Aufgaben

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit %%a=b%%. Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind.

Zu text-exercise-group 11369:
Nish 2019-01-13 17:05:54+0100
Bitte die Lösungen aller Teilaufgaben bei Gelegenheit nach den neuen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeiten.

LG,
Nish
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a=44,2cm

c=63,4cm

geg: a=b= 44,2cm  c=63,4cm

ges: h, %%\alpha,\;\beta,\;\gamma%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Zunächst %%x%% berechnen.

%%x=\frac c2%%

 

%%x=\frac{63,4cm}2=31,7cm%%

%%h%% berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck %%\triangle{DBC}%% den Satz des Pythagoras anwendet.

%%h=\sqrt{a^2-x^2}%%

Bekannte Werte einsetzen.

%%h=\sqrt{\left(44,2cm\right)^2-\left(31,7cm\right)^2}%%

Zunächst quadrieren.

%%h=\sqrt{1953,64cm^2-1004,89cm^2}%%

%%h=\sqrt{948,75cm^2}%%

Wurzel ziehen.

%%h=30,8cm%%

%%\alpha%% mit Hilfe von Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Werte einsetzen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{30,8cm}{44,2cm}%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\alpha=44,2^\circ=\beta%%, da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit %%a=b%% handelt.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot44,2^\circ%%

%%\gamma=91,6^\circ%%

  %%\Rightarrow%% %%h=30,8cm;\alpha=\beta=44,2^\circ;\gamma=91,6^\circ%%

Achtung: Das Dreieck %%ABC%% ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel %%90°%% groß ist.

a=114,5m

%%\alpha%% =32,3°

geg: %%a=b= 114,5\,m%%  %%\alpha=\beta%% =32,3°

ges: %%c%%, %%h%%, %%\gamma%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot32,3^\circ=115,4^\circ%%

 

%%h%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Nach %%h%% umstellen und Werte einsetzen.

%%h=114,5m\cdot\sin\left(32,3^\circ\right)%%

%%h=61,2m%%

%%x%% berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck %%\triangle{DBC}%% den Satz des Pythagoras anwendet.

%%x=\sqrt{a^2-h^2}%%

Bekannte Werte einsetzen.

%%x=\sqrt{\left(114,5m\right)^2-\left(61,2m\right)^2}%%

Zunächst quadrieren.

%%x=\sqrt{13110,25m^2-3745,44m^2}%%

%%x=\sqrt{9364,81m^2}%%

Wurzel ziehen.

%%x=96,8cm%%

 

 

%%c%% berechnen, indem man die Seite %%x%% verdoppelt, dann die Höhe %%h%%, %%c%% in der Mitte teilt, so dass man %%2%% gleich lange Strecken %%x%% bekommt.

%%c=2\cdot96,8m=193,6m%%

  %%\Rightarrow%% %%h=61,2\,m; c=193,6\,m;\gamma=115,4^\circ%%

c=35,4cm

%%\beta%% =43,9°

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: c=35,4cm  %%\beta=\alpha%% =43,9°

ges: a, b, h, %%\gamma%% , x

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Geogebra File: /uploads/legacy/5310_IjxY3uHftI.xml

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot43,9^\circ=92,2^\circ%%

 

x berechnen, indem man die Seite c halbiert.

%%x=\frac{35,4cm}2=17,7cm%%

a mit Hilfe des Cosinus berechnen.

%%\cos\left(\beta\right)=\frac xa%%

Nach a umstellen und Werte einsetzen.

%%a=\frac{17,7cm}{\cos\left(43,9^\circ\right)}%%

%%a=24,6cm%%

h mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach h umstellen und Werte einsetzen.

