Aufgaben

Bestimme das Monotonieverhalten der nachfolgenden Funktionen.

Zu text-exercise-group 12135:
Nish 2018-04-11 22:22:53
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Alle Teilaufgaben sollten noch bei Gelegenheit nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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Zu text-exercise-group 12135:
Renate 2018-01-08 20:27:44
ERKLÄRUNG NICHT SCHÜLERFREUNDLICH

Hallo @Redaktion und @Community,
ich könnte mir denken, dass die Lösungen zu Unteraufgabe a) (https://de.serlo.org/12139) und Unteraufgabe b)(https://de.serlo.org/12143) in ihrer mathematischen "Sorgfältigkeit" einen Schüler teilweise eher verwirren als unterstützen.

Begründungen für das Vorgehen bei der Monotoniebestimmung mittels Monotonie-Tabelle gehören meiner Meinung nach ohnehin - wenn überhaupt - eher in den zugehörigen Artikel (vielleicht als Spoiler?) oder in einen entsprechenden Kurs als zu jeder einzelnen Aufgabe.

Aber erst recht wird, denke ich, ein Begriff wie "Partition" irritieren, und auch die Erwähnung des Zwischenwertsatzes wird auf manchen wahrscheinlich "abschreckend" wirken, wenn nämlich der Zwischenwertsatz unter diesem Namen im Schulunterricht nicht explizit thematisiert worden ist.

Was meint ihr?
Gruß
Renate
Nish 2018-04-11 22:33:06
Hallo Renate,
dank eines Kommentars von Jonathan, habe ich eben den komplizierten Part rausgenommen ;) Jonathan schrieb außerdem, dass es im entsprechenden Artikel besser erklärt wird und eine Verlinkung ausreichend ist (seinen Kommentar findest du zur Lösung von Teilaufgabe a) ). Kannst du auch bitte kurz über meine Bearbeitungen drüberschauen?
LG,
Nish
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%%f\left(x\right)=x^3-3x^2-24x+6%%

%%f\left(x\right)=x^3-3x^2-24x+6%%

Die Funktion %%f%% ist ein Polynom und daher (beliebig oft) differenzierbar. Du kannst daher die erste Ableitung von %%f%% berechnen um das Monotonieverhalten zu bestimmmen.

%%f'(x)=%%

%%3x^2-6x-24=%%

%%3\cdot\left(x^2-2x-8\right)%%

Die erste Ableitung ist also erneut ein Polynom.

Berechne nun die Nullstellen von %%f'%%.

%%f'(x) = 0%%

Setze die Funktionsgleichung von %%f'%% ein.

%%\Leftrightarrow 3\cdot\left(x^2-2x-8\right)=0%%

Teile beide Seiten der Gleichung durch %%3%%.

%%\Leftrightarrow x^2-2x-8=0%%

Die linke Gleichungsseite ist durch ein Polynom zweiten Grades gegeben. Es hat also höchstens zwei reelle Nullstellen. Durch Anwendung der Mitternachtsformel erhältst du

$$\begin{align}x&=\frac22 \pm \sqrt{(\frac22)^2 - (-8)}\\&= 1 \pm \sqrt{1+8}\\&=1 \pm \sqrt{9}\\&=1 \pm 3\in \{-2, 4\}\end{align}$$

Dies sind zwei reelle Nullstellen und daher genau die Lösungen der Gleichung.

%%\Leftrightarrow x \in \{-2, 4\}%%

Da %%f'%% nur diese Nullstellen hat und als Polynom insbesondere reellwertig, auf ganz %%\mathbb{R}%% definiert und stetig ist, kannst du den Zwischenwertsatz verwenden.

Betrachte die Intervalle

%%I_1 = ]- \infty, -2[=\{x \in \mathbb{R} | x < -2\}%%

%%I_2 = ]-2, 4[=\{x \in \mathbb{R} | -2 < x < 4\}%%

%%I_3 = ]4, +\infty[=\{x \in \mathbb{R}|x > 4\}%%,

die zwischen den Nullstellen von %%f'%% liegen.

Wähle beispielsweise

%%x_1=-3 \in I_1%%

%%x_2=3 \in I_2%%

%%x_3=5 \in I_3%%

Setze diese in %%f'%% ein.

