Aufgaben

Berechne die Tangente an die Funktion  %%f(x)=-3x^2+12x-9%%  durch den Punkt  %%B(2\vert y)%%

Ohne Ableitung

%%f(x)=-3x^2+12x-9,\;B(2\vert y)%%

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

%%-3x^2+12x-9=mx+t%%

Bringe alles auf eine Seite

%%-3x^2+(12-m)x-9-t=0%%

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

%%D=(12-m)^2-4\cdot(-3)\cdot(-9-t)=m^2-24m+36-12t=0%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=-3\cdot2^2+12\cdot2-9=3%%

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%3=2m+t%%

Löse nach auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

%%m^2-24m+36-12\left(3-2m\right)=m^2=0%%

Löse nach m auf und setze in t ein

%%m=0\Rightarrow t=3%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=3%%

Mit Ableitung

%%f(x)=-3x^2+12x-9,\;B(2\vert y)%%

Berechne die Ableitung der Parabel

%%f`(x)=-6x+12%%

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m 

%%f`(2)=-6\cdot2+12=0=m%%

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

%%3=0\cdot2+t\Rightarrow t=3%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=3%%

Berechne die Tangente an die Funktion  %%g(x)=\frac32\left(x+2\right)^2-2%%  durch den Punkt  %%B(-1\vert y)%%

Ohne Ableitung

%%g(x)=\frac32(x+2)^2-2,\;B(-1\vert y)%%

Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formel aus

%%g(x)=\frac32x^2+6x+4%%

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

%%\frac32x^2+6x+4=mx+t%%

Bringe alles auf eine Seite

%%\frac32x^2+(6-m)x+4-t=0%%

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

%%D=(6-m)^2-4\cdot\left(\frac32\right)\cdot(4-t)=m^2-12m+12+6t=0%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=\frac32(-1)^2+6\cdot(-1)+4=-\frac12%%

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%-\frac12=-1\cdot m+t%%

Löse nach auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

%%m^2-12m+12+6(m-\frac12)=m^2-6m+9=0%%

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel

%%m^2-6m+9=(m-3)^2=0\Rightarrow m=3%%

Setze und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

%%-\frac12=-1\cdot3+t\Rightarrow t=\frac52%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=3x+\frac52%%

 

Mit Ableitung

%%g(x)=\frac32(x+2)^2-2,\;B(-1\vert y)%%

Berechne die Ableitung der Parabel

%%g`(x)=3(x+2)\cdot1=3x+6%%

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m 

%%g`(-1)=3\cdot(-1)+6=3=m%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=\frac32(-1+2)^2-2=-\frac12%%

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

%%-\frac12=-1\cdot3+t\Rightarrow t=\frac52%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=3x+\frac52%%

Berechne die Tangente an die Funktion  %%h(x)=2x^2+4x-1%%  durch den Punkt  %%B(-3\vert y)%%

Ohne Ableitung

%%h(x)=2x^2+4x-1,\;B(-3\vert y)%%

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

%%2x^2+4x-1=mx+t%%

Bringe alles auf eine Seite

%%2x^2+(4-m)x-1-t=0%%

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus

%%D=(4-m)^2-4\cdot2\cdot(-1-t)=m^2-8m+24+8t=0%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=2(-3)^2+4\cdot(-3)-1=5%%

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%{\textstyle5}=-3m+t%%

Löse nach auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

%%m^2-8m+24+8(5+3m)=m^2+16m+64=0%%

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel

%%m^2+16m+64=(m+8)^2=0\Rightarrow m=-8%%

Setze und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

%%5=-3\cdot(-8)+t\Rightarrow t=-19%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=-8x\textstyle-\textstyle19%%

Mit Ableitung

%%h(x)=2x^2+4x-1,\;B(-3\vert y)%%

Berechne die Ableitung der Parabel

%%h`(x)=4x+4%%

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m 

%%h`(-3)=4\cdot(-3)+4=-8=m%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=2(-3)^2+4\cdot(-3)-1=5%%

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

%%5=-3\cdot(-8)+t\Rightarrow t=-19%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=-8x\textstyle-\textstyle19%%

Berechne die Tangente an die Funktion  %%f(x)=-\frac12x^2-2x-3%%  durch den Punkt  %%B(-3\vert y)%%

Ohne Ableitung

%%f(x)=-\frac12x^2-2x-3,\;B(-3\vert y)%%

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

%%-\frac12x^2-2x-3=mx+t%%

Bringe alles auf eine Seite

%%-\frac12x^2-(2+m)x-3-t=0%%

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

%%D=(2+m)^2-4\cdot\left(-\frac12\right)\cdot(-3-t)=m^2+4m-2-2t=0%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=-\frac12(-3)^2-2\cdot(-3)-3=-\frac32%%

