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Zu text-exercise-group 62916: Möglicherweise Fehler in Aufgabe ID 62964
Renate 2016-09-13 22:51:41
In Teilaufgabe b (ID 62964) wird für b>1 die Aussage "Je größer der Wert von b, desto steiler ist der Graph von f" als richtige Multiple-Choice-Antwort erwartet.

Für positive x ist die Aussage wohl richtig, aber im Negativen, denke ich, gibt es ein x, ab dem sie für Werte kleiner als dieses x nicht mehr stimmt.
Das sollte die Stelle sein, an der die Ableitungen der beiden Funktionen den gleichen Wert annehmen.
Michi 2016-09-15 16:05:38
Hi Renate,
vielen Dank für den Hinweis. Du hast Recht, für negative x Werte passt das nicht wirklich. Ich habe es jetzt ausgebessert.
Renate 2016-09-17 22:05:24
Hallo Michi,

danke!

Kleine Rückfrage nur: Warum hast du "für positive x-Werte" eigentlich in Klammern gesetzt? Nachdem die Aussage für positive x-Werte stimmt und für negative zumindest in dieser Allgemeinheit nicht, würde ich hier keine Klammern schreiben - ich finde, sie irritieren eher etwas.

Hast du etwas dagegen, wenn ich sie weglösche?
Michi 2016-09-20 07:19:37
Hallo Renate,
ich habe die Klammer ursprünglich gesetzt, weil es für mich nur eine mathematische Richtigstellung war, die Schüler vielleicht eher ablenkt. Du hast aber Recht, sie irritieren. Danke für den Hinweis. Ich habe sie weggelöscht.
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Die Exponentialfunktion in ihrer einfachsten Form %%f(x) = 2^x%% ...

Achtung: Verwechsle nicht %%x^2%% und %%2^x%%!
Nur Graphen von quadratischen Funktionen sind Parabeln.

Parabel: parabel

Exponentialfunktion: expo

Falsch: Berechnest du %%f(3)%%, erhälst du %%f(3)=2^3=8\neq3%%.

Achtung: Das stimmt nicht. Auch für sehr kleine x-Werte ist %%2^x%% immer noch größer als %%0%%. Die Funktion %%f%% besitzt also nur positve %%y%%-Werte.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Betrachte die Exponentialfunktion %%f(x)=b^x%% mit %%b>1%%.
Also z.B. %%3^x%% oder %%4.5^x%%.

Das ist nicht richtig:
Betrachte zwei unterschiedliche Werte für b z.B: %%2%% und %%10%%: Für welchen Wert verschwindet der Graph früher nach oben? steigungen

Schau dir den Graphen der Funktion von links nach rechts an: Werden die Werte größer oder kleiner?

Betrachte den Graph von links nach rechts. Geht er manchmal nach oben und dann wieder nach unten? Oder immer nur in eine Richtung?

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Gilt für die Funktion %%f(x)=b^x%%, dass %%b%% beliebige Werte größer Null annehmen kann, dann...

Leider falsch.
Graph und x-Achse kommen sich zwar in einer Richtung immer näher, jedoch schneiden sie sich nie. Wählst du für b eine beliebige positive Zahl und potenzierst sie mit einigen Beispielwerten für x, siehst du schnell, dass das Ergebnis immer positiv bleibt.
Z.B.: Wenn du %%b=0,5%% nimmst und für x natürliche Zahlen einsetzt, gilt: $$0,5^x=({{1}\over{2}})^x= \underbrace{{1\over2}\cdot{1\over2}\cdot{1\over2}\cdot...\cdot{1\over2}}_{x\;-\;Mal}>0$$

Übrigens ist %%y = 0%% waagrechte Asymptote von f.

Das stimmt nicht immer:
Betrachtest du die Funktion %%f(x)=(0,5)^x%%, kannst du sehen, dass ihre Werte nach rechts immer kleiner werden. abnehmende expo

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Wenn die Expotentialfunktion in der allgemeinen Form %%f(x)=N_0\cdot b^x%% gegeben ist und für %%N_0%% und %%b%% nur positive Werte eingesetzt werden, dann...

Falsch!
Man erhält für %%N_0=1%% die vereinfachte Form: %%f(x)=b^x%%.

