Aufgaben
Löse folgende Gleichungen:
Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne LL, das Gleichheitszeichen == und die geschweiften Klammern {}\{\} an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata ,, trennen.
Beispiel: Wenn die Lösungsmenge L={4,5,9}L =\{4,5,9\} ist, dann gib in das Feld ein: 4,5,94,5,9.
4x+4=3x+34x+4=3x+3
4x+4=3x+34x+4=3x+3
3x\left|-3x\right.

x+4=3x+4=3
4\left|-4\right.

x=1x=-1


L={1}L=\left\{-1\right\}

5x2=x+6\displaystyle 5x-2=x+6
5x2=x+6\displaystyle 5x-2=x+6
+2\displaystyle \vert+2

5x=x+8\displaystyle 5x=x+8
x\displaystyle \vert-x

4x=8\displaystyle 4x=8
:4\displaystyle \vert:4

x=2\displaystyle x=2


L={2}\displaystyle L=\{2\}


3x=x+53x=x+5
3x=x+53x=x+5
x\left|{-x}\right.
2x=52x=5
:2\left|{:2}\right.
x=2,5x=2,5

L={2,5}L=\left\{2,5\right\}

2x=42x=4
2x=42x=4
:2\vert:2

x=2x=2

L={2}L=\{2\}

7x9=2x+5\displaystyle 7x-9=2x+5
7x9=2x+5\displaystyle 7x-9=2x+5
2x\displaystyle |-2x
5x9=5\displaystyle 5x-9=5
+9\displaystyle |+9
5x=14\displaystyle 5x=14
:5\displaystyle |:5
x=2,8\displaystyle x=2,8
L={2,8}\displaystyle L=\{2,8\}
112x5=3\frac1{12}x-5=3
112x5=3\frac1{12}x-5=3
+5\displaystyle |+5
112x=8\frac1{12}x=8
12\displaystyle \left|\cdot12\right.
x=96\displaystyle x=96
L={96}\displaystyle L=\{96\}
8x+5=5-8x+5=-5
8x+5=5-8x+5=-5
5\left|-5\right.
8x=10-8x=-10
:(8)\left|:(-8)\right.
x=108\displaystyle x=\frac{-10}{-8}

x=108=54=1,25\displaystyle x=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1,25

L={1,25}L=\left\{1,25\right\}
x+4=9x(5x)x+4=9x-\left(5-x\right)
x+4=9x(5x)x+4=9x-(5-x)
x+4=9x5+xx+4=9x-5+x
x+5\begin{array}{l}\left|-x\right.\\\left|+5\right.\end{array}
9=9x9=9x
:9\left|:9\right.
x=1x=1

L={1}L=\{1\}
124x=0\frac1{24}x=0
124x=0\frac1{24}x=0
24\left|\cdot24\right.
x=0x=0

L={0}L=\{0\}

Löse folgende Gleichungen

%%3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)%%

%%3(a-4)=1-\frac15(2-a)%%

%%3a-12=1-\frac25+\frac15a%%

Fasse zusammen.

%%3a-12=\frac35+\frac15a%%

%%|-\frac15a%%

%%|+12%%

%%3a-\frac{1}5a=\frac{3}5+12%%

Fasse zusammen.

%%\frac{14}5a=\frac{63}5%%

%%\left|:\frac{14}5\right.%%

%%a=\frac92=4,5%%

%%L=\{4,5\}%%

%%3\left(4x-3\right)=4\left(3x-4\right)%%

Nach x auflösen

Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, sieh dir diesen Artikel an zum Lösen von Gleichungen.

%%12x-9=12x-16%%

%%\left|-12x\right.%%

%%-9=-16%%

Ist nicht lösbar.

%%L=\emptyset%%

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

%%\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)%%

%%(x-2)(3x-1)=3(x+1)x-2(5x+1)%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=3x^2+3x-10x-2%%

Fasse zusammen.

%%3x^2-7x+2=3x^2-7x-2%%

%%\begin{array}{l}\left|-3x^2\right.\\\left|+7x\right.\end{array}%%

%%2=-2%%

=> Für x kann keine Zahl eingesetzt werden, sodass die Gleichung wahr ist.

%%L=\emptyset%%

%%\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

%%\left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

Multipliziere die Klammern aus.

(Runde Klammern haben höhere Priorität als Eckige)

%%\left[2x+6+4\right]\cdot5-10x=50%%

Fasse in der eckigen Klammer zusammen.

%%\left[2x+10\right]\cdot5-10x=50%%

%%10x+50-10x=50%%

Fasse zusammen.

%%50=50%%

Gilt für jedes x.

%%L=G%%

=> Alle Zahlen sind einsetzbar

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%6x-1,5=4-2+2x%%

Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren:
Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.

%%6x-1,5=2x+2%%

%%\left|-2x +1,5\right.%%

Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen.

%%4x=3,5%%

%%\left|:4\right.%%

Durch die Zahl vor der Variablen dividieren.

%%x=\frac{3,5}4%%

Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.