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%-\frac32=-3m+t%%

Löse nach auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

%%m^2+4m-2-2(3m-\frac32)=m^2-2m+1=0%%

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel

%%m^2-2m+1=(m-1)^2=0\Rightarrow m=1%%

Setze und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

%%-\frac32=-3\cdot1+t\Rightarrow t=\frac32%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=x+\frac32%%

 

Mit Ableitung

%%f(x)=-\frac12x^2-2x-3,\;B(-3\vert y)%%

Berechne die Ableitung der Parabel

%%f`(x)=-x-2%%

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m 

%%f`(-3)=-(-3)-2=1=m%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=-\frac12(-3)^2-2\cdot(-3)-3=-\frac32%%

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

%%-\frac32=-3\cdot1+t\Rightarrow t=\frac32%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=x+\frac32%%

Berechne die Tangente an die Funktion  %%g(x)=x^2+4x%%  durch den Punkt  %%B(2\vert y)%%

Ohne Ableitung

%%g(x)=x^2+4x,\;B(2\vert y)%%

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

%%x^2+4x=mx+t%%

Bringe alles auf eine Seite

%%x^2+(4-m)x-t=0%%

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

%%D=(4-m)^2-4\cdot1\cdot(-t)=m^2-8m+16+4t=0%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=2^2+4\cdot2=12%%

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%12=2m+t%%

Löse nach auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

%%m^2-8m+16+4(12-2m)=m^2-16m+64=0%%

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel

%%m^2-16m+64=(m-8)^2=0\Rightarrow m=8%%

Setze und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

%%12=8\cdot2+t\Rightarrow t=-4%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=8x-4%%

 

Mit Ableitung

%%g(x)=x^2+4x,\;B(2\vert y)%%

Berechne die Ableitung der Parabel

%%g`(x)=2x+4%%

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m 

%%g`(2)=2\cdot2+4=8=m%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=2^2+4\cdot2=12%%

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

%%12=8\cdot2+t\Rightarrow t=-4%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=8x-4%%

Berechne die Tangente an die Funktion  %%f(x)=-x^2-2x-3%%  durch den Punkt  %%B(-2\vert y)%%

Ohne Ableitung

%%f(x)=-x^2-2x-3,\;B(-2\vert y)%%

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

%%-x^2-2x-3=mx+t%%

Bringe alles auf eine Seite

%%-x^2-(2+m)x-3-t=0%%

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

%%D=(2+m)^2-4\cdot(-1)\cdot(-3-t)=m^2+4m-8-4t=0%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=-(-2)^2-2\cdot(-2)-3=-3%%

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%-3=-2m+t%%

Löse nach auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

%%m^2+4m-8-4(2m-3)=m^2-4m+4=0%%

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel

%%m^2-4m+4=(m-2)^2\Rightarrow m=2%%

Setze mundin die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

%%-3=-2\cdot2+t\Rightarrow t=1%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=2x+1%%

 

Mit Ableitung

%%f(x)=-x^2-2x-3,\;B(-2\vert y)%%

Berechne dieAbleitung der Parabel

%%f`(x)=-2x-2%%

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m 

%%f`(-2)=-2\cdot(-2)-2=2=m%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=-(-2)^2-2\cdot(-2)-3=-3%%

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

%%-3=-2\cdot2+t\Rightarrow t=1%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=2x+1%%

Berechne die Tangente an die Funktion  %%f(x)=x^2-18x+85%%  durch den Punkt  %%B(9\vert y)%%

Ohne Ableitung

%%f(x)=x^2-18x+85,\;B(9\vert y)%%

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

%%x^2-18x+85=mx+t%%

Bringe alles auf eine Seite

%%x^2-(18+m)x+85-t=0%%

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

%%D=(18+m)^2-4\cdot1\cdot(85-t)=m^2+36m-16+4t=0%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=9^2-18\cdot9+85=4%%

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%4=9m+t%%

Löse nach auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

%%m^2+36m-16+4(4-9m)=m^2=0%%

Löse nach m auf und setze in t ein

%%m=0\Rightarrow t=4%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=4%%

 

Mit Ableitung

%%f(x)=x^2-18x+85,\;B(9\vert y)%%

Berechne die Ableitung der Parabel.

%%f`(x)=2x-18%%

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m 

%%f`(9)=2\cdot9-18=0=m%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=9^2-18\cdot9+85=4%%

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

%%4=0\cdot2+t\Rightarrow t=4%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=4%%

Berechne den Berührpunkt %%B%% und die Gleichung einer Tangente an die Parabel %%p(x)=(x+1)^2+1%% so, dass die Tangente zur Tangente im Berührpunkt %%A(1,25\vert y)%% senkrecht ist.

Tangenten an Parabeln berechnen

Die Tangente an einer Parabel ist eine Gerade, welche die Parabel in einem Punt berührt und deren Steigung der Ableitungswert der Parabel im Berührpunkt ist.