Falsch!
Mit %%N_0%% wird die Funktion gestreckt/gestaucht. Ob der Graph steigt oder fällt, wird nur durch b bestimmt.

Nein, denn die x-Achse wird bei Expotentialfunktionen dieser Form nie geschnitten. Auch der Schnittpunkt mit der y-Achse wird durch b nicht beeinflusst.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Erkenne Funktionsterme

Welcher Funktionsterm gehört zum Graphen der gezeichneten Exponentialfunktion?

Welcher Funktionsterm passt?

Exponentialfunktion 01

Da die Funktion exponentiell ansteigt, muss die Basis größer als %%1%% sein.

Nicht ganz richtig: Der negativer Vorfaktor %%-2%% spiegelt die Funktion unterhalb der x-Achse. Deshalb sind bei %%\;-2\cdot2^x%% alle Funktionswerte negativ.

Achtung: Da der Graph der Exponentialfunktion ansteigt, muss die Basis größer als %%1%% sein.
Außerdem würde der negativer Vorfaktor %%-{1\over2}%% die Funktion unter die x-Achse spiegeln.

Richtig!

Exponentialfunktionen

Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen %%f(x)=a\cdot b^x%%:

  • Ist %%b>1%% werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  • Ist %%b<1%% nähern sich die Werte immer mehr an die Null an.
    (für größer werdende x-Wert)

  • Ist %%a%% positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  • Ist %%a%% negativ, hat die Funktion nur negative Werte.
    (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)

In dieser Aufgabe:

Die Funktion steigt immer steiler an (die x-Werte werden immer größer) %%\Rightarrow b>1%%.
Die Funktion hat nur positve Werte %%\Rightarrow a>0%%.
Der richtige Term ist %%2\cdot2^x%%.

Welcher Funktionsterm passt?

Exponentialfunktion 02

Nicht ganz richtig. Der Vorfaktor %%-2%% würde den Graphen unter die x-Achse spiegeln.

Falsch. Da der Graph exponentiell fällt, muss die Basis kleiner als %%1%% sein.

Falsch. Der Graph liegt über der x-Achse. Deswegen muss der Vorfaktor der Funktion positiv sein.

Richtig!

Exponentialfunktionen

Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen %%f(x)=a\cdot b^x%%:

  • Ist %%b>1%% werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  • Ist %%b<1%% nähern sich die Werte immer mehr an die Null an.
    (für größer werdende x-Wert)

  • Ist %%a%% positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  • Ist %%a%% negativ, hat die Funktion nur negative Werte.
    (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)

In dieser Aufgabe:

Die Funktionswerte nähern sich der x-Achse %%\Rightarrow 0<b<1%%.
Die Funktion hat nur positve Werte %%\Rightarrow a>0%%.
Der richtige Term ist %%\;2\cdot\left({1\over2}\right)^x%%.

Welcher Funktionsterm passt?

Exponentialfunktion 03

Leider falsch: Ist der Vorfaktor (hier: %%1\over2%%) positiv hat die Exponentialfunktion in dieser Form nur positive Funktionswerte.

Beachte: Ist die Basis kleiner als %%1%% wird der zweite Faktor betragsmäßig immer kleiner (mit zunehmenden x-Werten).
Der Graph nähert sich also immer mehr der Null an.

Leider falsch: Ist der Vorfaktor positiv (hier %%2%%) hat die Exponentialfunktion in dieser Form nur positive Funktionswerte.

Richtig!

Exponentialfunktionen

Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen %%f(x)=a\cdot b^x%%:

  • Ist %%b>1%% werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  • Ist %%b<1%% nähern sich die Werte immer mehr an die Null an.
    (für größer werdende x-Wert)

  • Ist %%a%% positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  • Ist %%a%% negativ, hat die Funktion nur negative Werte.
    (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)

In dieser Aufgabe:

Die Funktionswerte entfernen sich von der x-Achse %%\Rightarrow b>1%%.
Die Funktion hat nur negative Werte %%\Rightarrow a<0%%.
Der richtige Term ist %%-{1\over2}\cdot2^x%%.

Welcher Funktionsterm passt?

Exponentialfunktion 04

Der Graph nähert sich an die Null an. Mit Basis größer als %%1%% werden die Funktionswerte der Exponentialfunktion betragsmäßig immer größer. Für diesen Graphen muss die Basis also kleiner als %%1%% sein.