%%f'(x_1)=f'(-3)=3\cdot\left((-3)^2-2\cdot(-3)-8\right)=3\cdot(9+6-8)=3 \cdot 7 = 21>0%%

%%f'(x_2)=f'(3)=3\cdot\left(3^2-2\cdot3-8\right)=3\cdot(9-6-8)=3 \cdot (-5) = -15<0%%

%%f'(x_3)=f'(5)=3\cdot\left(5^2-2\cdot5-8\right)=3\cdot(25-10-8)=3 \cdot 7 = 21>0%%

Somit gilt %%f'(x) \begin{cases}>0 : x \in \text{ } ]-\infty, -2[\\<0 : x \in \text{ } ]-2,4[ \\>0 : x \in \text{ } ]4,+\infty[ \\ =0: \text{sonst}\end{cases}%%

womit %%G_f%% auf %%]-\infty, -2]%% und %%[4,+\infty[%% streng monoton wächst, sowie auf %%[-2,4]%% streng monoton fällt.

Plot des Polynoms dritten Grades

%%f\left(x\right)=3x^4+8x^3-48x^2+3%%

%%f\left(x\right)=3x^4+8x^3-48x^2+3%%

Die Funktion %%f%% ist ein Polynom und daher (beliebig oft) differenzierbar. Du kannst daher die erste Ableitung von %%f%% berechnen um das Monotonieverhalten zu bestimmen.

$$\begin{align}f'(x)&=12x^3+24x^2-96x\\&=12x\cdot(x^2+2x-8)\end{align}$$

Die erste Ableitung ist also erneut ein Polynom.

Berechne nun die Nullstellen von %%f'%%.

%%f'(x) = 0%%

Setze die Funktionsgleichung von %%f'%% ein.

%%\Leftrightarrow 12x \cdot (x^2+2x-8)=0%%

Teile beide Seiten der Gleichung durch %%12%%.

%%\Leftrightarrow x \cdot (x^2+2x-8) = 0%%

Die linke Gleichungsseite ist durch ein Polynom dritten Grades gegeben. Es hat also höchstens drei reelle Nullstellen.

Die linke Seite der Gleichung ist genau dann gleich %%0%%, wenn mindestens einer der beiden Faktoren gleich %%0%% ist. Dadurch kannst du sofort die Nullstelle bei %%x=0%% ablesen.

Im zweiten Fall könnte %%x^2+2x-8%% gleich %%0%% sein.

Durch Anwendung der Mitternachtsformel erhältst du

$$\begin{align}x&=-\frac22 \pm \sqrt{(\frac22)^2 - (-8)}\\&= -1 \pm \sqrt{1+8}\\&=-1 \pm \sqrt{9}\\&=-1 \pm 3 \in \{-4, 2\}\end{align}$$

Somit sind alle drei Nullstellen von %%f'%% reell.

%%\Leftrightarrow x \in \{-4, 0, 2\}%%

Da %%f'%% nur diese Nullstellen hat und als Polynom insbesondere reellwertig, auf ganz %%\mathbb{R}%% definiert und stetig ist, kannst du den Zwischenwertsatz verwenden.

Betrachte die Intervalle

%%I_1 = ]- \infty, -4[=\{x \in \mathbb{R} | x < -4\}%%

%%I_2 = ]-4, 0[=\{x \in \mathbb{R} | -4 < x < 0\}%%

%%I_3 = ]0,2[ = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x < 2\}%%

%%I_4 = ]2, +\infty[=\{x \in \mathbb{R} | x > 2\}%%,

die zwischen den Nullstellen von %%f'%% liegen.

Wähle beispielsweise

%%x_1=-5 \in I_1%%

%%x_2=-1 \in I_2%%

%%x_3=1 \in I_3%%

%%x_4=3 \in I_4%%

Setze diese in %%f'%% ein.

$$f'(x_1)=f'(-5)=12\cdot(-5) \cdot ((-5)^2+2(-5)-8)=\underbrace{(-60)}_{<0}\cdot\underbrace{(25-18)}_{>0}<0$$

$$f'(x_2)=f'(-1)=12\cdot(-1) \cdot ((-1)^2+2\cdot(-1)-8)=\underbrace{(-12)}_{<0}\cdot\underbrace{(1-2-8)}_{<0}>0$$

$$f'(x_3)=f'(1)=12 \cdot (1+2-8)=12\cdot(-5)=-60<0$$

$$f'(x_4)=f'(3)=12\cdot3 \cdot (3^2+2\cdot3-8)=36\cdot(9+6-8)=36\cdot7>0$$

Somit gilt %%f'(x) \begin{cases}<0 : x \in \text{ } ]-\infty, -4[\\>0 : x \in \text{ } ]-4,0[ \\<0 : x \in \text{ } ]0,2[ \\ >0 : x \in \text{ } ]2, +\infty[ \\ =0: \text{sonst}\end{cases}%%

womit %%G_f%% auf %%[-4,0]%% und %%[2, +\infty[%% streng monoton wächst, sowie auf %%]-\infty, -4]%% und %%[0,2]%% streng monoton fällt.

