Die Steigung einer Funktion (auch genannt Anstieg) ist ein Maß dafür, wie steil der Graph einer Funktion ansteigt oder abfällt.

Mathematisch lässt sich die Steigung beschreiben als das Verhältnis von der Abweichung in %%y%%-Richtung zu der Abweichung in %%x%%-Richtung.

Aus der Steigung erhält man den Steigungswinkel mit Hilfe des Tangens über die Beziehung:

%%m= \tan (\alpha)%%

(wobei %%m%% die Steigung und %%\alpha%% der Steigungswinkel ist).

Steigung berechnen

Bei Geraden

In einer allgemeinen Geradengleichung wird die Steigung meist %%m%% genannt. Sie lässt sich mithilfe von zwei Punkten und dem Differenzenquotienten berechnen:

%%m=\frac{{y}_2-{y}_1}{{x}_2-{x}_1}.%%

Beispiel

Gegeben sind die beiden Punkte %%P\left(-1 \mid -2{,}5\right)%% und %%Q(2 \mid 2)%%. Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem ein. Bestimme dann die Steigung der Geraden.

Lösung: Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6486_5A07zESyev.xml

Berechne die Steigung der Geraden: $$m=\frac{2-(-2{,}5)}{2-(-1)}=\frac{4{,}5}3=1{,}5$$

Weiterführende Informationen und Beispielaufgaben sind in dem Artikel Geradensteigung.

Bei Graphen in einem bestimmten Punkt

Die Steigung einer allgemeinen Funktion kann in jedem Punkt unterschiedlich sein. Mit der Steigung in einem Punkt ist die Steigung der Tangente an diesem Punkt gemeint. Diese wird durch den Wert der ersten Ableitung in diesem Punkt beschrieben.

Im Artikel Ableitung wird genauer darauf eingegangen.

Beispiel  

Gegeben ist die Funktion %%f\left(x\right)=x^3-2x%%

sowie die Ableitung %%f'\left(x\right)=3x^2-2%%.

Im Punkt %%P\left(1 \mid -1\right)%% hat die Funktion die Steigung %%f'\left(1\right)=3\cdot1^2-2=3-2=1%%.

Die Tangente durch den Punkt %%P\left(1 \mid -1\right)%% hat die Gleichung %%t(x)=1\cdot x-2%%.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6268_Z7ouTos0kQ.xml

Steigungswinkel

Der Steigungswinkel gibt an, in welchem Winkel eine Gerade zur %%x%%-Achse steht.

Statt vom Steigungswinkel spricht man oft auch vom Neigungswinkel der Geraden.

Die allgemeine Formel, um den Steigungswinkel %%\alpha%% aus der Steigung %%m%% einer Geraden zu berechnen, ist: %%m=\tan\left(\alpha\right)%%.

Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6286_0KQ5yYyz3U.xml

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