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Eine kurze Lösung gibt es aber auch hier.

Aufgaben
Punkte für Aufgabe 1.1: 1 P
Punkte für Aufgabe 1.2: 2 P
Punkte für Aufgabe 1.3: 2 P

Teilaufgabe A 1.1

Diese Aufgabe kannst du mit Hilfe des Kosinussatzes lösen.
Betrachte das Dreieck ΔABC\Delta \mathrm{ABC}.
Die Seite BC\overline{\mathrm{BC}} liegt dem Winkel BAC\measuredangle \mathrm{BAC} gegenüber. Laut Kosinussatz gilt daher:
BC2=AB2+AC22ABACcosBAC\displaystyle \overline {\mathrm{BC}}^2=\overline {\mathrm{AB}}^2+\overline {\mathrm{AC}}^2-2\cdot \overline {\mathrm{AB}} \cdot \overline {\mathrm{AC}} \cdot \cos \measuredangle \mathrm{BAC}
Wenn du die Zahlenwerte einsetzt, heißt das:
BC2=(182 m)2+(635 m)22(182 m)(635 m)cos58°\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2 = (182 \ \mathrm{m})^2 + (635 \ \mathrm{m})^2 - 2\cdot (182 \ \mathrm{m})\cdot (635 \ \mathrm{m})\cdot \cos 58°
Daraus erhältst du BC\overline{\mathrm{BC}} ganz einfach durch Wurzelziehen und Ausrechnen mit dem Taschenrechner:
BC=(182m)2+(635m)22(182m)(635m)cos58°=33142m2+403225m2(231140cos58°)m2=(436349231140cos58°)m2313863,461265m2560m\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline{\mathrm{BC}}&=& \sqrt{(182 \, \mathrm{m})^2 + (635 \, \mathrm{m})^2 - 2\cdot (182 \, \mathrm{m})\cdot (635 \, \mathrm{m})\cdot \cos 58°}\\ &=&\sqrt{33142\, \mathrm{m^2} + 403225\,\mathrm{m^2} - (231140\cdot \cos58°)\mathrm{m^2}}\\ &=&\sqrt{(436349-231140\cdot \cos 58°)\,\mathrm{m^2}}\\ &\approx&\sqrt{313863,461265\,\mathrm{m^2}}\\ &\approx&560\,\mathrm{m} \end{array}

Teilaufgabe A 1.2

Auch diese Aufgabe kannst du mit Hilfe des Kosinussatzes lösen.
Davor rechnest du aber am Besten noch die Winkel CBA\measuredangle\mathrm{CBA}und CBS\measuredangle \mathrm{CBS} aus.
CBA\measuredangle\mathrm{CBA} erhältst du durch die Winkelsumme in Dreiecken, indem du ausnutzt, dass
180°=CBA+BAC+ACB\displaystyle 180° = \measuredangle\mathrm{CBA}+ \measuredangle\mathrm{BAC} + \measuredangle\mathrm{ACB}
Umgeformt erhältst du 
CBA=180°BACACB\displaystyle \measuredangle\mathrm{CBA}=180°-\measuredangle\mathrm{BAC}-\measuredangle\mathrm{ACB}^{ }
und damit
CBA=180°58°16°\displaystyle \measuredangle\mathrm{CBA} = 180° - 58° - 16°
also
CBA=106°\displaystyle \measuredangle\mathrm{CBA} = 106°
Wegen CBA=CBS+SBA\measuredangle\mathrm{CBA}= \measuredangle\mathrm{CBS}+\measuredangle\mathrm{SBA} erhältst du CBS\measuredangle\mathrm{CBS} durch
CBS=CBASBA\displaystyle \measuredangle\mathrm{CBS} = \measuredangle\mathrm{CBA} - \measuredangle\mathrm{SBA}
Damit ergibt sich, 

CBS=106°68°\displaystyle \measuredangle\mathrm{CBS} = 106° - 68°
also CBS=38°\measuredangle\mathrm{CBS} = 38°.