Gegeben:

%%p(x)=(x-1)^2+1%%und %%A(1,25\vert y)%%

Gesucht:

Parabelpunkt %%B(x_B\vert y_B)%%

Berechne die 2. Koordinate von %%A%% durch einsetzen in die Parabelgleichung.

%%p(1,25)=(1,25-1)^2+1=1,0625\Rightarrow A(1,25\vert1,0625)%%

Berechne die Ableitung %%p'(x)%% und damit die Steigung %%m_A%% der Tangente im Punkt %%A%%.

%%p'(x)=2x-2\Rightarrow p'(1,25)=0,5=m_A%%

Für die zu %%m_A%% senkrechte Steigung %%m_B%% gilt: %%m_A\cdot m_B=-1%%.

%%\begin{array}{l}0,5\cdot m_B=-1\vert:0,5\\\Rightarrow m_B=-2\end{array}%%

Setze den Steigungswert %%-2%% in %%p'(x)%% ein und berechne die x-Koordinate %%x_B%% des gesuchten Punktes %%B%%

%%-2=2x_B-2\Rightarrow x_B=0%%

Setze %%x_B%% in die Parabelgleichung ein, um %%y_B%% zu erhalten.

%%p(0)=(0+1)^2+1 = 2%%

%%\Rightarrow B(0\vert2)%%

Stelle die Tangentengleichung in %%B%% auf.

$$t_B:\frac{y-2}{x-0}=-2\,\,|\cdot\text{x}$$

zusammenfassen

$$t_B:\;y=-2x+2$$

Die Tangenten von einem Punkt der Symmetrieachse der Parabel %%p: y =-(x-1)^2+1%% an die Parabel stehen aufeinander senkrecht. Berechne die Berührpunkte und die Gleichungen der Tangenten.

%%p:y=-(x-1)^2+1%%

Entnimm der Scheitelpunktsform den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse der Parabel.

%%S(1|1)%%

%%\Rightarrow x=1%% ist Symmetrieachse

Wähle auf der Symmetrieachse einen beliebigen Punkt.

%%S_k(1|k)%% sei ein beliebiger Punkt auf der Symmetrieachse.

Stelle eine Geradengleichung g durch den Punkt %%S_k%% mit variabler Steigung %%m%% auf.

$$g:\frac{y-k}{x-1}=m\,\,|\cdot\left(x-1\right)$$

$$\Rightarrow g:\;y=mx-m+k$$

Schneide die Gerade %%g%% mit der Parabel %%p%% durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Ordne die entstehende quadratische Gleichung.

%%\begin{align}-\left(x-1\right)^2+1 &=mx-m+k\\ x^2-2x+mx-m+k &=0\\ x^2 + (m-2)x+\left(k-m\right) &=0\end{align}%%

Setze die Diskriminante der [quadratischen Gleichung]() Null.

%%\begin{align}\left(m-2\right)^2-4\left(k-m\right) &=0\\m^2-4m+4-4k+4m &=0\\ m^2+4-4k&=0\,\,\,|4k-4\\m^2&=4\left(k-1\right)\,\,\,|\sqrt{ }\\m_1,_2&=\pm2\sqrt{k-1}\end{align}%%

Beachte jetzt die gestellte Aufgabe: Die beiden Tangenten für %%m_1%% bzw. %%m_2%% sollen aufeinander senkrecht stehen.

%%m_1\cdot m_2=-1%%

$$\begin{align}\Rightarrow \left(+2\sqrt{k-1}\right)\cdot \left(-2\sqrt{k-1}\right)&=-1\\ -4\left(k-1\right)&=-1\\k-1&=0,25\\k&=1,25\end{align}$$

Gib den gesuchten Punkt %%S_k(1\vert k)%% an.

%%S_k(1\vert1,25)%%

Setze %%k=1,25%% in %%m_{1/2}=\pm2\sqrt{k-1}%%

%%m_1=+1%% und %%m_2=-1%%.

Gib die Tangentengleichungen an.

$$t_1:\frac{y-1,25}{x-1}=+1\Rightarrow t_1:y=x+0,25$$

$$t_2:\frac{y-1,25}{x-1}=-1 \Rightarrow t_2:y=-x+2,25$$

Schneide die Tangenten mit der Parabel durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

%%t_1\cap p%%

%%\begin{align}-\left(x-1\right)^2+1 &=x+0,25\\ -x^2+2x-1+1&=x+0,25\\x^2-x+0,25&=0\\\left(x-0,5\right)^2&=0\\x&=0,5\end{align}%%

%%\Rightarrow A(0,5|0,75)%%

%%t_2\cap p%%

%%\begin{align}-\left(x-1\right)^2+1 &=-x+2,25\\-x^2+2x-1+1&=-x+2,25\\x^2-3x+2,25&=0\\\left(x-1,5\right)^2&=0\\x&=1,5\end{align}%%

$$\Rightarrow B(1,5\vert0,75)$$

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