%%x=\frac{3,5\cdot2}{4\cdot2}=\frac78%%

%%\,%%

%%L=\left\{\frac78\right\}%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.

%%7-\left[-33+15x\right]=2x-1-1+4x%%

%%7+33-15x=2x-1-1+4x%%

Fasse zusammen.

%%40-15x=-2+6x%%

%%\begin{array}{l}\left|+15x\right.\\\left|+2\right.\end{array}%%

%%21x=42%%

%%\left|:21\right.%%

%%x=2%%

 

%%L=\left\{2\right\}%%

 

%%-1\frac34-0,8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8(x-4)=-\frac23(\frac3{10}x-3)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8x+3,2=-\frac15x+2+0,5%%

Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)

%%1,45-0,8x=-\frac15x+2,5%%

%%\vert+\frac15x%%

%%\mid-1,45%%

Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.

%%-0,8\mathrm x+\frac15\mathrm x=-1,45+2,5%%

Fasse zusammen.

%%-0,6x = 1,05%%

%%\mid : (-0,6)%%

      %%\mathrm x=-1,75%%

 

%%L=\{-1,75\}%%

Bestimme die Lösung der Gleichung  %%\left(11,25+2\frac23\right)-x=4,7-3\frac7{12}%% .

%%\left(11,25+2\frac23\right)-x=4,7-3\frac7{12}%%

Fasse zusammen.

%%\frac{45}4+\frac83-x=\frac{47}{10}-\frac{43}{12}%%

%%|-\frac{47}{10}%%

%%\frac{45}4+\frac83-x - \frac{47}{10} =-\frac{43}{12}%%

%%|+\frac{43}{12}%%

%%\frac{45}4+\frac83-x - \frac{47}{10} +\frac{43}{12}= 0%%

%%|+x%%

%%x=\frac{45}4+\frac83+\frac{43}{12}-\frac{47}{10}%%

Gemeinsamen Hauptnenner 60 bilden und alle Brüche auf diesen erweitern.

%%x=\frac{675}{60}+\frac{160}{60}+\frac{215}{60}-\frac{282}{60}%%

Fasse zusammen.

%%x=\frac{768}{60}%%

Kürze den Bruch.

%%x=\frac{64}5%%

%%L=\left\{\frac{64}5\right\}%%

Löse folgende Gleichung, indem du zuerst mit dem Hauptnenner beide Seiten der Gleichung multiplizierst:

%%\frac13x-\frac3{10}+\frac43x=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

%%\frac13x-\frac3{10}+\frac43x=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Bilde den Hauptnenner der linken Seite.

%%\frac{10x}{30}-\frac9{30}+\frac{40x}{30}=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Fasse die linke Seite soweit wie möglich zusammen.

%%\frac{50x-9}{30}=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Bilde den Hauptnenner der rechten Seite.

Beachte: Bevor du den Hauptnenner der Zahl %%1\frac16%% bildest, werde dir bewusst, dass es sich hier um einen gemischten Bruch handelt, also %%1\frac16=\frac76%%.

%%\frac{50x-9}{30}=\frac{-12x+14-5x+24}{12}%%

Fasse den Nenner auf der rechten Seite soweit wie möglich zusammen.

%%\frac{50x-9}{30}=\frac{-17x+38}{12}%%

%%\left|\cdot30\right.%%

%%50x-9=\frac{-17x+38}{12}\cdot30%%

%%\left|\cdot12\right.%%

%%\left(50x-9\right)\cdot12=\left(-17x+38\right)\cdot30%%

%%600x-108=-510x+1140%%

%%\left|+108\right.%%

%%600x=-510x+1248%%

%%\left|+510x\right.%%

%%1110x=1248%%

%%\left|:1110\right.%%

%%x=\frac{1248}{1110}%%

%%L=\left\{\frac{1248}{1110}\right\}%%

Prüfe durch Einsetzen, ob %%x=1,\;2,\;3,\;4,\;5%% eine Lösung ist :

%%\frac{90}x=x^2+21%%

1. x = 1

%%\frac{90}x=x^2+21%%

Setze ein.

%%{\textstyle90}=1+21%%

%%{\textstyle90}\neq22%%

x = 1 löst die Gleichung nicht.

2. x = 2

%%\frac{90}2=2^2+21%%

%%45=2^2+21%%

%%45=4+21%%

%%45\neq25%%

x = 2 löst die Gleichung nicht.

3. x = 3

%%\frac{90}3=3^2+21%%

%%30=3^2+21%%

%%30=9+21%%

%%30=30%%

x = 3 ist Lösung der Gleichung.

4. x = 4

%%\frac{90}4=4^2+21%%

%%22,5=4^2+21%%

%%22,5=16+21%%

%%22,5\neq37%%

x = 4 löst die Gleichung nicht.

5. x = 5

%%\frac{90}5=5^2+21%%

%%18=5^2+21%%

%%18=25+21%%

%%18\neq46%%

x = 5 löst die Gleichung nicht.

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