Mit dem Winkel CBS\measuredangle\mathrm{CBS} kannst du den Kosinussatz anwenden, um SC\overline{\mathrm{SC}} zu bestimmen:
SC=BS²+BC²2BSBCcos(CBS)\overline{\mathrm{SC}} = \sqrt{\overline{\mathrm{BS}}² + \overline{\mathrm{BC}}² - 2 \cdot \overline{\mathrm{BS}}\cdot \overline{\mathrm{BC}} \cdot cos(\measuredangle\mathrm{CBS})}
SC=(353m)²+(560m)²2353m560mcos(38°)\overline{\mathrm{SC}} = \sqrt{{(353m)}² + {(560m)}² - 2 \cdot 353m\cdot 560m \cdot cos(38°)}
und damit erhältst du SC=356m.\overline{\mathrm{SC}} = 356m. 

Teilaufgabe A 1.3

Diese Aufgabe löst du am Besten durch Berechnung des Winkels ACP\measuredangle\mathrm{ACP} und danach durch Anwendung der Verhältnisse von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck.
Den Winkel ACP\measuredangle\mathrm{ACP} erhältst du durch ACP=SCBACB\measuredangle\mathrm{ACP} = \measuredangle\mathrm{SCB} - \measuredangle\mathrm{ACB}.
Dafür benötigst du SCB\measuredangle\mathrm{SCB} . Diesen Winkel erhältst du durch den Sinussatz.
Unter Anwendung des Sinussatz erhältst du:

sin(SCB)BS=sin(CBS)SC\displaystyle \dfrac{sin(\measuredangle\mathrm{SCB})}{\overline{BS}} = \dfrac{sin(\measuredangle\mathrm{CBS})}{\overline{SC}}
und mit den eingesetzten Werten

sin(SCB)353m=sin(38°)356m\displaystyle \dfrac{sin(\measuredangle\mathrm{SCB})}{353m} = \dfrac{sin(38°)}{356m}
und damit ergibt sich

sin(SCB)=sin(38°)356m353m\displaystyle sin(\measuredangle\mathrm{SCB}) = \dfrac{sin(38°)}{356m} \cdot 353m
ausgerechnet und nach dem Winkel umgeformt erhältst du dann 

SCB=37,6°.\displaystyle \measuredangle\mathrm{SCB} = 37,6°.
Mit Hilfe von SCB\measuredangle\mathrm{SCB} und dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck erhältst du in dem Dreieck \vartriangleACP folgenden Ansatz:

sin(PCA)=APAC.\displaystyle sin(\measuredangle\mathrm{PCA}) = \dfrac{\overline{AP}}{\overline{AC}}.
Dieser Ansatz basiert darauf, dass der kürzeste Weg der Strecke AP\overline{AP} die senkrechte Verbindung von A zur Strecke SC\overline{SC} darstellt. Dies bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck \vartriangleACP um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und du das Seitenverhältnis mit dem Sinus anwenden kannst.
Umgeformt erhältst du mit dem Ansatz 

AP=sin(21,62°)635m\displaystyle {\overline{AP}} = sin(\mathrm{21,62°}) \cdot 635m
also AP=234m.{\overline{AP}} = 234m.
Punkte für Aufgabe 2.3: 2 P
Punkte für Aufgabe 2.4: 2 P
A 3.0 Die nachfolgende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse ME und dient als Vorlage für eine Lampe, die aus einer Plexiglasscheibe und einem Lampenschirm besteht.
Es gilt: AB=45cm\overline{AB}=45cm; BC=2cm\overline{BC}=2cm; KL=36cm\overline{KL}=36cm; ME=13,5cm\overline{ME}=13,5cm; MF=12cm\overline{MF}=12cm.
Für den Durchmesser [GH] des Halbkreisbogens HG gilt: GH=9cm.\overline{GH}=9cm.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.


Rotationskörper
A 3.1 Berechnen Sie das Volumen V der Plexiglasscheibe.
A 3.2 Ermitteln Sie rechnerisch den Inhalt A der Außenfläche des Lampenschirms. 4 P
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Zu curriculum-topic-folder Teil A:
hp 2020-08-04 06:19:45+0200
Der Link in der allerersten Zeile auf die Originalaufgabe beim ISB müsste auf ...mathe_ii_hauptermin... geändert werden (jetzt steht dort die ...i... ). Danke
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