Aufgaben
Bestimme den Wertebereich der Funktion bei maximalem Definitionsbereich.
f(x)=2x23x+4f(x)=2\cdot x^2-3\cdot x+4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

f(x)=2x23x+4f(x)=2\cdot x^2 - 3 \cdot x + 4
f(x)=2(x34)2+22316f(x)=2\left(x-\frac34\right)^2+2\cdot\frac{23}{16}
Lese den Scheitel und die Öffnungsrichtung ab.
S  (34  22316)S\;\left(\left.\frac34\right|\;2\cdot\frac{23}{16}\right), Parabel nach oben geöffnet
Gib die Wertemenge an.
Wf=[238;  [W_f=\left[\frac{23}{8}; \;\infty \right[
f(x)=x2+8x2f(x)=-x^2+8\cdot x - 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

f(x)=x2+8x2f(x)=-x^2+8\cdot x - 2
f(x)=(x4)2+14f(x)=-(x-4)^2+14
Lese Scheitel und Öffnungsrichtung ab.
S  (414)S\;\left(4\mid 14 \right), Parabel nach unten geöffnet
Gebe die Wertemenge an.
Wf=];  14]W_f=\left]- \infty ;\; 14 \right]
f(x)=x3+2x2+2f(x)=-x^3+2\cdot x^2+2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

Gebrochen rationale Funktionen dritten Grades haben keine Definitionslücken.
Außerdem gilt:
limxf(x)=limxf(x)=\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\infty\\\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=-\infty\end{array}
Wf=R\Rightarrow W_f=\mathbb{R}
f(x)=16sinx+3f(x)=16\cdot\sin x+3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

f(x)=16sin(x)+3f(x)=16\cdot \sin(x) + 3
Betrachte die Sinusfunktion. Der Sinus nimmt bekanntlich nur Werte zwischen -1 und 1 an.
Wsin(x)=[1;1]W_{\sin\left(x\right)}=\left[-1;1\right]
W16sin(x)=[16;16]\Rightarrow W_{16\cdot\sin\left(x\right)}=\left[-16;16\right]
Wf=[13;19]\Rightarrow W_f=\left[-13;19\right]
f(x)=2x3f(x)=2^x-3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

f(x)=2x3f(x)=2^x-3
Betrachte 2x2^x.
2x2^x ist eine streng monoton steigende Exponentailfunktion, die nur Werte anninmmt, die größer als 0 sind.
Betrachte die Grenzwerte.
limxf(x)=limx2x03=3\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\overbrace{2^x}^{\rightarrow0}-3=-3
limxf(x)=limx2x3\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\overbrace{2^x}^{\rightarrow\infty}-3\rightarrow\infty
Gib nun den Wertebereich an.
Wf=]3;  [W_f=\left]-3;\; \infty \right[
f(x)=x3ln(x3)f(x)=\frac{x-3}{\ln( x-3)}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich

f(x)=x3ln(x3)f(x)=\frac{x-3}{\ln(x-3)}
Bestimme den Definitionsbereich.
Df=]  3;  [  \  {4}D_f=\left]\;3; \;\infty \right[\;\backslash\;\{4\}
Bestimme die Grenzwerte.
limx3f(x)=limx3x30ln(x3)=0\displaystyle\lim_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow0}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow-\infty}}=0
Für den zweiten Grenzwert nutzt du aus, das der Logarithmus immer langsamer wächst als jedes Polynom.
limxf(x)=limxx3ln(x3)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow\infty}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow\infty}}=\infty
limx4f(x)=limx4x31ln(x3)0=\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^-}}=-\infty
limx4+f(x)=limx4+x31ln(x3)0+=+\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^+}}=+\infty
Bestimme jetzt die Extrema.
f(x)=ln(x3)x3x3(ln(x3))2f'(x)=\dfrac{\ln(x-3)-\frac{x-3}{x-3}}{(\ln(x-3))^2}
f(x)=0f'(x)=0
ln(x3)1=0            +1\Leftrightarrow\ln(x-3)-1=0\;\;\;\;\;\; |+1
ln(x3)=1                        e\Leftrightarrow \ln(x-3)=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|e
x3=e                                    +3\Leftrightarrow x-3 = e \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|+3
x=e+3\Leftrightarrow x=e+3
Bestimme jetzt den y-Wert.
f(e+3)=ef\left(e+3\right)=e
Da dies das einzige Extremum ist und die beiden Grenzwerte an den jeweiligen Definitionslücken rechts und links davon (also 4+4^+und  \;\infty) jeweils \infty sind, ist das Extremum ein Minimum.
Gib jetzt den Wertebereich an.
Wf=]  ;0  [[  e;  [W_f=\left]-\;\infty; 0\;\right[\cup\left[\;e;\;\infty\right[
Ermittle den Wertebereich der zum Graphen zugehörigen Funktion f(x) mit xRx\in \mathbb{R}.
Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3
Wf=];[W_f=\left] - \infty;\infty \right [
Wf=];2]W_f=\left] - \infty;2 \right ]
Wf=];]W_f=\left] - \infty;\infty \right ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich bestimmen