Plot des Polynom vierten Grades

%%f\left(x\right)=\frac{2x^2}{2x-1}%%

 

%%f\left(x\right)=\frac{2x^2}{2x-1}%%

 

Die Funktion %%f%% ist ein Quotient zweier Polyonme, du kannst daher die erste Ableitung mit der Quotientenregel berechnen um das Monotonieverhalten zu bestimmen.

  %%f'\left(x\right)=\frac{4x\cdot\left(2x-1\right)-2x^2\cdot2}{\left(2x-1\right)^2}%%

%%=\frac{8x^2-4x-4x^2}{\left(2x-1\right)^2}=\frac{4x^2-4x}{\left(2x-1\right)^2}%%

 

Nullstelle von %%\mathrm f'\left(\mathrm x\right)%% (also Extrema von %%f\left(x\right)%% ) berechnen:  %%\mathrm f'\left(\mathrm x\right)=0%%

Die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion sind gleichzeitig die Nullstellen des Zählers. %%\mathrm f'\left(\mathrm x\right)=0\;\;\Leftrightarrow\;\;4x^2-4x=0%%

Vereinfache diesen Ausdruck:

%%4x^2-4x=4x\left(x-1\right)%%

Nun kann man ganz leicht die Nullstellen der 1. Ableitung (die Extrema von %%f\left(x\right)%% ) ablesen.

Hier wird nun der Weg mit der Monotonietabelle gewählt, da die 2. Ableitung relativ kompliziert ist. Man muss allerdings bei der Monotonietabelle die Polstellen der Funktion beachten.

%%4x\left(x-1\right)=0\;\;\Leftrightarrow\;\;4x=0\;\text{oder}\;\left(x-1\right)=0%%

%%\Rightarrow%% %%x_1=0%% und %%x_2=1%%

Berechnen der Polstelle . Suche also die Nullstellen des Nenners von %%f\left(x\right)%% . (Übrigens haben %%f\left(x\right)%% und %%f'\left(x\right)%% immer dieselben Polstellen.)

%%2x-1=0%%

%%2x=1%%

%%x_{Polstelle}=\frac12%%

Faktorisiere nun die 1. Ableitung.

%%f`\left(x\right)=\frac{4x\cdot\left(x-1\right)}{\left(2x-1\right)^2}%%

Erstelle eine Vorzeichentabelle.

Achtung: Polstelle nicht vergessen!

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6562_U5wykofXEI.xml

Nun kann man aus der Vorzeichentabelle das Monotonieverhalten ganz einfach ablesen. Steht in der letzten Zeile ein Minus ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend, steht dort ein Plus ist die Funktion streng monoton steigend.

%%\rbrack-\infty;0\rbrack%%: %%\rightarrow G_f%% ist streng monoton steigend

%%\lbrack0;\frac12\lbrack%%: %%\;\;\;\;%% %%\rightarrow G_f%% ist streng monoton fallend

%%\rbrack\frac12;1\rbrack%%: %%\;\;\;\;%% %%\rightarrow G_f%% ist streng monoton fallend

%%\lbrack1;\infty\lbrack:\;\;\;\;\;\rightarrow G_f%% ist streng monoton steigend

Achtung:

Man darf die beiden Intervalle %%\lbrack0;\frac12\lbrack%%   und  %%\rbrack\frac12;1\rbrack%%   nicht zu einem Intervall %%\lbrack0;1\rbrack%% zusammenlegen, da die Funktion und damit die Monotonie an dem Wert %%\frac12%% nicht definiert ist.

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laralovesmathe 2019-03-10 14:39:32
Liebe Mathefreunde,
erstmal: Mathe ist unsere Passion!!
Wir finden es super, dass es auf ihrer Page so tolle Aufgaben zur Monotonie gibt, allerdings empfinden wir die Lösung als zu umfangreich...mathematischer Gruß, eure Lara (Klasse 4b)
Nish 2019-03-11 18:20:05
Hallo Lara,

danke für dein bzw. euer Feedback! Gerne kannst du (bzw. Ihr) die Lösung selber überarbeiten und die Lösung kompakter oder nach deinen (bzw. euren) Vorstellungen gestalten! Wir helfen dir (bzw. euch) gerne dabei, wenn du (bzw. Ihr) Unterstützung braucht und uns Bescheid in einem kurzen Kommentar hier oder über unser Community-Chat (https://discord.gg/Ag7kcSy) gibt!

Gerne freuen wir uns auch über weiteres (konstruktives) Feedback!

Viele Grüße,
Nish
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