Mit positiven Vorfaktor (hier %%2%%) haben Exponentialfunktionen in dieser Form %%\left(a\cdot b^x\right)%% nur positive Funktionswerte. Um eine passende Funktion zu finden, muss %%a%% also negativ sein.

Mit Basis größer als %%1%% werden die Funktionswerte der Exponentialfunktion betragsmäßig immer größer. Für diesen Graphen muss die Basis kleiner als %%1%% sein. Überlege dir auch, wie negative Werte zustande kommen.

Richtig!

Exponentialfunktionen

Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen %%f(x)=a\cdot b^x%%:

  • Ist %%b>1%% werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  • Ist %%b<1%% nähern sich die Werte immer mehr an die Null an.
    (für größer werdende x-Wert)

  • Ist %%a%% positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  • Ist %%a%% negativ, hat die Funktion nur negative Werte.
    (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)

In dieser Aufgabe:

Die Funktionswerte nähern sich immer mehr an die x-Achse an %%\Rightarrow 0<b<1%%.
Die Funktion hat nur negative Werte %%\Rightarrow a<0%%.
Der richtige Term ist %%-{1\over2}\cdot\left({1\over2}\right)^x%%.

Welcher Graph gehört zum gegebenen Funktionsterm?

Welcher Graph gehört zu %%f(x)=1,5\cdot2^{-x}%% ?

Leider falsch: Versuche die Basis umzuformen: %%2^{-1}=\left({1 \over 2}\right)^1%%

Richtig!

%%1,5\cdot2^{-x}=%%

Forme die Funktion um, indem du den negativen Exponenten in einen positiven umwandelst.

%%=1,5\cdot\left({{2}^{-1}}\right)^{x} = 1,5\cdot\left({1 \over 2}\right)^x%%

Der Vorfaktor %%1,5%% ist positiv und die Basis %%\frac 12% %% zwischen %%0%% und %%1%%.
Es handelt sich also um eine exponentielle Zerfallsfunktion, die komplett positiv ist (oberhalb der x-Achse liegt).

Welcher Graph gehört zum Funktionsterm %%f(x)=\frac12\cdot\left(\frac12\right)^{-x}%% ?

Falsch: Beachte, dass wegen %%b = + 0,5%% der Graph oberhalb der x-Achse liegen muss! Der negative Exponent wird mit %%\left({1 \over 2}\right)^{-1}=2^1%% umgeformt.

Richtig!

%%{1\over2}\cdot\left({1\over2}\right)^{-x}=%%

Forme die Exponentialfunktion in eine einfachere Form um, indem du den negativen Exponenten vereinfachst.

%%={1\over2}\cdot{\left(\left({1\over2}\right)^{-1}\right)}^x={1\over2}\cdot2^x%%

Die Funktion beschreibt exponentielles Wachstum %%(Basis>1)%% und hat positiven Vorfaktor %%1\over2%%. Somit ist die Funktion komplett oberhalb der x-Achse und steigt mit größer werdenden x-Werten an.

Welcher Graph gehört zu %%f(x)=\sqrt2\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^x%% ?

Falsch: Überlege, ob die Basis %%1\over\sqrt{2}%% kleiner als %%1%% ist und ob es sich deshalb um exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall handelt

Prima! Du hast alles richtig erkannt: positiver Faktor und Basis kleiner 1.

Beschreibe die Eigenschaften der Funktion %%f(x)=3\cdot4^x%% und skizziere sie.

  • Die Funktion hat die Variable x im Exponenten. Es ist also eine Exponentialfunktion.
  • Der Vorfaktor %%3%% ist positiv. Die Funktion hat nur positive Funktionswerte.
  • Der Faktor %%b%% ist %%4%% und somit größer als %%1%%. Die Funktion steigt und ist sogar streng monoton steigend.
  • Wenn man in den Funktionsterm %%0%% einsetzt, erhält man %%f(0)=3%%. Die Funktion geht also durch den Punkt %%(0|3)%%

Bild Graph

Schraffiere im Koordinatensystem alle Punkte P(x|y) im Bereich %%-2\leq x\leq+2%% mit folgenden Vorgaben für den y-Wert

Bringe Exponentialfunktionen auf die Grundform %%f(x)=b\cdot a^x%% und entscheide dann, ob der Graph steigend oder fallend ist.