%%h=17,7cm\cdot\tan\left(43,9^\circ\right)%%

%%h=17,0cm%%

  %%\Rightarrow\;\;%% %%\alpha=43,9^\circ;\;\gamma=92,2^\circ;\;a=b=24,6cm;\;h=17,0cm\;%%

h=14,8cm

%%\alpha=\beta=%% 28,3°

Geg.: %%h=14,8cm%%; %%\alpha=\beta= 28,3^\circ%%

Ges.: %%\beta,\gamma,c, b, a%%

Zeichne zur Verdeutlichung eine Skizze.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Da die Basiswinkel (hier: %%\alpha%% und %%\beta%%) in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben (d.h. %%\alpha+\beta+\gamma=180^\circ%%), kannst %%\gamma%% mit dieser Information direkt ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot28,3^\circ=123.4^\circ%%

%%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{14,8cm}{\tan\left(28,3^\circ\right)}%%

%%x=27,5cm%%

%%c%% erhälst du, indem du die Seite %%x%% verdoppelst (siehe Skizze).

%%c=2\cdot27,5cm%%

%%c=55cm%%

%%b%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Nach %%b%% umstellen und Werte einsetzen.

%%b=\frac{14,8cm}{\sin\left(28,3^\circ\right)}%%

%%b=31,2cm%%

Da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, ist die Seitenlänge %%a%% gerade gleich der Seitenlänge %%b%%.

  %%\Rightarrow\;\;%% %%\gamma=123,4^\circ;\;c=55cm;\;a=b=31,2cm%%

a=146,4m

h=58,4m

geg: %%a=b=146,4 \, m%%; %%h=58,4\, m%%

ges: %%c%%, %%\gamma,\;\alpha,\;\beta%% , %%x%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

%%\beta%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\beta\right)=\frac ha%%

Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\beta=23,5^\circ%%

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot23,5^\circ=133^\circ%%

%%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{58,4m}{\tan\left(23,5^\circ\right)}%%

%%x=134,3m%%

 

%%c%% berechnen, indem man die Seite %%x%% verdoppelt, dann die Höhe %%h%%, %%c%% in der Mitte teilt, so dass man %%2%% gleich lange Strecken %%x%% bekommt.

%%c=2\cdot134,3m=268,6m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% %%b=146,4m;\;\alpha=\beta=23,5^\circ;\;\gamma=133^\circ;\;c=268,5m%%

Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche 1,55 m1,55\text{ m} groß ist, auf ebener Straße einen 12 m12 \text{ m} langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

Skizze zur Aufgabenstellung

Körpergröße - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Vorüberlegung und Lösungsplan

Körpergröße - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck
Das Dreieck AKF\triangle AKF hat bei FF einen rechten Winkel. Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.
Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,
  • welche Seite die Hypotenuse im Dreieck AKF\triangle AKF ist, und
  • welche Seite die Ankathete zu α\alpha,
  • und welche die Gegenkathete zu α\alpha ist.
Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete
  • Hypotenuse: Seite [AK] mit AK=?\overline{\mathrm{AK}}=?_{ }
  • Ankathete zum Winkel α\alpha: Seite [FA] mit FA=12m\overline {\mathrm{FA}}= 12\, \mathrm{m}
  • Gegenkathete zum Winkel α\alpha: Seite [FK] mit FK=1,55m\overline {\mathrm{FK}}= 1,55\, \mathrm{m}
Die Formeln für sin, cos und tan lauten:
sinα=GegenkatheteHypotenuse\sin \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}
cosα=AnkatheteHypotenuse\cos \alpha = \frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}
tanα=GegenkatheteAnkathete\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}
Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.
\rightarrow Löse die Aufgabe mit dem Tangens.

Lösung der Aufgabe

tanα=Gegenkathete zu αAnkathete zu α\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}
Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.
tanα=FKFA\tan \alpha = \frac {\overline {\mathrm{FK}}}{\overline {\mathrm{FA}}}
Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.
tanα=1,55m12m=312400,129\tan \alpha = \frac {1,55\, \mathrm {m}}{12 \,\mathrm{m}}=\frac{31}{240}\approx 0,129
Um daraus den Winkel α\alpha zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion tan1\tan^{-1} an.
α=tan1(31240)7,4\alpha=\tan^{-1} (\frac{31}{240}) \approx 7,4^\circ
        \;\;\Rightarrow\;\; Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von 7,47,4^\circ auf die Straße.

