Ableitung von ln-Funktionen Teil 1

Zu text-exercise-group 2373:
Nish 2019-04-24 17:08:04+0200
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Die Llösungen aller Teilaufgaben sollten mal nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden. Das wäre super! :)

LG,
Nish
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%%f(x)=\ln(-x)%%

Berechne die 1. Ableitung von %%f(x)=\ln(x^2)%% für %%x\in \mathbb R\setminus \{0\}%%.

Ableitung

Um %%f(x)%% ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist und wie du die natürliche logarithmus Funktion %%\ln(x)%% ableiten kannst.

Zerlege zunächst %%f(x)%% in %%u(x)%% und %%v(x)%%.

%%u(x)=\ln(x)%% und %%v(x)=x^2%%.

Dann ist %%f(x)=u(v(x))=u(x^2)=\ln(x^2)%%.

Berechne die Ableitung von %%u(x)%% und %%v(x)%%.

Es gilt: %%u'(x)=\dfrac1x%% und %%v'(x)=2x%%

Jetzt kannst du %%f(x)%% mit Hilfe der Kettenregel ableiten:

%%f'(x)=\left(u(v(x))\right)'=u'(v(x))\cdot v'(x)=u'(x^2)\cdot v'(x)=\dfrac1{x^2}\cdot2x=\dfrac2x%%.

Diese ist für alle %%x\in \mathbb R\setminus \{0\}%% definiert.

%%f(x)=\ln\sqrt x%%

%%f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)=\ln\left(x^\frac12\right)%%

%%=\frac{1}{2}\cdot\ln x%%

Die Wurzel lässt sich als Potenz schreiben. Dann wendet man die Potenzregel des Logarithmus an.

In dieser Form kannst du die Ableitung der Funktion mit der Faktorregel berechnen:

%%f'(x)= (\frac{1}{2}\cdot \ln x)'=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}%%

Das fasst du noch zusammen und erhältst als Ergebnis:

%%f'(x)=\frac{1}{2x}%%

Anmerkung: Die Faktorregel ist ein Spezialfall der Produktregel. Du kannst die Ableitung daher natürlich auch mit der Produktregel berechnen

Ableitung mit der Produktregel

%%\begin{array}{cclccc} f'(x)&=& (\frac{1}{2}\cdot \ln x)'\\ &=&(\frac{1}{2})'\cdot \ln x &+& \frac{1}{2} \cdot (\ln x)'\\ &=& 0\cdot \ln x &+& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \\ &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\\ &=& \frac{1}{2x} \end{array}%%

Berechne die 1. Ableitung von %%f(x)=\sqrt{\ln x}%% für %%x>1%%.

Ableitung

Um %%f%% ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist, wie du Wurzeln als Potenz schreiben und wie du die natürliche Logarithmusfunktion %%\ln(x)%% ableiten kannst.

%%f(x)=\sqrt{\ln x}=\left(\mathrm{\ln x}\right)^\frac12%%

Wurzel als Potenz schreiben.

Zerlege zunächst %%f(x)%% in %%u(x)%% und %%v(x)%%:

%%u(x)=x^\frac12%%

%%v(x)=\ln(x)%%

Dann ist %%f(x)=u(v(x))=u(\ln(x))=(\ln(x))^\frac12%%.

Berechne die Ableitung von %%u(x)%% und %%v(x)%%:

%%u'(x)=\dfrac12\cdot x^{\frac12-1}=\dfrac12\cdot x^{-\frac12}=\dfrac1{2}\cdot \dfrac1{\sqrt x}%%

%%v'(x)=\dfrac1x%%

Jetzt kannst du %%f(x)%% mit Hilfe der Kettenregel ableiten:

%%f'(x)=\left(u(v(x))\right)'=u'(v(x))\cdot v'(x)=u'\left(\ln(x)\right)\cdot v'(x)=\dfrac1{2}\cdot \dfrac1{\sqrt {\ln(x)}}\cdot \dfrac1x%%.

Diese Ableitungsfunktion ist für alle %%x>1%% definiert. Für %%x=0%% ist %%\dfrac1x%% nicht definiert und für %%x<0%% ist %%\ln(x)%% nicht definiert.

%%f(x)=\ln(\sin x)%%

%%f(x)=\ln(\sin (x))%%

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

%%f'\left(x\right)=\left[\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right]'%%

Erst die äußere Ableitung (die äußere Funktion %%ln(x)%% ableiten) bilden und die innere Funktion einsetzen. Dann noch Nachdifferenzieren, also mal die innere Ableitung (innere Funktion %%sin(x)%% ableiten) nehmen.

