Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind ähnlich wie die Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen. Nur werden hier nicht zwei Funktionen gleich gesetzt, sondern eine der Variablen in der Funktion (%%x,y%%) wird %%0%% gesetzt.

 

Wenn eine Funktion eine Achse schneidet, dann ist der Schnittpunkt von der anderen Achse aus betrachtet auf Höhe null.

Deswegen gilt für die Bestimmung der Schnittpunkte für die Gleichung  %%y= f(x)%% folgendes:

  • Für den Schnittpunkt mit der x-Achse muss y=0 gesetzt und die Gleichung nach x aufgelöst werden.

  • Für den Schnittpunkt mit der y-Achse muss x=0 gesetzt und die Gleichung für y gelöst werden.

%%\\%%

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den y-Wert gleich 0 setzt.

%%\\%%

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse zu ermitteln, muss für den x-Wert 0 eingesetzt werden.

 

Während eine Funktion mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse haben kann, kann sie höchstens einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben.

Warum?

Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. 

 

Schnittpunkte mit der x-Achse

Für Schnittpunkte mit der x-Achse muss man den y-Wert der gegebenen Funktion gleich null setzen und die dann entstandene Gleichung nach x auflösen.

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann $$( x | y ) = ( x | 0 )\\$$

Der Graph rechts zeigt die Funktion $$f(x)=x^3-x\\$$

Alternativ lautet die Gleichung auch $$y=x^3-x$$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8379_IxMVY07oDk.xml

Setzt man darin nun y=0, dann erhält man

%%\begin{array}{ccl}0&=& x^3- x\\0&=& x\left(x^2-1\right)\\0&=& x\left( x+1\right)\left(x-1\right)\\ \ & \Rightarrow & x=0 \; \mathrm{oder} \; x=1 \; \mathrm{oder} \; x=-1 \end{array}%%

%%\;%%

x ausklammern

3.%%\;%%Binomische Formel anwenden

Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.

 

Die Schnittpunkte sind %%\mathrm A\left(\;-1\;\vert\;0\;\right),\;\;\mathrm B\left(\;0\;\vert\;0\;\right),\;\;\mathrm C\left(\;1\;\vert\;0\;\right)%%

Die Schnittpunkte mit der x-Achse heißen auch die Nullstellen der Funktion f.

Schnittpunkte mit der y-Achse

Für Schnittpunkte mit der y-Achse muss man den x-Wert der gegebenen Funktion gleich null setzen und die dann entstandene Gleichungfür y lösen.

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann %%( x | y ) = ( 0 | y )%%

Der Graph rechts zeigt die Funktion %%f(x)=x^3-x%%

Alternativ lautet die Gleichung auch %%y=x^3-x%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8381_qkTuWmSo1r.xml

Setzt man darin nun x=0, dann erhält man

%%\begin{array}{l}\begin{array}{ccl}\mathrm y&=&0^3-0\\\mathrm y&=&0\end{array}\\\end{array}%%

Da y bereits allein auf einer Seite steht, erhält man die Lösung durch Einsetzen der 0 und Ausrechnen der rechten Seite.

Der Schnittpunkt ist  %%\mathrm T\left(\;0\;\vert\;0\;\right)%%

Der Schnittpunkt mit der y-Achse heißt auch der y-Achsenabschnitt der Funktion f.

Es gibt immer höchstens einen Schnittpunkt mit der y-Achse.

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lm1909 2015-07-02 15:35:49
Gibt es schon eine Übungsseite zu diesem Thema? Wenn ja sollte sie verlinkt werden, wenn nicht evtl. erstellt.
Nish 2015-07-02 16:32:38
Hallo lm1909,
es gibt zumindest zu diesem Thema auf dieser Topic-Seite noch keinen Aufgabenordner. Daher möchte ich dir erstmal für den Hinweis danken! Aufgaben zum Schnittpunkt mit der x-Achse, also Nullstellen, findest du aber auch unter dem Thema Nullstellen. Der Aufgabenordner dort heißt "Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen". Ich werde gleich diesen hier einsortieren, da dieser ganz gut reinpasst. Aufgaben zum Schnittpunkt mit der y-Achse gibt es sicherlich auch. Oft aber nur als Teilaufgabe. Diese muss ich aber noch raussuchen. Wenn nicht versuchen wir, so schnell wie möglich, einige Aufgaben zu dem Thema zu erstellen.

LG, Nish
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