Eine Tanne wirft einen 20 m langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen dabei unter einem Winkel von %%31^\circ%% auf die Erde. Zeichne eine Skizze und berechne die Höhe der Tanne.

 

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

Skizze

$$\tan\left(31^\circ\right)=\frac{h}{20m}$$

%%\,%%

%%\left|{\cdot20m}\right.%%

%%h=\tan\left(31^\circ\right)\cdot20m%%

 

%%h=12m%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Höhe der Tanne beträgt %%12m%%.

Die Zugbrücke einer Burg ist 8m lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von  %%43^\circ%% . Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunter klappen kann?

Zugbrücke einer Burg - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

%%\sin\left(43^\circ\right)=\frac{8m}{\text{Kettenlänge}}%%

%%\left|{:\sin\left(43^\circ\right)\;\left|\cdot\right.}\right.%% Kettenlänge

Kettenlänge %%=\frac{8m}{\sin\left(43^\circ\right)}%%

Kettenlänge %%\approx11,7m%%

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am einen Ufer die Strecke %%\overline{\mathrm{AB}}=80m%% abgesteckt. Am anderen Ufer gibt es gegenüber von B einen Punkt C. Als Winkel zwichen AB und AC wird %%\alpha=38^\circ%% gemessen. Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann die Breite des Flusses.

 

 

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

1. Skizze zeichnen

 

Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

2. Breite berechnen

 

%%\tan\left(38^\circ\right)=a:80\,m%%

%%\left|{\cdot80\,m}\right.%%

%%a=\tan\left(38^\circ\right)\cdot80\,m%%

 

%%a=62,5\,m%%

 

Antwort: Der Fluss ist %%62,5\,m%% breit

Ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C, mit der Seite  %%b=113m%% hat den Winkel %%\alpha=39^\circ%% . Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann alle fehlenden Seiten sowie den Winkel %%\beta%% .

Sinus, Cosinus und Tangens

1. Skizze zeichnen

 

Geogebra File: /uploads/legacy/1786.xml

2. Berechnen

 

%%\cos\left(39^\circ\right)=113m:c%%

%%\left|{\cdot c\;\left|{:\cos\left(39^\circ\right)}\right.}\right.%%

%%c=113m:\cos\left(39^\circ\right)%%

 

%%c=145m%%

 

%%\beta=180^\circ-90^\circ-39^\circ%%

%%\beta%% ausrechnen, indem man alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abzieht.

%%\beta=51^\circ%%

 

%%\sin\left(39^\circ\right)=a:145m%%

%%\left|{\cdot145m}\right.%%

%%a=\sin\left(39^\circ\right)\cdot145m%%

 

%%a=91m%%

 

"Fliegen" hinter dem Motorboot. Till schätzt vom Boot aus den Anstiegswinkel der 100 m langen, straff gespannten Schleppleine auf etwa 50°.
Wie hoch ist der Flieger etwa über dem Wasser?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

Geg: Hypothenuse =100  m=100\;m, α=50\alpha =50^\circ
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Skizze zur Aufgabe: rechtwinkliges Dreieck mit 50°-Winkel
Mit Hilfe des Sinus hh berechnen.
sin(50)=h100 m100 m\sin\left(50^\circ\right)=\dfrac h{100\ \text{m}} \quad \quad \left|\cdot100\ \text{m}\right.
Nach hh umformen.
h=sin(50)100 mh=\sin\left(50^{\circ}\right)\cdot100\ \text{m}^{ }
h=76,6  mh=76,6\;m
    \Rightarrow\;\; Der Flieger ist 76,6  m76,6\; m über dem Wasser.
Beim "Fliegen" hinter dem Motorboot an einer 100m langen Leine soll aus Sicherheitsgründen die Flughöhe von 20m nicht überschritten werden.
Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

geg: Hypothenuse =100 m= 100\ \text{m}, α=50°\alpha = 50°
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Skizze zur Aufgabe: rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 100m. Kathete 20m
Mit Hilfe des Sinus α\alpha berechnen.
sin(α)=20 m100 m\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{20\ \text{m}}{100\ \text{m}}
Mit Hilfe des Taschenrechners α\alpha berechnen.
α=11,5\alpha=11,5^\circ
    \Rightarrow\;\; Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.