%%=\frac{\left(\sin\left(x\right)\right)'}{\sin\left(x\right)}=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}%%

%%\frac{cos(x)}{sin(x)}=cot(x)%% (Kotangens)

%%=\cot (x)%%

%%f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{1+\mathrm e^{\mathrm x}}{1-\mathrm e^{\mathrm x}}\right)%%

%%f(x)=\ln\left(\frac{1+ \mathrm e^{\mathrm x}}{1- \mathrm e^{\mathrm x}}\right)%%

Als erstes wird mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.

Dann differenzierst du unter Verwendung der Quotientenregel nach.

%%f'(x)=\dfrac{1}{(\frac{1+\mathrm e^{\mathrm x}}{1-\mathrm e^\mathrm x})}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x\cdot\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)-\left(1+\mathrm e^\mathrm x\right)\cdot\left(-\mathrm e^\mathrm x\right)}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)^2}%%

Den Doppelbruch zu Beginn löst du auf, indem du den Kehrbruch des Nenners bildest.

%%f'(x)=\frac{1-\mathrm e^{\mathrm x}}{1+\mathrm e^\mathrm x}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x\cdot\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)-\left(1+\mathrm e^\mathrm x\right)\cdot\left(-\mathrm e^\mathrm x\right)}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)^2}%%

Nun kürzt du und machst Ausmultiplizieren im Zähler.

%%=\frac1{1+\mathrm e^\mathrm x}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x-\mathrm e^{2\mathrm x}+\mathrm e^\mathrm x+\mathrm e^{2\mathrm x}}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)}%%

Nun fasst du im Zähler zusammenfassen. Im Nenner wendest du die binomische Formel an.

%%=\frac{2\mathrm e^\mathrm x}{1-\mathrm e^{2\mathrm x}}%%

%%f(x)=\ln\left[2+\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)\right]%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=\ln\left[2+\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)\right]%%

Wende die Ableitungsregel für den ln an. Das Argument des ln ist dann der Nenner eines Bruches mit dem Zähler 1. Differenziere dann mit der Ableitung des Arguments des ln nach .

%%f'\left(x\right)=\frac1{2+{\frac12}\left(\mathrm {e^{x}+e^{-x}}\right)}\cdot\frac12\left(e^x-e^{-x}\right)%%

Kürze Zähler und Nenner des Bruches mit %%\frac12%%.

%%=\frac{e^x-e^{-x}}{4+e^x+e^{-x}}%%

%%f(x)=2x-\left(\ln (2-2\cdot\mathrm{e^x})\right)^2%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=2x - \left(\ln (2-2\cdot\mathrm{e^x})\right)^2%%

Zum Ableiten des zweiten Elements zwei mal die Kettenregel anwenden .

%%f'(x)=2-2\cdot \ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot\frac{1}{2-2\mathrm{e^x}}\cdot (-2e^x)%%

 

%%=2 - \frac{2\cdot \ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot(-2\mathrm{e^x})}{2-2\mathrm{e^x}}%%

Mit 2 kürzen.

%%=2 + \frac{\ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot2\mathrm{e^x}}{1-\mathrm{e^x}}%%

 

%%f(x)=\ln(\ln x)%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=\ln^2(x)=\ln(\ln x)%%

Wende die Ableitungsregel für den ln mit beliebigem Argument an und differenziere mit der Ableitung des Arguments nach (hier: lnx).

%%f'\left(x\right)=\frac1{\ln x}\cdot\frac1x=\frac1{\ln x\;\cdot\; x}%%

%%f(x)=\frac12x^2\left(\ln x-\frac12\right)%%

Ableitung berechen

%%f(x)=\frac12x^2\left(\ln x-\frac12\right)%%

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Für den zweiten Faktor wird die Ableitungsregel des ln benötigt.

%%f'\left(x\right)=x\cdot\left(\ln x-\frac12\right)+\frac12x^2\cdot\frac1x%%

Multipliziere die Klammer aus und kürze ein %%x%% im zweiten Summanden.

%%=x\cdot\ln x-\frac12x+\frac12x=x\cdot\ln x%%

%%f(x)=\displaystyle\ln\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}%%

erster Schritt, den Logarithmus in einfache Teile zerlegen

%%f(x)= \ln\left(\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}\right)=\frac{1}{3}\left[\ln(e^{3x})-\ln(1+e^{3x})\right]%%

%%f(x)=x-\frac{1}{3}\ln(1+e^{3x})%%

zweiter Schritt, die Ableitung bilden

%%f\left(x\right)=x-\frac13\ln\left(1+e^{3x}\right)%%

Wende die Kettenregel an.

%%\displaystyle f'\left(x\right)=1-\frac13\frac1{1+e^{3x}}3e^{3x}%%

Kürze den 2.Term.

%%=\displaystyle 1 - \frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}%%

Bringe den ersten Term auf den Hauptnenner.

%%=\dfrac{1+e^{3x}}{1+e^{3x}}-\dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}%%

Fasse zusammen.

%%=\dfrac{1}{1+e^{3x}}%%