%%f(x)=8\cdot2^{x-2}%%

%%f(x)=8\cdot2^{x-2}%%

Wende ein Potenzgesetz an und zerlege %%2^{x-2}%% in ein Produkt.

%%\;\;\;\;\;\;=8\cdot2^x\cdot2^{-2}%%

Rechne aus.

Beachte dabei den negativen Exponenten!

%%\;\;\;\;\;\;=8\cdot2^x\cdot\frac14%%

Vereinfache weiter.

%%\;\;\;\;\;\;=2\cdot2^x%%

$$$$

Basis %%a =2%% und somit %%a>1%%.

Vorfaktor %%b=2% %% und somit %%b>0%%

%%\Rightarrow%% Graph von %%f%% steigend

%%g(x)=-2\cdot0,5^{x+3}%%

%%g(x)=-2\cdot0,5^{x+3}%%

Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel in ein Produkt.

%%\;\;\;\;\;\;=-2\cdot0,5^3\cdot0,5^x%%

Rechne das Produkt soweit wie möglich aus.

%%\;\;\;\;\;\;=-\frac14\cdot\left(\frac12\right)^x%%

Basis %%a<1%%

Vorfaktor %%b<0%%

%%\Rightarrow%% Graph von g steigend

%%h(x)=\frac14\cdot\left(\frac12\right)^{2x-1}%%

$$h(x)=\frac14\cdot\left(\frac12\right)^{2x-1}$$

Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel in ein Produkt.

%%\;\;\;\;\;\;=\frac14\cdot\left(\frac12\right)^{2x}\cdot\left(\frac12\right)^{-1}%%

Rechne negative Exponenten in positive um.

%%\;\;\;\;\;\;=\frac14\cdot2\cdot\left(\frac12\right)^{2x}%%

Zerlege den Potenzterm erneut und berechne den Rest.

%%\;\;\;\;\;\;=\frac12\cdot\left[{\left(\frac12\right)^2}_{}\right]^x%%

Wähle die Basis nun so, dass sich insgesamt die Form %%f(x)=b\cdot a^x%% ergibt.

%%\;\;\;\;\;\;\;=\frac12\cdot\left(\frac14\right)^x%%

$$\;$$

Basis %%a<1%%

Vorfaktor %%b>0%%

%%\Rightarrow%% Graph von h fallend

%%k(x)=-8\cdot\left(\frac12\right)^{2-3x}%%

%%k(x)=-8\cdot\left(\frac12\right)^{2-3x}%%

Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel.

%%\;\;\;\;\;\;\;=-8\cdot\frac14\cdot\left(\frac12\right)^{-3x}%%

Zerlege den Potenzterm erneut.

%%\;\;\;\;\;\;\;=-2\cdot\left[{\left(\frac12\right)^{-3}}_{}\right]^x%%

Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um und berechne.

%%\;\;\;\;\;\;\;=-2\cdot8^x%%

$$$$

Basis %%a>1%%

Vorfaktor %%b<0%%

%%\Rightarrow%% Graph von k fallend.

Bestimme - falls möglich - die Basis der Funktion %%f:y=a^x;D_f=\mathbb{R}%% so, dass ein gegebener Punkt P auf dem Graphen von %%f%% liegt.

%%P(2\vert2)\in f:y=a^x%%

$$P(3\vert\frac18)\in f:y=a^x$$

%%P(-3\vert0,001)\in f:y=a^x%%

%%P(-2\vert-1)\in f:y=a^x%%

%%P(-2\vert-1)%% liegt unterhalb der x-Achse.
Keine Funktion mit dem Funktionsterm %%f(x)=a^x%% (dabei ist %%a%% eine positive, reelle Zahl) liefert negative Funktionswerte.
Also ist diese Teilaufgabe nicht erfüllbar.

Auch rechnerisch erhält man keine Lösung: %%-1=a^{-2}%% ist für kein a erfüllbar.

Die Punkte %%A(-1\vert-1)%% und %%B(2\vert-3)%% sind Punkte des Graphen der Exponentialfunktion %%f(x)=b\cdot a^x%%.

Berechne a und b.

