Im Gegensatz zum Ableiten, für das sehr allgemeine Regeln existieren, kann sich das Integrieren als sehr schwer gestalten; es gibt sogar Funktionen, die keine explizite Stammfunktion besitzen (z. B. %%f(x)=e^{x^2}%%).

Es gilt aber: Findet man eine Funktion %%F%%, deren Ableitung gleich %%f%% ist, so ist %%F%% eine Stammfunktion von %%f%%. Das heißt, wir können problemlos alle Funktionen integrieren, von denen wir wissen, dass sie die Ableitung einer Funktion sind, die wir kennen.

Wir wissen zum Beispiel, dass die Ableitung des natürlichen Logarithmus die Funktion %%\frac1x%% ist. Also gilt %%\int\frac1x\mathrm{dx}=\ln(x)+C%%.

Sieht man einer Funktion nicht auf diesem Weg direkt ihre Stammfunktion an, so kann man versuchen, mit Integrationsmethoden wie der partiellen Integration, der Substitution oder der Partialbruchzerlegung zu integrieren.

Man beachte dabei auch die Rechenregeln des Integrals.

Wichtige Stammfunktionen

%%\underline{\text{Funktion}\;f}%%

%%\underline{\text{Stammfunktion von}\;f}%%

konstante Funktion

%%f\left(x\right)=k%%

%%F\left(x\right)=k\cdot x+C%%

Potenzfunktion

%%f(x)=x^n%% mit %%n\in\mathbb{R}\backslash\{-1\}%%

%%F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C%%

Hyperbel

%%f\left(x\right)=\frac1x = x^{-1}%%

%%F\left(x\right)=\ln\vert x\vert+C%%

e-Funktion

%%f\left(x\right)=e^x%%

%%F\left(x\right)=e^x+C%%

ln-Funktion

%%f(x)=\ln(x)%%

%%F(x)=-x+x\cdot\ln(x)+C%%

Sinus

%%f\left(x\right)=\sin\left(x\right)%%

%%F\left(x\right)=-\cos\left(x\right)+C%%

Kosinus

%%f\left(x\right)=\cos\left(x\right)%%

%%F\left(x\right)=\sin\left(x\right)+C%%

Weitere (in der Schule nicht gebräuchliche) Stammfunktionen

%%\underline{\text{Funktion}\;f}%%

%%\underline{\text{Stammfunktion von}\;f}%%

%%f(x)=\tan(x)%%

%%F(x)=-\ln\vert\cos(x)\vert+C%%

%%f(x)=\frac{1}{\sin^2(x)}%%

%%F(x)=-\cot(x)+C%%

%%f(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}%%

%%F\left(x\right)=\tan\left(x\right)+C%%

%%f\left(x\right)=\frac1{1+x^2}%%

%%F\left(x\right)=\arctan\left(x\right)+C%%

%%f(x)=a^x%% mit %%a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}%%

%%F(x)=\frac{a^x}{\ln(a)}+C%%

Integrationsmethoden

Ist von einer Funktion nicht direkt die Stammfunktion ersichtlich (bekannt), lässt diese sich in manchen Fällen dennoch mit einer der folgenden Methoden bestimmen.

Partielle Integration

$$\int u(x)\cdot v'(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm{d}x$$

Substitution

$$\int_a^bf(g(x))g'(x)\mathrm{d}x=\int_{g(a)}^{g(b)}f(z)\mathrm{d}z$$

Logarithmische Integration (Sonderfall der Substitution)

$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln|f(x)|$$

Stammfunktionen finden durch Probieren

Falls die oberen Methoden nicht funktionieren, kann man versuchen, selbst eine Stammfunktion zu finden. Durch Ableiten kann man überprüfen, ob die Funktion eine Stammfunktion ist und sie eventuell ergänzen, bis das Ergebnis stimmt.

 

 

Beispielaufgaben

Aufgaben

Berechne zu den gegebenen Funktionen die zugehörige Stammfunktion.

Kommentieren Kommentare

Zu article Stammfunktion finden:
Nish 2016-12-13 22:42:38
Artikel sollte überarbeitet werden:
- Beispiel(e) einfügen
- Mehr Übungsaufgaben einbinden (Spoiler mit der Überschrift Übungsaufgaben statt Aufgaben bezeichnen, Überschrift Beispielaufgaben entfernen -> siehe Richtlinien Artikel: Gliederung)
- Überschriften sollen nicht verlinkt werden. Stattdessen einen Satz drunter hinzufügen, indem die Überschrift vorkommt, und diese verlinken. Zu Partialbruchzerlegung steht nichts da.Sollte zumindest ein Satz stehen, mit Verlinkung natürlich.
- Da der Text am Anfang recht textlastig ist, sollte man versuchen, graphische Veranschaulichungen/ Bilder zu verwenden.

Gruß,
Nish
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Zu article Stammfunktion finden: Aufteilung in mehrere Artikel?!
Felix 2014-05-14 18:57:42
Ich finde - ähnlich der Vorgehensweise bei anderen Themen - auch in diesem Fall eine Aufteilung in einen theoretischen Artikel zur "Stammfunktion" und einen anwendungsbezogenen Artikel "Stammfunktion finden"/"Integrieren" sinnvoll.
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