Aufgabenstellung durch den Ursprung gehen und daher nicht verschoben sein. Ansatz (1) ist also falsch.
In Ansatz (2) ist wieder a=1a=-1. Das würde schonmal passen. Aber e=re=r verschiebt unsere Parabel um rr nach oben. Da aber der Graph des Regenbogens durch den Ursprung gehen soll, kann dieser Ansatz nicht stimmen.
Wählen Sie in der Abbildung einen geeigneten Punkt P aus und bestimmen Sie damit den Wert von rr in Ansatz (3).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen lösen

Versuche hier einen Punkt im Bild zu finden, der relativ leicht abzulesen ist. Oft hilft es, ein Lineal zum Finden geeigneter Punkte zu verwenden. Setze dann den Punkt in den Funktionsterm von Ansatz (3) ein, um rr zu bestimmen.
Der Punkt P(63)P(6|-3) liegt auf dem Regenbogen-Graphen und lässt sich leicht ablesen.
Einsetzen des Punkts in y=rx2y=-rx^2 liefert:
3=r62-3=-r\cdot6^2
Das kannst du nun umformen:
3=r623=r36:36336=r112=r(1)112=r\begin{array}{rlll} -3&=&-r\cdot6^2 & \\ -3&=&-r\cdot36 & |:36\\ -\dfrac{3}{36}&=&-r& \\ -\dfrac{1}{12}&=&-r& |\cdot (-1) \\ \dfrac{1}{12}&=&r& \end{array}
rr ist also 112\dfrac{1}{12}.
Beschreiben Sie, wie Alina untersuchen kann, ob die Form des Regenbogens durch die in Aufgabe b ermittelte Gleichung beschrieben werden kann.
Alina kann einen oder mehrere weiteren Punkt auf der Parabel y=112x2y=-\dfrac{1}{12}x^2 berechnen. Wenn diese auch auf dem Regenbogengraphen liegen, lässt das die Vermutung zu, dass der Regenbogengraph eine Parabelform hat.
Setze zum Beispiel für xx die Werte 22, 33 und 44 ein

%%x%%

2

3

4

%%y =-\dfrac{1}{12}x^2%%

%%-\dfrac{1}{3}%%

%%-\dfrac{3}{4}%%

%%-\dfrac{4}{3}%%

Alle Punkte liegen auf den Graphen zum Regenbogen. Daher beschreibt der Regenbogen im Bildausschnitt eine Parabelform.
Welche der folgenden Zahlen sind rational?
5-5
2\sqrt{2}
1,411,41
49\sqrt{\frac{4}{9}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind Zahlen, die man als Bruch darstellen kann.
  • 5=51 = 102-5=-\frac{5}{1}\ =\ -\frac{10}{2} und somit ist 5-5 eine rationale Zahl.
  • 1,41=1411001,41 =\frac{141}{100} ist daher rational.
  • 49\sqrt \frac{4}{9} =49= 23=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\ \frac{2}{3} ist eine rationale Zahl.
  • 2\sqrt{2} ist als einziges keine rationale Zahl. Die Erklärung hierfür ist ein wenig komplexer, aber auch interessant. Reelle Zahlen
Einen ausführlichen Beweis zu dieser Frage findest du in unserem Kurs zur Einführung reeller Zahlen.
Dreieck
Betrachtet wird das bei C rechtwinklige Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c. Ein dazu kongruentes Dreieck A'B'C' ist so positioniert, dass die Punkte C, A (bzw. B') und C' auf einer Geraden liegen und die Punkte C', A', B und C die Eckpunkte eines Trapezes bilden (vgl. Abbildung).
Begründen Sie, dass der Winkel AAB\angle A'AB ein rechter Winkel ist.
In dieser Aufgabe, wird überprüft, dass AAB\angle A'AB ein rechter Winkel ist.
Es gilt α+β+AAB=180°\alpha+\beta+\angle A'AB=180°, da die drei Winkel auf einer Gerade liegen.
Den gesuchten Winkel γ=AAB\gamma=\angle A'AB können wir zu α\alpha und β\beta in Verbindung bringen.

Die allgemeine Winkelsumme eines Dreiecks ist 180180^\circ. Für das Dreieck ABCABC ist also α+β+90°=180°\alpha+\beta+90°=180° . Daraus lässt sich auch erschließen, dass α+β=90° \alpha+\beta=90° sind.
Setzen wir das in α+β+AAB=180°\alpha+\beta+\angle A'AB=180°ein, bekommen wir 90+AAB=18090^\circ + \angle A'AB = 180^\circ
Dann ist AAB=90°∠A'AB=90° und AAB\angle A'AB ist somit ein rechter Winkel.
Der Flächeninhalt des Trapezes C'A'BC kann sowohl mit dem Term 12(a+b)(a+b)\frac12\cdot(a+b)\cdot(a+b) berechnet werden, der sich unmittelbar aus der bekannten „Trapezformel“ ergibt, als auch mit einem Term, der sich aus der Betrachtung der Teildreiecke des Trapezes ergibt. Übersetzen Sie diese Informationen in eine Gleichung und folgern Sie hieraus sie Beziehung a2+b2=c2a^2+b^2=c^2.
12 (a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2 \frac{1}{2}\ (a+b)(a+b) = \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2 \vert 2 \cdot 2 Mal 2 rechnen um Ganze zu bekommen
a2+2ab+b2=2ab+c2a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2 \vert 2ab-2ab Minus 2ab um Lösung zu ergattern
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 Lösung
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