Den Abstand eines Punktes X zu einer Geraden bestimmt man, indem man das Lot durch den Punkt X auf die Gerade fällt. Der Schnittpunkt des Lotes und der Geraden bezeichnet man mit S. Die Länge der Strecke %%[SX]%% ist somit genau der Abstand von Punkt %%X%% und der Gerade.

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Berechnung im 3-Dimensionalen Fall

Gegeben sind der Punkt %%P(P_1|P_2|P_3)%% und die Gerade %%g:\overset\rightharpoonup x = \overset\rightharpoonup a + \lambda \overset\rightharpoonup b%%

Formel zur Berechnung des Abstandes: $$d= \frac{|(\overset\rightharpoonup p - \overset\rightharpoonup a )\times \overset\rightharpoonup b|}{|\overset\rightharpoonup b|}$$

Begründung der Formel

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Um den Abstand von Punkt und Gerade auszurechnen nimmt man das Dreieck, das durch den Richtungsvektor %%\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}%% der Gerade und %%\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf{ap}}%% aufgespannt wird. (siehe Skizze)

Nun berechnet man die Fläche des Dreiecks.

Dafür kennen wir zwei Formeln:

%%\mathbf F\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\mathbf1}{\mathbf2}\boldsymbol\;\mathbf g\boldsymbol\;\boldsymbol\cdot\boldsymbol\;\mathbf h%% aus der Mittelstufe

%%\mathbf F\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\mathbf1}{\mathbf2}\boldsymbol\;\left|\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf{ap}}\boldsymbol\;\boldsymbol\times\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol\;\right|%% aus der analytischen Geometrie

gleichsetzen und nach h auflösen ergibt:

%%\mathbf h\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\left|\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf{ap}}\boldsymbol\;\boldsymbol\times\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol\;\right|\boldsymbol\;}{\mathbf g}\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\left|\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf{ap}}\boldsymbol\;\boldsymbol\times\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol\;\right|\boldsymbol\;}{\left|\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\right|}\boldsymbol\;%%

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes %%P(3|2|1)%% zu der Geraden %%g:\overset\rightharpoonup{x}=\begin{pmatrix}-3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}%%

Man setzt die Werte in die Formel ein:

%%d=\frac{\left|\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\right)\times\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}}%%

%%\ \ =\frac{\left|\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right|}{\sqrt6}%%

%%\ \ =\frac{\left|\begin{pmatrix} -2-4 \\ -2-6 \\ 12-2\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{6}}%%

%%\ \ =\frac{\sqrt{(-6)^2+(-8)^2+10^2}}{\sqrt6}%%

%%\ \ =\frac{\sqrt{200}}{\sqrt6}%%

%%\ \ =\frac{10}{\sqrt3}%%

Alternative schrittweise Berechnung mit einer Hilfsebene

Gegeben sind der Punkt %%P(P_1|P_2|P_3)%% und die Gerade %%g:\overset\rightharpoonup x = \overset\rightharpoonup a + \lambda \overset\rightharpoonup b%%

Folgende Schritte werden verwendet, um den Abstand zu bestimmen:

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt %%P(P_1|P_2|P_3)%% geht und orthogonal zu dem Richtungsvektor %%\overset\rightharpoonup{b}%% ist.

2. Schritt:

Wenn man die Ebene in Koordinatenform haben möchte, um die danach folgende Rechnung zu vereinfachen, wandelt man sie in diese um.

3. Schritt:

Nun bestimmt man den Schnittpunkt der Hilfsebene %%E%% mit der Geraden %%g%%. Das ist der Lot des Punktes %%P%% auf der Geraden %%g%%. Man fängt damit an, die beiden Gleichungen zu kombinieren, um %%\lambda%% auszurechnen.

4. Schritt:

%%\lambda%% setzt man jetzt in die Geradengleichung ein und erhält den Ortsvektor %%\overset\rightharpoonup{OS}%% des Schnittpunktes (des Lotes).

5. Schritt:

Zum Schluss berechnet man den Abstand der Punkte %%S%% und %%P%%.