Der Steigungswinkel von Treppen soll laut DIN-Norm für Haupttreppen 25°-38°, für Nebentreppen 38°-45° betragen.

Die Geschosshöhe beträgt 25m.

Wie lang wird die Treppenwange für

  1. 25°

  2. 38°

  3. 45°

Berechne auch die Ausladung.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5320_CY1ZKljnyn.xml

Teilaufgabe 1

Geg.: %%h=25m%%; %%\alpha =25^\circ%%

Ges.: %%x%%, %%w%%

Zunächst %%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{25m}{\tan\left(25^\circ\right)}\approx54m%%

%%w%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hw%%

Nach %%w%% umstellen und Werte einsetzen.

%%w=\frac{25m}{\sin\left(25^\circ\right)}\approx59m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Ausladung beträgt 54m, die Wange 59m.

Teilaufgabe 2

Geg.: %%h=25m%%; %%\alpha =38^\circ%%

Ges.: %%x%%, %%w%%

Zunächst %%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{25m}{\tan\left(38^\circ\right)}\approx32m%%

%%w%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hw%%

Nach %%w%% umstellen und Werte einsetzen.

%%w=\frac{25m}{\sin\left(38^\circ\right)}\approx41m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Ausladung beträgt %%32m%%, die Wange %%41m%%.

Teilaufgabe 3

Geg.: %%h=25m%%; %%\alpha =45^\circ%%

Ges.: %%x%%, %%w%%

Zunächst %%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{25m}{\tan\left(45^\circ\right)}=25m%%

%%w%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hw%%

Nach %%w%% umstellen und Werte einsetzen.

%%w=\frac{25m}{\sin\left(45^\circ\right)}\approx35m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Ausladung beträgt %%25m%%, die Wange %%35m%%.

Um eine Geschosshöhe von 3,20m durch eine Treppe zu überbrücken, stehen für die Ausladung 4,50m zur Verfügung.
Unter welchem Steigungswinkel ist die Treppenwange zuzuschneiden?

Sinus, Cosinus und Tangens

geg.: %%h=3,2m; x=4,5m%%

ges.: %%\alpha%%

Skizze zum Verständnis zeichnen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5320_CY1ZKljnyn.xml

Den Winkel %%\alpha%%  mithilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Werte einsetzen

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac{3,2}{4,5}%%

%%\alpha%% mithilfe des Arkustangens %%tan^{-1}%%  berechnen.

%%\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{3,2}{4,5}\right) = 35,4^\circ%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Treppenwage ist unter einem Steigungswinkel von %%\alpha = 35,4°%% zuzuschneiden.

Skizziere ein Rechteck mit den Seiten a=7cm und b=18cm und berechne die Winkel
zwischen einer Diagonalen und den Seiten

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a=7  cma=7\;\text{cm}; b=18  cmb= 18\;\text{cm}
ges: α,  β,  \alpha,\;\beta,\;
Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
Geogebra File: /uploads/legacy/5324_rVxxa8b9gs.xml
Berechne α\alpha mit Hilfe des Tangens.
tan(α)=ab\tan\left(\alpha\right)=\frac ab
Setz die Werte ein und berechne α\alpha mit Hilfe des Taschenrechners.
tan(α)=7cm18cm\tan(\alpha) = \frac {7\text{cm}}{18\text{cm}}
α=21,3\alpha=21,3^\circ
Berechne β\beta. α\alpha und β\beta sind zusammen 90° also gilt für β\beta:
β=9021,3=68,7\beta=90^\circ-21,3^\circ=68,7^\circ
    \Rightarrow\;\; Der Winkel α\alpha beträgt 21,3°. β\beta beträgt 68,7°.
zwischen beiden Diagonalen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