Zuerst einmal solltest du dir den Graphen anschauen. Um die Wertemenge herauszufinden musst du dir die/den höchsten bzw. niedrigsten klar definierbaren Punkt auf dem Graphen anschauen.
In diesem Fall geht der Graph in beide Richtungen ins Unendliche. Somit kannst du die angegebene Lösung   \; Wf=];2]W_f=\left] - \infty;2 \right ] ausschließen.
Jetzt musst du nur noch darauf achten, dass die Wertemenge richtig aufgeschrieben ist. Die eckigen Klammern müssen beim Unendlichkeitszeichen nach außen zeigen, da diese nicht begrenzt werden kann.
Graph einer Normalparabel
Wf=[0;[W_f=\left[ 0;\infty \right [
Wf=];[W_f=\left] - \infty; \infty\right [
Wf=[2;[W_f=\left[ -2;\infty \right [

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich bestimmen

Betrachtest du den Graphen f(x)f(x), wirst du bemerken, dass er einen tiefsten Punkt hat und deshalb nicht in die negative Unendlichkeit gehen kann. Der tiefste Punkt ist auf der y-Achste bei 0.
Nach oben hin lässt sich jedoch kein klar definierbarer höchster Punkt erkennen, folglich geht der Graph hier in die positive Unendlichkeit.
Wenn man nun diese Erkenntnisse kombiniert lässt sich sagen, dass die y-Werte von f(x)f(x) minimal 0 und maximal \infty erreichen.
Daher gilt für die Wertemenge: Wf=]0;]W_f=\left] 0; \infty \right]
Graph einer steigenden Geraden
Wf=];[W_f=\left] - \infty;\infty \right [
Wf=];0]W_f=\left] - \infty;0 \right ]
Wf=[1;1]W_f=\left[ -1;1 \right ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich bestimmen

Da xRx\in \mathbb{R} gilt, solltest du dir die y-Werte für alle x-Werte ansehen. Weil bspw. bei x=4, y=2 entspricht, lässt sich die Lösung Wf=[1;1 ]W_f=[-1;1 \ ] schonmal nicht mit dem Graphen von f(x)f(x) verbinden.
Aber da der Graph nicht nur in die negative Unendlichkeit geht, sondern auch in die positive, gilt: Wf=];[W_f=\left] - \infty; \infty \right [
Graphik von einer Funktion mit dem Grad 9
Bestimme mit Hilfe des Graphen die Wertemenge von f(x), für x[0;1]x\in \mathbb[0;1].

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge einer Funktion

Betrachte das Verhalten des Graphen in dem Bereich, der auf der x-Achse zwischen 0 und 1 liegt. Wie verhält sich dieser zu den möglichen y-Werten?

Da auf dem x-Achsenabschnitt von 0 bis 1 die y-Werte des Graphen minimal 1 und maximal 3 erreichen, gilt:
Wf=[1;3]W_f=\left[ 1;3 \right ]
Grafik eines Graphen einer Funktion vom Grad 3
Bestimme mit Hilfe des Graphen links die Wertemenge von f(x) für x[0;[x\in [0;\infty[.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge einer Funktion

Betrachte das Verhalten des Graphen in dem Bereich, in dem alle x-Werte positiv sind. Beziehe dich auf die möglichen y-Werte.
Den größten y-Wert, den die Funktion für positive x-Werte annimmt, ist 22. Nach unten ist sie nicht beschränkt. Deshalb ist der Wertebereich:
Wf=];2]W_f=]-\infty;2]
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