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes %%P%% von der Geraden %%g%% mit einer Hilfsebene. $$\begin{array}{l}P(1|-3|-3);\:g:\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\\\\\end{array}$$

Lösungsweg 1 (Hilfsebene in Koordinatenform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene %%E%%, die durch den Punkt %%P(1|-3|-3)%% geht und die zu dem Richtungsvektor %%\overset\rightharpoonup{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}%% orthogonal ist. Es gilt %%\overset\rightharpoonup{b}=\overset\rightharpoonup{n}%%. Deswegen ist die Normalform geeignet.

%%E:\left[\overset\rightharpoonup x-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0%%

2. Schritt:

Die Ebene E wandelt man in die Koordinatenform um.

%%\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0%%

%%\Rightarrow -(x_1-1)+3(x_2+3))+(x_3+3)=0%%

%%\Leftrightarrow -x_1+3x_2+x_3=-13%%

3. Schritt:

In %%x_1%%, %%x_2%% und %%x_3%% kann man jetzt den Vektor %%\overset\rightharpoonup{x}%% der Gerade einsetzen, um %%\lambda%% zu bestimmen.

%%-(2-\lambda)+3(1+3\lambda)+(-3+\lambda)=-13%%

%%\Leftrightarrow11\lambda=-11%%

%%\Leftrightarrow\lambda=-1%%

4. Schritt:

Man setzt nun %%\lambda%% in die Gerade %%g%% ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

%%\overset\rightharpoonup{OS}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}+-1\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix}%%

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte %%P(1|-3|-3)%% und %%S(3|-2|-4)%%.

%%d=\sqrt{(3-1)^2+(-2-(-3))^2+(-4-(-3))^2}=\sqrt{6}%%

Lösungsweg 2 (Hilfsebene in Normalform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene %%E%%, die durch den Punkt %%P(1|-3|-3)%% geht und die zu dem Richtungsvektor %%\overset\rightharpoonup{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}%% orthogonal ist. Es gilt %%\overset\rightharpoonup{b}=\overset\rightharpoonup{n}%%. Deswegen ist die Normalform geeignet.

%%E:\left[\overset\rightharpoonup x-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0%%

Man überspringt Schritt 2, weil schon die richtige Ebenenform gefunden ist.

3. Schritt:

Jetzt sucht man den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden. Hierfür setzt man %%\overset\rightharpoonup{x}%% in die Ebene ein.

%%E:\left[\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\lambda\cdot-1\\\lambda\cdot3\\\lambda\cdot1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0%%

und löst auf.

%%\Rightarrow -1(2-\lambda-1)+3(1+3\lambda+3)-3+\lambda+3 = 0%%

%%\Leftrightarrow \lambda+9\lambda+\lambda-1+12+0=0%%

%%\Leftrightarrow \lambda=-\frac{11}{11}=-1%%

4. Schritt:

Das setzt man in die Gerade %%g%% ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

%%\overset\rightharpoonup{OS}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}+-1\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix}%%

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte %%P(1|-3|-3)%% und %%S(3|-2|-4)%%.

%%d=\sqrt{(3-1)^2+(-2-(-3))^2+(-4-(-3))^2}=\sqrt{6}%%

Berechnung im Zweidimensionalen

Gegeben ist eine Gerade %%\mathbf g\boldsymbol:\boldsymbol\;\boldsymbol\;\mathbf x\boldsymbol=\boldsymbol\:\begin{pmatrix}\mathbf a\\\mathbf b\end{pmatrix}\boldsymbol+\mathbf\lambda\begin{pmatrix}\mathbf c\\\mathbf d\end{pmatrix}%% und eine Punkt %%\mathbf P\boldsymbol\;\boldsymbol=\begin{pmatrix}\mathbf e\\\mathbf f\end{pmatrix}%% . Dann lassen sich diese Objekte im Zweidimensionalen ins Dreidimensionale einbetten.

Dann schreibt man einfach für %%g:\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}c\\d\\0\end{pmatrix}%% und %%P=\begin{pmatrix}e\\f\\0\end{pmatrix}%% und rechnet wie im Dreidimensionalen, der Abstand (im Zweidimensionlen) ist dann der ausgerechnete Wert.

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