Aufgaben

Bestimme den Wertebereich der Funktion bei maximalem Definitionsbereich.

%%f(x)=2\cdot x^2-3\cdot x+4%%

Wertebereich bestimmen

%%f(x)=2\cdot x^2 - 3 \cdot x + 4%%

%%f(x)=2\left(x-\frac34\right)^2+2\cdot\frac{23}{16}%%

Lese den Scheitel und die Öffnungsrichtung ab.

%%S\;\left(\left.\frac34\right|\;2\cdot\frac{23}{16}\right)%%, Parabel nach oben geöffnet

Gib die Wertemenge an.

%%W_f=\left[\frac{23}{8}; \;\infty \right[%%

%%f(x)=16\cdot\sin x+3%%

Wertebereich bestimmen

%%f(x)=16\cdot \sin(x) + 3%%

Betrachte die Sinusfunktion. Der Sinus nimmt bekanntlich nur Werte zwischen -1 und 1 an.

%%W_{\sin\left(x\right)}=\left[-1;1\right]%%

%%\Rightarrow W_{16\cdot\sin\left(x\right)}=\left[-16;16\right]%%

%%\Rightarrow W_f=\left[-13;19\right]%%

%%f(x)=2^x-3%%

Wertebereich bestimmen

%%f(x)=2^x-3%%

Betrachte %%2^x%%.

%%2^x%% ist eine streng monoton steigende Exponentailfunktion, die nur Werte anninmmt, die größer als 0 sind.

Betrachte die Grenzwerte.

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\overbrace{2^x}^{\rightarrow0}-3=-3%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\overbrace{2^x}^{\rightarrow\infty}-3\rightarrow\infty%%

Gib nun den Wertebereich an.

%%W_f=\left]-3;\; \infty \right[%%

%%f(x)=\frac{x-3}{\ln( x-3)}%%

Wertebereich bestimmen

%%f(x)=\frac{x-3}{\ln(x-3)}%%

Bestimme den Definitionsbereich.

%%D_f=\left]\;3; \;\infty \right[\;\backslash\;\{4\}%%

Bestimme die Grenzwerte.

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow0}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow-\infty}}=0%%

Für den zweiten Grenzwert nutzt du aus, das der Logarithmus immer langsamer wächst als jedes Polynom.

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow\infty}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow\infty}}=\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^-}}=-\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Bestimme jetzt die Extrema.

%%f'(x)=\dfrac{\ln(x-3)-\frac{x-3}{x-3}}{(\ln(x-3))^2}%%

%%f'(x)=0%%

%%\Leftrightarrow \ln(x-3)-1=0%%

%%\mid +1%%

%%\Leftrightarrow \ln(x-3)=1%%

%%\mid e%%

%%\Leftrightarrow x-3 = e%%

%%\mid +3%%

%%\Leftrightarrow x=e+3%%

Bestimme jetzt den y-Wert.

%%f\left(e+3\right)=e%%

Da dies das einzige Extremum ist und die beiden Grenzwerte an den jeweiligen Definitionslücken rechts und links davon (also %%4^+%%und%%\;\infty%%) jeweils %%\infty%% sind, ist das Extremum ein Minimum.

Gib jetzt den Wertebereich an.

%%W_f=\left]-\;\infty; 0\;\right[\cup\left[\;e;\;\infty\right[%%

Ermittle den Wertebereich der zum Graphen zugehörigen Funktion f(x) mit xRx\in \mathbb{R}.
Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3
Wf=];[W_f=\left] - \infty;\infty \right [
Wf=];2]W_f=\left] - \infty;2 \right ]
Wf=];]W_f=\left] - \infty;\infty \right ]
Graph einer steigenden Geraden
Wf=];[W_f=\left] - \infty;\infty \right [
Wf=];0]W_f=\left] - \infty;0 \right ]
Wf=[1;1]W_f=\left[ -1;1 \right ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich bestimmen

Da xRx\in \mathbb{R} gilt, solltest du dir die y-Werte für alle x-Werte ansehen. Weil bspw. bei x=4, y=2 entspricht, lässt sich die Lösung Wf=[1;1 ]W_f=[-1;1 \ ] schonmal nicht mit dem Graphen von f(x)f(x) verbinden.
Aber da der Graph nicht nur in die negative Unendlichkeit geht, sondern auch in die positive, gilt: Wf=];[W_f=\left] - \infty; \infty \right [
Graphik von einer Funktion mit dem Grad 9
Bestimme mit Hilfe des Graphen die Wertemenge von f(x), für x[0;1]x\in \mathbb[0;1].

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge einer Funktion

Betrachte das Verhalten des Graphen in dem Bereich, der auf der x-Achse zwischen 0 und 1 liegt. Wie verhält sich dieser zu den möglichen y-Werten?

Da auf dem x-Achsenabschnitt von 0 bis 1 die y-Werte des Graphen minimal 1 und maximal 3 erreichen, gilt:
Wf=[1;3]W_f=\left[ 1;3 \right ]
Grafik eines Graphen einer Funktion vom Grad 3
Bestimme mit Hilfe des Graphen links die Wertemenge von f(x) für x[0;[x\in [0;\infty[.
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