geg: α=68,7;  β=21,3\alpha=68,7^\circ;\;\beta=21,3^\circ
ges: γ,  δ\gamma,\;\delta
Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
Geogebra File: /uploads/legacy/5324_rVxxa8b9gs.xml
δ\delta ist 2 α\alpha , weil δ\delta ++ γ\gamma ==180° und γ\gamma +2+2 α\alpha = =180° im gleichschenklichen Dreieck gilt.
\Rightarrow δ\delta + γ\gamma == γ\gamma +2+2 α\alpha
\Rightarrow δ\delta ==22 α\alpha
δ=268,7=137,4\delta=2\cdot68,7^\circ=137,4^\circ
γ\gamma und δ\delta bilden zusammen 180°.
γ=180137,4=42,6\gamma=180^\circ-137,4^\circ=42,6^\circ
    \Rightarrow\;\; Der Winkel  γ\gamma beträgt 42,6°.  δ\delta beträgt 137,4°.
Im Kreis mit dem Radius r=10cm gehört zur Sehne s der Mittelpunktswinkel α=84\alpha=84^\circ
Wie lang ist die Sehne?

Sinus, Kosinus und Tangens

Thema dieser Aufgabe ist das Anwenden von Sinus, Kosinus und Tangens.

Geg.: %%r=10\,cm%%; %%\alpha =84^\circ%%

Ges.: %%x%%

 Zum Verständnis die Skizze zeichnen.

Skizze

Skizze zur Aufgabe mit Sinus, Kosinus und Tangens

Mit Hilfe des Sinus %%x%% berechnen.

%%\sin\left(\frac\alpha2\right)=\frac xr%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=10cm\cdot\sin\left(\frac{84^\circ}2\right)%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%x%% berechnen.

%%x=6,7cm%%

Da %%x%% die Hälfte der Sehne %%s%% ist, %%x%% verdoppeln.

%%s=2\cdot6,7cm=13,4cm%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Länge der Sehne beträgt %%13,4\,cm%%.

In 50 m Länge soll ein Damm mit trapezförmigem Querschnitt aufgeschüttet werden. Unten soll er 18 m breit sein, oben 8 m. Der Böschungswinkel soll 50° betragen.
Berechne die Dammhöhe.

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a = 18 m; b = 8 m; %%\alpha%% = 50°

ges: h

Zum Verständnis eine Skizze zeichnen.

Skizze zur Aufgabe: trapezförmiger Querschnitt durch den Damm

x berechnen, indem man b von a subtrahiert und das Ergebnis halbiert.

%%x=\frac{18\,\mathrm{m}-8\,\mathrm{m}}2=5\,\mathrm{m}%%

h mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach h umformen und Werte einsertzen.

%%h=5\,\mathrm{m}\cdot\tan\left(50^\circ\right)%%

Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .

%%h=6\,\mathrm{m}%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Dammhöhe beträgt 6 m.

Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck mit %%a=5\text{ cm}%% und %%\alpha= 75°%% die Seitenlänge von %%b%%.

Rechtwinkliges Dreieck Aufgabe Tangens

Geg.: %%a=5 \text{ cm} \\ \alpha=75°%%

Ges.: %%b%%

Die Gegenkathete von %%\alpha%% ist gegeben und gesucht ist die Ankathete von %%\alpha%%. Verwende daher den Tangens von %%\alpha%%.

$$\tan(\alpha)=\frac ab$$

Löse nach %%b%% auf.

$$b=\frac a{\tan(\alpha)}$$

Setze %%a=5\,\text{cm}%% und %%\alpha=75°%% in die Gleichung ein.

$$b=\frac{5\,\text{cm}}{\tan(75^\circ)} \approx 1{,}34\,\text{cm}$$

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