%%f(x)=b\cdot a^x%%

Die Koordinaten der Punkte einsetzen.

%%\begin {array} {rrcl} \mathrm {I} &-1 &= &b\cdot a^{-1} \\ \mathrm {II} &-3 &= &b\cdot a^2 \end{array}%%

Teile Gleichung II : I

$$\frac{-3}{-1}=\frac{b\cdot a^2}{b\cdot a^{-1}}$$

b kürzen und für a Potenzregel anwenden

%%a^3=3%%

Wurzelziehen

$$a=\sqrt[3]3$$

%%a=\sqrt[3]3%% in I einsetzen und nach b auflösen.

$$b=-\sqrt[3]3$$

Ein Rundungswert für b ist -1,44.

Graphisches Lösen von Exponentialgleichungen

Einführungsbeispiel

Löse die Gleichung %%x^2=2^x%% graphisch.

Lösung

%%\underbrace{x^2}_{f(x)}=\underbrace{2^x}_{e(x)}%%

Zeichne den Graphen der Parabel %%f(x)=x^2%% und den der Exponentialfunktion %%e(x)=2^x%%.

Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) beider Graphen sind die gesuchten Lösungen der Gleichung %%x^2=2^x%%.

%%\begin{array}{l}x_1\approx-0,8\\x_2=1\\x_3=4\end{array}%%

Die ganzzahligen Lösungen %%x_2=1%% und %%x_3=4%% findet man natürlich auch durch Probieren. %%x_1%% (eine irrationale Zahl) als Näherungswert nur graphisch.

Oft will man nur feststellen, ob eine Gleichung überhaupt lösbar ist, oder es reichen grobe Näherungswerte der Lösungen, dann genügen für die graphische Lösung Handskizzen der Graphen. Willst du es genauer, dann verwendest du einen Funktionsplotter zum Zeichen der Graphen.

Für die anschließenden Aufgaben sollen Handskizzen genügen.

Löse die Exponentialgleichung %%x+2=2^x%% graphisch.

Löse die Exponentialgleichung %%2^x+x\;=0%% graphisch.

Löse die Exponentialgleichung %%2^x+x^2-1=0%% graphisch.

%%2^x+x^2-1=0%% %%\;%% %%\left|1-x^2\right.%%

%%2^x=-x^2+1%%

Schneide den Graphen der Exponentialfunktion %%e(x)=2^x%% mit der Parabel %%p(x)=-x^2+1%%.

Lies die x-Koordinaten der Schnittpunkte aus deiner Zeichnung ab.

%%\begin{array}{l}x_1\approx-0,57\\x_2=0\end{array}%%

Mache für %%x_2%% die Rechenprobe!

Löse die Exponentialgleichung %%0,5\cdot2^x=3\cdot0,5^x%% graphisch und - falls du den Logarithmus schon kennst - auch rechnerisch.

Graphische Lösung

%%0,5\cdot2^x=3\cdot0,5^x%%

Schneide die Graphen der Exponentialfunktionen %%e_1(x)=0,5\cdot2%% und %%e_2(x)=3\cdot0,5^x%%.

Lies die x-Koordinate des Schnittpunktes aus deiner Skizze ab.

%%x\approx1,30%%

Rechnerische Lösung

%%0,5\cdot2^x=3\cdot0,5^x%%

%%0,5\cdot2^x=3\cdot\left(\frac12\right)^x%%

%%0,5\cdot2^x=3\cdot\frac1{2^x}%%

Setze %%2^x=u%%

%%\;\;0,5\cdot u=\frac3u%% %%\;%% %%\left|\cdot u\right.%%

%%0,5\cdot u^2=3%%

%%u^2=6%% %%\;%% %%\mid\sqrt{}%%

%%\begin{array}{l}u_1=+\sqrt6\\u_2=-\sqrt6\end{array}%%

Nur %%+\sqrt6%% kommt in Frage. Ersetze u.

%%2^x=\sqrt6%%

Löse nach x durch Logarithmieren auf.

%%\displaystyle x=\frac{\ln(\sqrt6)}{\ln(2)}%%

Jetzt ist der Taschenrechner dran.

%%x\approx1,29%%

Vergleiche das Rechenergebnis mit deinem graphischen Wert. Bist du zufrieden?

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